立體幾何中二面角的求法(教師版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高二文科數(shù)學(xué)培優(yōu)： 立體幾何中二面角的求法編寫：林洪兵2016-1-6一、定義法： 例1:如圖1，設(shè)正方形ABCD-A1B1C1D！中，E為CC1中點，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。分析與解：本題可用定義法直接作出兩截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，設(shè)AC、BD交于O，連EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EOBD，A1OBD，故EOA1為所求二面角的平面角。變式1：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值為 .分析與略解：“小題”不必“大做”，由圖1知所求二面角為二面角C-BD-C1的“補角”.教材中根本就沒有“二

2、面角的補角”這個概念，但通過幾何直觀又很容易理解其意義，這就叫做直覺思維，在立體幾何中必須發(fā)展這種重要的思維能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。將題目略作變化，二面角A1-BD-C1的余弦值為 .在圖1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，設(shè)出正方體的棱長，用余弦定理易求得cosA1OC1=二、三垂線法這是最典型也是最常用的方法，當然此法仍扎“根”于二面角平面角的定義.A圖3PBl此法最基本的一個模型為：如圖3，設(shè)銳二面角，過面內(nèi)一點P作PA于A，作ABl于B，連接PB，由三垂線定理得PBl，則PBA為二面角的平面角，故稱此法為三垂線法.最重要的是在

3、“變形(形狀改變)”和“變位(位置變化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在該角所在的三角形(最好是直角三角形，如圖3中的RtPAB)中求解.對于鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補角不就是鈍角嗎？例2 如圖3，設(shè)三棱錐V-ABC中，VA底面ABC，ABBC，DE垂直平分VC，且分別交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。分析與解   本題應(yīng)用垂線法作出二面角的平面角，因VBC為等腰三角形，E為VC中點，故BEVC，又因DEVC，故VC平面BED，所以BDVC，又VA平面ABC，故VABD，從而BD平面VAC。圖4B1AA1BlEF例

4、3(2006年陜西試題)如圖4，平面平面，=l，A，B，點A在直線l上的射影為A1，點B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的正弦值.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，則可證A1E平面AB1B.過E作EFAB交AB于F，連接A1F，則得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，則在RtA1EF中，sinA1FE=.三、垂面法：例3 如圖6，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1

5、D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點。（1）求證：A1、E、C、F四點共面；（2）求二面角A1-EC-D的正切值的大小。分析與證明 （1）要證A1、E、C、F四點共面，可證：A、F/EC，取DC中點H，連AH、FH，則AHEC，又FHA1A。故A1F/AH，即A1F/EC，從而A、E、C、F四點共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本題可用三垂線法，因FH底面ABCD于H，過H作HMEC于M，連FM，則由三垂線定理知FMEC。    所以HMF為所求二面角A1-EC-D的平面角。    例4空間的點P

6、到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.分析與略解：如圖5，分別作PA于A，PB于B，則易知l平面PAB，設(shè)l平面PAB=C，連接PC，則lPC.分別在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因為P、A、C、B四點共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角的大小為.分別在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，則可解得cos=，=120o，二面角的大小為120o.四、延伸法例4. 如圖10，設(shè)正三棱柱ABC-A'B'

7、;C'各棱長均為，D為CC1中點，求平面A'BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。分析與解  由圖，平面A'BD與平面ABC只出現(xiàn)一個交點，故延長A'D交AC延長線于F點，連BF，則BF為所求二面角的棱。因CD=C'D，則A'C'=CF=BC=AC，所以ABF=90°，取BF中點E，連DE，則CEBF，又DC平面ABF，即DEBF，從而DEC為所求二面角的平面角。6、月球是一個不發(fā)光、不透明的球體，我們看到的月光是它反射太陽的光。說明  本題也可用射影法求二面角的度數(shù)。18、建立自然保護區(qū)是保護生物多樣性的有效方

8、法，我國的九寨溝、長白山、四川臥龍等地都建立了自然保護區(qū)，自然保護區(qū)為物種的生存、繁衍提供了良好的場所。五、射影法例5如圖12，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AA1上點，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M與底面ABCD所成二面角的余弦值。分析與解：本題應(yīng)用“射影法”求截面B1D1M與底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因是正方體，所以B1、D1、M在底面射影分別為B、D、A，設(shè)棱長為a.13、以太陽為中心，包括圍繞它轉(zhuǎn)動的八大行星（包括圍繞行星轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星）、矮行星、小天體（包括小行星、流星、彗星等）組成的天體系統(tǒng)叫做太陽系。14、在顯微鏡下觀察物體有一定的要求。物體必須制成玻片標本，才能在顯微鏡下觀察它的精細結(jié)構(gòu)。17、細胞學(xué)說的建立被譽為19世紀自然科學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)之一。答：當月球運行到地球和太陽的中間，如果月球擋住了太陽射向地球的光，便發(fā)生日食。17、細胞學(xué)說的建立被譽為19世紀自然科學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)之一。答：