對(duì)面積的曲面積分

1、14.5 第一型曲面積分 (對(duì)面積的曲面積分) 2oxyz引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “分割, 近似和, 取極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值. 一一. 第一型曲面積分的背景與性質(zhì)第一型曲面積分的背景與性質(zhì)Szyxd),( 3定理定理: 設(shè)有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: Sd uvDdudvFEG2),(),(),(vuzvuyvuxr 二、曲面的面積二、曲面的面積 則則曲面的面積曲面的面積其中其中,| uvDvu

2、dudvrr,222uuuzyxrrEuu ,222vvvzyxrrGvv .vuvuvuvuzzyyxxrrF 曲面的曲面的Gauss系數(shù)系數(shù)4oxyz情形情形1: 光滑曲面光滑曲面yxDyxyxzz),(),(: yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122yxD則則曲面的面積曲面的面積 Sd),(,(yxzyxr 特別地特別地, 若若曲面為曲面為,2222Rzyx 則在球坐標(biāo)系下則在球坐標(biāo)系下,.sin2ddRdS 5oxyz情形情形2: 光滑曲面光滑曲面, 0),(: zyxH yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122 yxD則則曲面的面積曲面的面積 SdzyyzxxHHz

3、HHz ,.),(),(xyDyxyxzz dxdyHHyxDz |6定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: uvDdudvFEGvuzvuyvuxf2),(),(),(三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則則曲面積分曲面積分f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù),Szyxfd),(存在, 且有Szyxfd),(7oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxd

4、d),(),(122則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(8kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑光滑)9說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式. 如果曲

5、面方程為10yxD例例1. 計(jì)算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha11思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy12例2：. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影

6、為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(413221313例3：設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計(jì)算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個(gè)面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0 zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域14yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(102101zyx11o15xozy例例4. 設(shè)2222:azyx)

7、,(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?yxD則 1d)(22SyxI161d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考思考: 若例4 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? 17例例5. 計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)

8、系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d18例例6. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km, 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohRR建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球坐標(biāo)系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd 0202dsindR)cos1 (22RhRRcoshRhR2219故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(

9、21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. yzxohRR20zzd例例7. 計(jì)算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. 21xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x

10、軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx22xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為23xRyo例例8. 計(jì)算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí),

11、得球的表面積公式24 RS1x2xozyx24例例9. 求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對(duì)稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos25星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種.t點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)26內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利