變分原理正文

1、第1章 泛函和變分1.1引言以前我們在微積分中遇到的都是類似下面的函數(shù)極值問題: 一個足夠光滑的連續(xù)函數(shù)，其在區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)都可以作以下的Taylor展開 ()函數(shù)在某一點(diǎn)有極值的必要條件是但是，我們這們課程中要討論的則是另一類極值問題泛函的極值問題(泛函簡單地講， 就是函數(shù)的函數(shù)，詳細(xì)見后面)。例1.1 一個簡單的變分問題: 最短線問題圖1.1最短線問題假設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)距離最短的曲線方程為 (1.1.2)另有一任意的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，滿足兩端固定的邊界條件 (1.1.3)顯然依舊是過固定兩點(diǎn)的連續(xù)曲線，其對應(yīng)的長度為 ()當(dāng),時取到極小值，也就是說 ()把()代入(), 展開后有 ()由于() 對于

2、任意的都成立，根據(jù)變分引理(見2.2.2節(jié)), 我們可以得到 ()意味著 ()因此, 在平面上過固定兩點(diǎn)距離最近的光滑曲線是直線。下面我們來看幾類比較典型的變分問題。例1.2 最速降線問題 圖1.2最速降線問題我們在該鉛直平面上取一直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平為軸，向下為軸。曲線的方程為， A點(diǎn)坐標(biāo), B點(diǎn)坐標(biāo)。曲線上任意一點(diǎn)P時的速度為 () ()因此，重物沿該曲線從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)所需要的總時間為 ()我們也稱之為泛函。該曲線參數(shù)形式為 (例1.3 短程線問題 短程線問題可以描述為：給定一個光滑曲面，在該曲面上有兩個固定A和B，要求在曲面上找到一根連接該兩點(diǎn)的最短曲線。 記A和B的坐標(biāo)分別

3、為和，連接該兩點(diǎn)的曲線方程為 ()它們滿足 ()那么該曲線的長度為 ()因此，短程線問題所對應(yīng)的變分問題為：在連接A和B而且滿足的光滑曲線，中，找到其中的一條，使得()中的泛函取到極小值。和前面速降線問題中不同的是，這里的自變函數(shù)，不是自由的，它們受到約束條件的限制，因此短程線問題對所應(yīng)的是個泛函的條件極值問題，其約束條件是代數(shù)關(guān)系。例1.4 等周問題用參數(shù)表示的平面曲線方程為 ()參數(shù)可以理解為曲線從起點(diǎn)的長度。如果曲線的長度為,那么。由于曲線是封閉，所以有邊界條件 ()而該曲線的長度為 () 該曲線所圍成的面積為(根據(jù)Green公式) ()因此, 等周問題所對應(yīng)的變分問題可以描述為: 在所

4、有滿足以及約束條件的曲線中, 找到其中一根使得()中取極大值。顯然，等周變分問題是泛函的條件極值問題，其約束條件是個積分等式。例1.5 最優(yōu)控制問題狀態(tài)方程為 () 其中為狀態(tài)向量, 為初始狀態(tài), 為終止?fàn)顟B(tài), 為輸入向量。要求尋找合適的，使得 ()其中是一個性能泛函。 和上面幾個問題不同的，這是一個帶微分約束()的泛函極值問題.1.2 泛函定義1.1 記是給定的函數(shù)集合，如果對于該集合中的任何一個函數(shù)，都有一個數(shù)(在本講義中全部為實(shí)數(shù))與之相對應(yīng)，我們記為或者。這樣我們說是定義在函數(shù)集合上的一個泛函。簡單地講，泛函就是以函數(shù)集合為定義域的實(shí)值映射。泛函的定義域是指泛函定義中的函數(shù)集合。如例1

5、.2中最速降線中的泛函()，其定義域為此外，在等周問題中泛函() 中的定義域為 象短程線問題中的() 、等周問題中的(1.1.30) 、最優(yōu)控制問題中的(1.1.32)，一般不被視為泛函定義域中對函數(shù)的限制，而被認(rèn)為是一種外加的約束，這樣的約束稱為條件。以上定義還可以推廣到依賴于多元函數(shù)或多個函數(shù)的泛函。舉兩個例子。是定義在區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的集合，那么下式就定義了一個泛函 如果是定義在區(qū)間上的一階連續(xù)可微函數(shù)對的集合，那么下式就定義了一個泛函 當(dāng)然也可視為一種泛函；不過，以后提到的泛函主要是指具有上述積分形式的泛函。線性泛函 對于泛函， 如果對于泛函定義域中任意兩個函數(shù)和以及任意兩個實(shí)數(shù)和，始終

6、成立那么稱泛函為定義域上的線性泛函。1.3 自變函數(shù)的變分定義1.2 在同一泛函定義域上的兩個函數(shù)、，若彼此任意接近，那么與之差稱為函數(shù)的變分。顯然函數(shù)變分也是關(guān)于的函數(shù)，它和函數(shù)的增量是有差別的。變分反應(yīng)了整個函數(shù)的變化，而函數(shù)增量反應(yīng)的是同一個函數(shù)由于自變量的取值不同所引起的變化。圖2.1變分和函數(shù)的增量自變函數(shù)變分的一個重要性質(zhì) 下面我們來討論函數(shù)變分的一個重要性質(zhì)：求變分和求導(dǎo)數(shù)可以交換次序 ()如果自變函數(shù)是個多元函數(shù)，那么求偏導(dǎo)數(shù)和求變分也可以交換次序, 就是說 (), (), ()1.4 泛函的變分對于一個足夠光滑的函數(shù)，如果我們在某一點(diǎn)附近作泰勒展開， 那么其增量的線性部分 稱

7、為函數(shù)的一階微分，而 稱為函數(shù)的兩階微分。其中是的線性函數(shù)，而是的兩次函數(shù)。對于任意一個泛函, 函數(shù)變分所引起的泛函增加量為 如果可以展開為 ()其中是關(guān)于的線性泛函，也就是說 ()而為的兩次泛函。那么，可以定義定義1.3 泛函的一階變分為 ()而泛函的兩階變分為 ()我們看下面一個比較簡單的泛函 如果給函數(shù)一個變分，也就是說新的函數(shù)為， 那么對應(yīng)于新函數(shù)的泛函為 顯然，泛函的變化量為 假如是充分光滑的， 那么根據(jù)多元函數(shù)Tayler展開公式，上式可以表示成其中 ()分別是關(guān)于變分及其導(dǎo)數(shù)的一次齊式和兩次齊式。我們把和分別稱為泛函的一階變分和兩階變分。在不引起混淆時，我們就把一階變分稱為泛函的

8、變分。泛函變分的另一種求法對于任意給定的一個齊次函數(shù)(當(dāng)然該函數(shù)有一些其他諸如可微或者其他一些限制條件，具體視泛函的定義域而定)，也就是說它在邊界上的值為零，那么對于任意小的一個實(shí)數(shù)，顯然也在泛函的定義域內(nèi)。那么如果更進(jìn)一步，令就是函數(shù)的變分，那么從泛函變分的定義中就可以知道，上式的第一部分就是泛函的一階變分，而第一部分就是泛函的兩階變分。 也就是說 （） 1.5 泛函變分的性質(zhì)(1) (2) (3) (4) (5) (6) 這表明，求泛函變分可以用類似求復(fù)合函數(shù)求微分的方式進(jìn)行。下面我們來看兩個例子：例1.6 已知泛函求。解這里被積函數(shù)內(nèi)還包含著自變函數(shù)變分的偏導(dǎo)數(shù)，需要進(jìn)一步簡化，我們在后

9、面會詳細(xì)進(jìn)行討論。例1.7 已知泛函求解：這里已通過分部積分消去了積分號下自變函數(shù)變分的導(dǎo)數(shù)。1.6 各種泛函的變分(1) 最簡單的泛函(2) 含高階導(dǎo)數(shù)的泛函 如果, 而且滿足固定的邊界條件 那么 (3) 含多元自變函數(shù)的泛函 這里最后一個等式應(yīng)用格林公式，消去了二維積分中的自變函數(shù)變分的導(dǎo)數(shù), 其作用相當(dāng)于一元函數(shù)中的分部積分公式。至于對三維積分情形，則需要用到高斯公式(見附錄) 。 一般來說，對于 式中如果需要將被求導(dǎo)函數(shù)視為僅僅是的函數(shù)，則用代替，以避免混淆，譬如 (4) 含多個自變函數(shù)的泛函 習(xí)題1. 若是關(guān)于的二次齊次函數(shù)，求泛函的一、二階變分。2. 求1.6 節(jié)中各種泛函的二階變

10、分。第2章 泛函的極值在討論泛函的極值以前, 我們先來回顧一下函數(shù)的極值問題。2.1函數(shù)的極值性質(zhì)2.1.1 函數(shù)的連續(xù)性任意一個多元函數(shù), , 如果, 當(dāng) (或者說)時, 有那么, 我們稱在處是連續(xù)的, 記為。2.1.2 函數(shù)的可微性更進(jìn)一步, 如果存在, 使得那么我們稱在處是可微的, 或者說存在(一階)導(dǎo)數(shù),記為或者記為其中為梯度算子(或者Hamilton算子, 見附1)。同理, 可以定義該函數(shù)的兩階導(dǎo)數(shù)及更高階導(dǎo)數(shù)。 這里也稱為Jacobi矩陣。如果函數(shù)在某點(diǎn)足夠光滑, 那么我們就可以在該點(diǎn)附近把函數(shù)作以下的展開其中為高階小量, 分別為函數(shù)的一階微分和兩階微分。換個角度來看, 如果其中為

11、的線性函數(shù), 而為的兩次函數(shù), 那么為的一階微分, 為的兩階微分。2.1.3 函數(shù)的極值對于足夠小的, 如果，總有, 那么我們稱在有極大值。 如果，總有, 那么我們稱在有極小值。這里為的鄰域。如果在某一點(diǎn)附近足夠光滑, 那么在有極值的必要條件為或者說更進(jìn)一步, 如果, 那么在有極大(小)值的充分條件為或者說是其中表示是負(fù)定矩陣。2.2泛函的極值2.2.1函數(shù)的鄰域定義在區(qū)間上的函數(shù)的一階鄰域定義為: 對于, 始終滿足我們稱同時滿足上述兩式的函數(shù)的集合是的一階鄰域。同樣可以定義函數(shù)的高階鄰域。2.2.2泛函的極值變分引理: 如果函數(shù), 對于在上滿足的、足夠光滑的任意函數(shù), 如果總是成立 那么在必

12、有 證明: 用反證法。 假設(shè)有使得, 不失一般性設(shè) 。由, 一定存在, 使這樣我們總可以構(gòu)造下面一個連續(xù)函數(shù) 其中 可以證明 這樣 顯然與引理條件矛盾, 所以對于任意的都有 以上結(jié)果容易推廣到二維或更高維的情形。如果泛函在的一階鄰域內(nèi)都不大(小)于, 那么我們稱泛函在有極大(小)值。 也就是說, （）使取到極值的函數(shù)稱為極值函數(shù)。下面從最簡單的泛函來討論使泛函取到極值的必要條件。 如果使取到極值, 則對于的一階鄰域內(nèi)的函數(shù)應(yīng)有或者現(xiàn)在用變分引理導(dǎo)出泛函取極值的必要條件。取由于, 因此當(dāng)足夠小的時候, 屬于的鄰域。當(dāng)以及給定以后, 應(yīng)該是關(guān)于的函數(shù)因為在處取極值, 應(yīng)該是的極值點(diǎn)。根據(jù)函數(shù)極值的

13、必要條件這就意味著如果令那么有考慮到的任意性，根據(jù)變分引理有 （）這就是該泛函極值問題的Euler方程。 如果只限定、而放松處的要求，則定義域 （）若是泛函在上的極值，限定則必是泛函在上的極值，根據(jù)（）有 ()代入（）并考慮的任意性可得 ()要使在處取極值, 那么意味著必須同時滿足（）和（2.2.5）對于更一般的泛函我們同樣可以得到下面的泛函極值定理。定理2.1 如果泛函在上達(dá)到極值，那么泛函在上的一階變分滿足證明：根據(jù)泛函極值的定義，如果泛函在上達(dá)到極大值, 那么必定存在的一個領(lǐng)域, 對于該領(lǐng)域內(nèi)的任何一個函數(shù), 使得泛函的增量不變號, 由前面的推導(dǎo)()其中顯然, 當(dāng)充分小時, 的符號由部分

14、確定。如果, 我們總是可以調(diào)整的符號使得改變符號, 這與假設(shè)矛盾。 因此是泛函有極值的必要條件。盡管不是泛函有極值的充分條件，但往往仍有意義。對于僅僅滿足的泛函，我們稱在該點(diǎn)取駐值。2.2.3 泛函的Euler方程由泛函所得到的微分方程（包括邊界條件）稱為泛函的Euler方程。例2.1的Euler方程為例2.2得到上式稱為Sturm-Liouville方程。結(jié)合邊界條件, 構(gòu)成第一邊值問題的Sturm-Liouville問題。例2.3上述泛函可以寫成 其一階變分為 根據(jù)格林公式有 當(dāng)邊界上值給定時, ，可以得到相應(yīng)的Euler方程 這是一個Laplace 方程。如果只在部分邊界上給定函數(shù)值，這

15、里，則除上述的Laplace 方程外還應(yīng)滿足例2.4 其中及其法向?qū)?shù)在的邊界上給定。泛函的一階變分為 由于 根據(jù)格林公式, 由于及其法向?qū)?shù)在的邊界上給定, 即，所以有 從而當(dāng)泛函取極值時, 根據(jù)變分引理1得到 也就是這是一個雙調(diào)和方程。例2.5其中在一部分邊界（）上給定：。泛函可以寫成 其一階變分為 當(dāng)泛函取極值時, 根據(jù)變分引理2得到對應(yīng)的Euler方程為 這是一個Poisson 方程。2.3 泛函的條件極值問題2.3.1 函數(shù)的條件極值問題與Lagrange乘子假設(shè)求極值的函數(shù)為 相應(yīng)的約束條件為 （）首先, 自變量的微分必須滿足約束條件, 也就是說 這意味著 （）也就是說必須與每個約

16、束函數(shù)的梯度正交。對于極值函數(shù), 如果在某點(diǎn)的梯度滿足 那么, 沿著滿足約束條件的方向有該點(diǎn)也就是條件極值點(diǎn)。反之, 如果要求沿著滿足約束條件的方向有必須有 這樣, 就有 （）而 （）所以對于約束極值問題, 我們可以通過引進(jìn)拉格朗日乘子來構(gòu)造一個新的函數(shù)，可以把原來的條件極值問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的無條件極值問題。2.3.2 存在代數(shù)約束下的泛函極值泛函為 （）約束條件 （）注意上述約束是上的恒等式，所以引入的是Lagrange函數(shù)、而不是Lagrange乘子。可以通過引進(jìn)Lagrange函數(shù),把它轉(zhuǎn)化成下面新泛函的無條件極值問題 （）這里L(fēng)agrange函數(shù)是新泛函的自變函數(shù)，相應(yīng)的Euler方程

17、為 , （）以及 , 這樣共有個方程(恒等式)來決定個未知函數(shù)。例3.6 第1章的短程線問題 , 新的泛函為 相應(yīng)的Euler方程為 2.3.3 存在微分約束下的泛函極值泛函為約束條件 （）上述約束仍是上的恒等式，通過引進(jìn)Lagrange函數(shù), 把它轉(zhuǎn)化成下面新泛函的無條件極值問題 （）這里L(fēng)agrange函數(shù)是新泛函的自變函數(shù). 相應(yīng)的Euler方程為 , （）以及 , 2.3.4 存在積分約束下的泛函極值泛函為約束條件為 （）注意：與前面不同，這里約束條件為個數(shù)值等式，而不是恒等式。從而可以通過引進(jìn)Lagrange乘子（而不是函數(shù)）, 把它轉(zhuǎn)化成下面新泛函的無條件極值問題 （）與新變分問題

18、對應(yīng)的Euler方程為 , （）以及 注意，現(xiàn)在有個微分方程(恒等式)和個數(shù)值等式, 去決定個未知函數(shù)和個未知數(shù)。例2.7 懸索問題。 已知空間兩點(diǎn)A, B以及一條長為的繩索, 假定繩索的長度不可改變, 而彎曲剛度是可以忽略不計。現(xiàn)把繩索的兩端懸掛在AB兩點(diǎn), 求平衡時候繩索的形狀。取和最速降線問題一樣的坐標(biāo)系（圖1.2）, 記繩索的方程為 那么邊界條件為 繩索的長度滿足 根據(jù)最小勢能定理, 在平衡狀態(tài)下繩索的勢能最小 其中是繩索單位長度的質(zhì)量。也就是說 為了求得上述的條件極值問題, 我們引入新的泛函 由新泛函的極值條件得到 例2.8 等周問題為一積分約束下的變分問題. 例2.9 在約束條件

19、下使泛函 取極值的函數(shù)滿足Euler方程 當(dāng)時，Euler方程為 這是個特征值問題。 約束條件表示的是一個歸一化條件。在后面我們會詳細(xì)討論該問題。2.4 變分問題中的邊界條件圖2.1可動邊界下面我們討論泛函 極值問題中的邊界條件。如果該泛函自變函數(shù)的邊界位置為，那么相應(yīng)的邊界條件可以分為：(1) 固定邊界: 邊界位置固定，邊界上函數(shù)值固定，；(2) 自由邊界: 邊界位置固定，邊界上函數(shù)值自由，固定，自由；(3) 可動邊界: 邊界位置不定，邊界上函數(shù)值不定，不定，也不定；(4) 約束邊界: 邊界在固定的曲線(或者曲面)上，。自由邊界條件可視為特殊的約束邊界條件：。也可以考慮混合組合，譬如一端是固

20、定的、另一端是自由的，等等。為簡單起見，假設(shè)在處是固定邊界，是自由、可動或約束邊界，而泛函為這里表示泛函自變量為自變函數(shù)y和邊界的位置。計算 (2.4.1)由可得 () () (1) 是自由邊界此時，()式變成 ()(2) 是可動邊界:注意到 (見圖2.1) 代入()，則邊界條件變?yōu)?()這樣可得處的邊界條件 () (3) 是約束邊界: 邊界在固定的曲線(或者曲面)上，, 此時 考慮到(), 可得(約束)邊界條件 ()加上約束邊界函數(shù) ()即得處的完整的邊界條件。象自由邊界條件()、可動邊界條件(2.4.6) 和約束邊界條件中(2.4.7) 可以通過泛函取駐值()得到，我們稱為自然邊界條件。反

21、之，固定邊界條件和約束邊界條件中(2.4.8) 是泛函定義域中規(guī)定了的，我們稱為固定邊界條件?？刂品匠?2.4.2) 和自然邊界條件合稱為Euler方程。例2.10 其一階變分為根據(jù)得到Euler方程 及自然邊界條件 例2.11 左端在處固定, 右端在上移動。在右端要求滿足 所以在右端有 例2.12 ；左端，而右端在上移動 （a）控制方程為所以極值曲線為 (b)由于 在右端邊界上滿足條件考慮到 所以有 (c)由(a) 、(b) 和(c) 可解答即a為滿足上述三次方程的一個實(shí)根，從而可以得到。也可以通過引進(jìn)Lagrange乘子把固定邊界問題轉(zhuǎn)換成自由邊界問題，如 新泛函為 2.5 Hamilto

22、n原理以相空間作為描述對象，一個力學(xué)系統(tǒng)的動能可以表示為其中，為廣義坐標(biāo)，為廣義速度。勢能可以表示為定義Lagrange函數(shù)為 （）定義Hamilton泛函為 （）Hamilton原理：給定初始時刻以及終止時刻的狀態(tài)（位置），在所有可能的運(yùn)動中，真實(shí)的運(yùn)動應(yīng)該使得Hamilton泛函取極小值，也就是說 （） （）例2.13 彈簧的自由振動問題 Hamilton泛函的變分為 由極值條件得到運(yùn)動方程為例2.14 單擺。為均勻擺桿的（線）密度，是小球的質(zhì)量，是擺桿長。圖2.2單擺和雙擺左圖中單擺 至于右圖中的雙擺問題，留作讀者自行解決。例2.15：Euler-Bernouillie梁彎曲的振動問題。

23、其中為梁的長度，為梁單位長度的質(zhì)量，為梁的撓度, 為梁的彎曲剛度。動能中已略去梁單元轉(zhuǎn)動的動能。Hamilton泛函的變分為由泛函極值問題得到梁的振動方程而邊界條件可從得到，譬如梁彎曲的自然邊界條件為習(xí)題1. 在條件下，求下列泛函的極值 2. 求長度為曲線，使得它與線段所圍的面積最大。3. 已給定側(cè)面面積，試求體積最大的旋轉(zhuǎn)體。4. 在條件下，求下列泛函的變分 5. 由Hamilton原理推導(dǎo)弦振動方程。第3章 彈性力學(xué)經(jīng)典變分原理3.1 彈性力學(xué)基礎(chǔ) 變形分析要研究物體變形首先要研究其位移如何來描述。在數(shù)學(xué)上，我們引進(jìn)物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)的概念分別來描述物體上某一點(diǎn)的位置變動，具體說來，先取一

24、Descarte坐標(biāo)系做參照系，變形前物體的構(gòu)形為B，其每個質(zhì)點(diǎn)的位置可用一組我們稱之為物質(zhì)坐標(biāo)的坐標(biāo)值來表示；變形后物體的構(gòu)形變成B，取另一個Descartes坐標(biāo)系做參照系，我們稱之為空間坐標(biāo)系。如下圖，變形前任一點(diǎn)在物質(zhì)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，變形后P變化到Q點(diǎn)在空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。圖3.1物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系矢量PQ表示了質(zhì)點(diǎn)P的位移，記為。為簡單和方便起見，一般取兩個參照系相重合，這時位移矢量的分量可以用下式來表示 ()其中變形后質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) 與變形前的坐標(biāo)存在著確定的關(guān)系。我們可以把變形后質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)看成是變形前質(zhì)點(diǎn)物質(zhì)坐標(biāo)的函數(shù)，即 ()也可以用其逆變換 (數(shù)學(xué)上要求Jacobi 行列

25、式不為零) 來表述，也就是從變形后空間坐標(biāo)描述的質(zhì)點(diǎn)，來追涉變形前這一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) ()如果把位移看作是變形前坐標(biāo)、即物質(zhì)坐標(biāo)的函數(shù) ()稱之為Lagrange 描述。如果把位移看作是變形后坐標(biāo)、即空間坐標(biāo)的函數(shù) ()稱之為Euler 描述。我們?nèi)∽冃吻包c(diǎn)及相鄰，它們之間的長度平方為 ()它們變形后相應(yīng)的點(diǎn)及相鄰，其長度平方為 ()根據(jù)變形前后的坐標(biāo)關(guān)系有從而有 ()或者 ()如果定義 ()及 ()則有 () ()上述表達(dá)式中，有重復(fù)下標(biāo)的，已省略了相應(yīng)的求和記號，稱為Einstein約定。我們稱為Lagrange-Green 應(yīng)變張量(用Lagrange坐標(biāo)系來描述)，把稱作為Euler-Al

26、mansi 應(yīng)變張量(用Euler坐標(biāo)系來描述)。如果我們在Lagrange坐標(biāo)系中,沿著某一個特定的坐標(biāo)方向取一個微分單元, 其變形前長度為而變形后的長度為因此，該微段變形前后的相對伸長量為 ()可見與線元的相對伸長有關(guān)。當(dāng)時，。如果在Lagrange坐標(biāo)系中沿坐標(biāo)軸方向取兩個相互垂直的微元，分別為和，它們的長度分別為 那么在變形后它們長度和分別為 () ()變形后兩個微段對應(yīng)向量的內(nèi)積為 ()其中為變形后兩個微段之間的夾角。所以 ()如果記變形前后兩個微元之間夾角的變化（減少）為，也就是說 ()那么 ()當(dāng)時，可以表示為 ()所以說，是與剪切變形有關(guān)的量。如果用空間坐標(biāo)系來描述變形，也就是

27、說，位移矢量的分量用變形后的坐標(biāo)來描述那么 ()在小變形情況下，如果忽略高階小量后，那么有 ()我們稱之為Cauchy微小應(yīng)變。在工程上描述的應(yīng)變?yōu)椋阉麄儗懗删仃嚨男问綖?()也就是 ()其中式中代表梯度算子代表方向的單位向量。 應(yīng)力分析圖3.2物體受力如圖所示, 通常作用于物體的外力可以分為兩種：一種是分布在物體表面的作用力，例如一個物體對另一物體作用的壓力，象水壓力等，我們稱之為面力(surface traction)；另一種是分布在物體體積內(nèi)部的力，象重力、磁力或運(yùn)動物體的慣性力等，我們稱之為體力(body force)。 圖3.3內(nèi)力和應(yīng)力當(dāng)一個物體處于平衡狀態(tài)時， 假如我們設(shè)想從中

28、分離出一部分B，其表面用S表示。S上任意一點(diǎn)，其鄰域面上作用的合力為，應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力截面上應(yīng)力與截面法向有關(guān)。當(dāng)取定坐標(biāo)系統(tǒng)后, 可以用每個坐標(biāo)面上的沿坐標(biāo)軸的三個應(yīng)力分量來表示應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)剪應(yīng)力互等定律, 其中獨(dú)立的分量有6個, 我們記為應(yīng)力張量(滿足坐標(biāo)變換規(guī)律), ()應(yīng)力的符號規(guī)則: 外法線方向與坐標(biāo)軸方向一致的截面上, 沿坐標(biāo)軸正方向的應(yīng)力為正, 沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的應(yīng)力為負(fù)；反之, 外法線方向與坐標(biāo)軸方向相反的截面上, 沿坐標(biāo)軸正方向的應(yīng)力為負(fù), 沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的應(yīng)力為正。 截面上應(yīng)力在某一個外方向的截面上，根據(jù)力的平衡關(guān)系，截面上應(yīng)力沿三個坐標(biāo)軸上的應(yīng)力分量為也就是說圖3.4應(yīng)力

29、張量與截面上應(yīng)力寫成矩陣形式為 ()也就是說 ()式中就是將中的梯度矢量替換成截面的法向單位矢量，即 () 平衡方程應(yīng)力分量在物體內(nèi)部的平衡方程為 ()寫成分量的形式為其中分別是體積力在軸上的分量。如果把平衡方程表示成矩陣的形式為也就是 ()式中 應(yīng)變能、余應(yīng)變能及應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系物體發(fā)生彈性變形時，外力所做的功等于物體中所儲存的應(yīng)變能。而這種應(yīng)變能與物體的變形過程無關(guān)，只同物體的最終變形狀態(tài)有關(guān)，也就是說只與最終的應(yīng)變有關(guān)。我們在物體中隔離出一個微元。該微元上的應(yīng)變分量為，作用微元表面上的應(yīng)力分量為。記物體的應(yīng)變能密度為(也就是單位體積的應(yīng)變能)，那么儲存在該微元上的應(yīng)變能為。根據(jù)前面的說明，

30、應(yīng)變能密度應(yīng)該是應(yīng)變分量的函數(shù)。如果此時微元的應(yīng)變有一個微小變化，相應(yīng)的應(yīng)變能密度也有了一個微小的變化，根據(jù)能量守衡，有從中我們可以得到，寫成矩陣的形式為 ()用積分形式表示為通過下式定義的是余應(yīng)變能密度 ()也就是說 ()寫成矩陣的形式有 ()用積分形式表示為利用應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，可以把上式右邊表示成應(yīng)力的形式，也就是說把表示成應(yīng)力分量的函數(shù)。對上式取變分，有 ()因此有 ()圖3.5應(yīng)變能和余應(yīng)變能密度上面這些關(guān)系對于線彈性變形和非線性彈性變形都是適用的。對于非線性的彈性變形，和不僅在數(shù)學(xué)形式上不一樣，而且在數(shù)值也不相等。對于線彈性變形，應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系是線性的，應(yīng)變能密度和應(yīng)變余能

31、密度數(shù)值上相等 ()如果應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系表示為那么和可以表示成 () ()由于能量的正定性, 和都必須是對稱正定的六階矩陣, 而且它們之間互為逆矩陣，也就是說這里是六階單位矩陣。 3. 1.6邊界條件在彈性力學(xué)的定解問題中，除了必要的微分方程外，還需要給定合適的條件。這種邊界條件是多種多樣的，我們這里只討論兩種典型的情況，即給定位移的位移邊界和給定面力的應(yīng)力邊界。記為物體的總邊界，我們可以把總邊界分成兩部分。其中上有位移邊界條件 ()上有應(yīng)力邊界條件 ()其中分別是邊界上給定的位移向量和上給定的單位面積上外力向量。圖3.6邊界條件 幾何可能位移和靜力可能應(yīng)力幾何可能位移: 在位移邊界上滿足

32、位移邊界條件，且在整個區(qū)域內(nèi)滿足連續(xù)條件(可以得到相應(yīng)的應(yīng)變)的位移稱為幾何可能位移，一般用來表示。靜力可能應(yīng)力: 在應(yīng)力邊界上滿足應(yīng)力邊界條件，且在整個區(qū)域內(nèi)滿足應(yīng)力平衡條件的一組應(yīng)力稱為靜力可能應(yīng)力，一般用來表示。 彈性力學(xué)精確解彈性力學(xué)的精確解應(yīng)滿足下列微分方程和邊界條件(1) 幾何關(guān)系，內(nèi)(2) 平衡方程，內(nèi)(3) 本構(gòu)關(guān)系或者，內(nèi)(4) 邊界條件， 上，上3.2 一個重要的恒等式對于三維空間上任意一個連通區(qū)域，始終成立下面的恒等關(guān)系 ()其中是區(qū)域的邊界，是邊界上的外法線方向，和是兩組任意獨(dú)立的函數(shù)，式中寫成分量的形式為證明:其中是三個常數(shù)矩陣。那么也就是說那么根據(jù)高斯公式也就是說幾

33、點(diǎn)說明:(1) 虛功原理如果取、即虛位移，為靜力可能應(yīng)力，為虛位移對應(yīng)的虛應(yīng)變, 上式就是虛功原理 ()其中為虛位移所對應(yīng)的虛應(yīng)變。(2) 功的互等定理如果有兩組載荷作用在線彈性體上。取第一組載荷作用下的位移精確解為，對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)?，?yīng)力為；取第二組載荷作用下的位移精確解為，對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)椋瑧?yīng)力為，那么根據(jù)上述恒等式有由于所以有 ()這就是功的互等定理。(3) 能量守恒 若取為位移精確解，為應(yīng)力精確解，那么是真實(shí)應(yīng)變, 是真實(shí)體力, 是真實(shí)的表面力。下列恒等式表示能量守恒 ()即外力在位移上所做的功等于應(yīng)力在應(yīng)變上所做的功。3.3 最小勢能原理對于線彈性體，那么我們可以定義下面總勢能表達(dá)式 ()其

34、中為彈性應(yīng)變能，而為外力勢能。是單位體積的彈性應(yīng)變能（也就是應(yīng)變能密度），其他各個表達(dá)式的含義見前面。最小勢能原理: 在所有的幾何可能位移中，彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使上述的總勢能最小。證明: 假設(shè)是精確解，那么它們滿足所有微分方程和所有邊界條件，(1) 幾何關(guān)系，內(nèi)(2) 平衡方程，內(nèi)(3) 本構(gòu)關(guān)系或者，內(nèi)(4) 邊界條件， 上， 上再令是幾何可能位移和對應(yīng)的可能應(yīng)變，他們應(yīng)該滿足幾何方程和位移的邊界條件，(1) 幾何關(guān)系，內(nèi)(2) 邊界條件，上記精確解和幾何可能位移之差為 那么對應(yīng)于幾何可能位移的總勢能表達(dá)式為 ()由于 那么， ()因為 從而有 ()那么如果在恒等式()中取，取為真實(shí)應(yīng)力,那

35、么由于 ，在內(nèi)，在上，在上所以 ()即因為是對稱正定矩陣，因此 ()也就是說, 彈性力學(xué)的精確解使得總勢能泛函為最小值。對于非線性彈性體來說，最小勢能原理也成立 ()可得，在內(nèi)，在上此外 （）這里由熱力學(xué)第一定律可得 （）從而，即最小勢能原理成立。 現(xiàn)在討論何時。由（）和（3.3.9）可知，其充分必要條件為，在內(nèi) （）這意味著在整個內(nèi)是零應(yīng)變狀態(tài)，而這個狀態(tài)是當(dāng)且僅當(dāng)物體的位移函數(shù)為剛體位移才能出現(xiàn)。由于我們考慮的是靜力學(xué)問題，所以，所有剛體位移已消除，從而 （）這意味著最小勢能原理: 在所有的幾何可能位移中，彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使上述的總勢能取嚴(yán)格最小。例3.1: 如圖所示, 變截面桿的長度為

36、, 橫截面面積為, 材料的楊氏模量為；沿軸向作用有分布載荷, 其中一邊固定,一邊受軸向集中力作用。用最小勢能原理推導(dǎo)其方程和邊界條件。圖3.7變截面桿如圖所示的坐標(biāo)系, 假設(shè)軸向的位移為, 的固定邊界條件為那么軸向的應(yīng)變?yōu)閷?yīng)的總應(yīng)變能為總的勢能為根據(jù)最小勢能原理由變分引理得到這就是用位移表示的桿的控制方程和自由邊界條件(邊界上力的平衡條件) 。3.4 最小余能原理對于線彈性體，我們可以定義余能為 ()其中是單位體積的彈性應(yīng)變余能，其他各個表達(dá)式的含義見前面。最小余能原理 在所有靜力許可應(yīng)力中，彈性力學(xué)的精確解使上述的余能最小。證明: 假設(shè)是精確解，那么它們滿足所有微分方程和所有邊界條件，再令是靜力許可應(yīng)力，他們滿足平衡方程和力邊界條件。記精確解和靜力許可應(yīng)力之差為 ()那么對應(yīng)靜力許可應(yīng)力的余能為 ()其中由于其中應(yīng)力增量滿足 ()()這里已用到。根據(jù)前面的恒等式和， ()因為是對稱正定矩陣，因此 ()反過來講, 使得總余能取到最小值的靜力許可應(yīng)力就是彈性力學(xué)