大學(xué)物理 ——角動(dòng)量守恒

1、 自然界中常見物體繞著某中心運(yùn)動(dòng)的情況自然界中常見物體繞著某中心運(yùn)動(dòng)的情況.例例如地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)如地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn), 等等等等. 在這些情況下在這些情況下,僅僅僅僅用動(dòng)量來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)是不夠的用動(dòng)量來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)是不夠的,有必要引入有必要引入另一個(gè)物理量另一個(gè)物理量角動(dòng)量來(lái)描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量來(lái)描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng). 第五章第五章質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，另一端通過(guò)圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過(guò)圓孔向下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)半徑為下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)半徑為 r1，然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑r2的圓周。的圓周。試

2、問(wèn)小球這一過(guò)程中下面哪個(gè)敘述是對(duì)的？試問(wèn)小球這一過(guò)程中下面哪個(gè)敘述是對(duì)的？A. 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒B. 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒C. 動(dòng)能守恒動(dòng)能守恒D. 速度不變速度不變E. 以上都不對(duì)以上都不對(duì)#1a0204001aFOE 開普勒第一定律：所有行星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)開普勒第一定律：所有行星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開普勒第二定律：對(duì)任一開普勒第二定律：對(duì)任一行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線（稱為對(duì)太陽(yáng)的矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積（稱為對(duì)太陽(yáng)的矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積.開普勒第三定律：開普勒第三定律：

3、行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌跡的半長(zhǎng)軸行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌跡的半長(zhǎng)軸a的立的立方與運(yùn)動(dòng)周期方與運(yùn)動(dòng)周期T 的平放成反比。比例系數(shù)與行星無(wú)關(guān)，的平放成反比。比例系數(shù)與行星無(wú)關(guān)，是一個(gè)只與太陽(yáng)有關(guān)的常量。是一個(gè)只與太陽(yáng)有關(guān)的常量。 除了動(dòng)量，機(jī)械能守恒量以外一定除了動(dòng)量，機(jī)械能守恒量以外一定還有另外一個(gè)還有另外一個(gè)守恒量守恒量存在！存在！中學(xué)的表達(dá)式：對(duì)中學(xué)的表達(dá)式：對(duì)軸軸的力矩的力矩M sinFrFdM MrFod一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 p在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)rF和和FrM 力對(duì)力對(duì) 定軸定軸的力矩：的力矩：d是是O點(diǎn)到力作用線的點(diǎn)到力作用線的垂直距離，稱為垂直距離，稱為力臂力臂。FrM 力力 對(duì)

4、對(duì)o點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩：F sinrFM 方向由右手螺旋法則確定。方向由右手螺旋法則確定。FrM oZXYrF pzyxFFFzyxkjiFrM 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：kMjMiMzyx 1.1.力矩是改變質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因力矩是改變質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因, , 力是改變質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)狀態(tài)的原因。力是改變質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)狀態(tài)的原因。說(shuō)明說(shuō)明2. 同一力對(duì)空間不同點(diǎn)的力矩是不同的。同一力對(duì)空間不同點(diǎn)的力矩是不同的。122121LLLtMLLtt ddFrM vrmprL 0 vvvmvtpr d)(dtprd)(d 定義角動(dòng)量定義角動(dòng)量&質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及角動(dòng)量定理：及角動(dòng)量定理：dtb

5、dabdtadbadtd )(dtLd 質(zhì)點(diǎn)的角質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理動(dòng)量定理21dtttM為質(zhì)點(diǎn)在為質(zhì)點(diǎn)在 t內(nèi)對(duì)內(nèi)對(duì)o點(diǎn)的沖量矩點(diǎn)的沖量矩tprdd ptrtpr ddd)(dMtL dd1.1.質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)量動(dòng)量：vmp （對(duì)圓心的對(duì)圓心的）角動(dòng)量：）角動(dòng)量：vrmvmrprL )(大?。捍笮。簃rvL mrvLO)(vr 方向：滿足右手關(guān)系，向上方向：滿足右手關(guān)系，向上力力平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變（動(dòng)量定理）平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變（動(dòng)量定理）力矩力矩轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變狀態(tài)發(fā)生改變（角動(dòng)量定理）（角動(dòng)量定理）Sunrrvv2 2 行星在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)行星在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)

6、的橢圓軌道運(yùn)動(dòng))(vrmprL 大小：大?。?sin mvrL 方向：滿足右手關(guān)系，向上方向：滿足右手關(guān)系，向上3 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量vrmprL 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?思考：如何使思考：如何使L=0？mvdmvrL sinOmrdv對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)（太陽(yáng)）的角動(dòng)量：（太陽(yáng)）的角動(dòng)量：=0 ？質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的定義是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的定義是 ,以下哪一個(gè)以下哪一個(gè)選項(xiàng)的理解是正確的？選項(xiàng)的理解是正確的？ 對(duì)不同的參考點(diǎn)，角動(dòng)量是相同的，或者說(shuō)對(duì)不同的參考點(diǎn)，角動(dòng)量是相同的，或者說(shuō)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與特定的坐標(biāo)原點(diǎn)無(wú)關(guān)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與特定的坐標(biāo)原點(diǎn)無(wú)關(guān) 當(dāng)當(dāng) 與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量與質(zhì)

7、點(diǎn)動(dòng)量 平行時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量等于零平行時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量等于零 當(dāng)當(dāng) 與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 垂直時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量等于零垂直時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量等于零 以上都不對(duì)以上都不對(duì)rrpp#1a0204010aprLB對(duì)于角動(dòng)量的理解，以下說(shuō)法對(duì)于角動(dòng)量的理解，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的是：是：mOL質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m對(duì)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量是一個(gè)矢量，點(diǎn)的角動(dòng)量是一個(gè)矢量，其大小為其大小為prsin ,方向垂直于方向垂直于 和 組成的平面，與 和 滿足右手螺旋關(guān)系角動(dòng)量定義中的角動(dòng)量定義中的 一定是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置矢量角動(dòng)量是描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)角動(dòng)量是描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量的物理量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)該平面上當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動(dòng)

8、時(shí)，對(duì)該平面上任一點(diǎn)的角動(dòng)量都垂直該平面任一點(diǎn)的角動(dòng)量都垂直該平面rprpr#1a0204010brppB一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動(dòng)其中其中a，b， 為常數(shù)，為常數(shù)，試求：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)試求：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量矢量量矢量A. B. C. D. 以上都不對(duì)以上都不對(duì)j tbi tar sincoskmab k tttbam sinsincos)(22j ttmbi ttma sincossincos22#1a0204002aC試求試求: :該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量矢量該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量矢量. .解：解：: :一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)

9、動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動(dòng)j tbi tar sincos 其中其中a,b, 為常數(shù)為常數(shù)trvdd vrmL )cossin(j tbi ta )sincos(j tbi tam )sincos(22ktabktabm kmab (恒矢量恒矢量)或由或由FrM tLMdd! 0j tbi ta cossin 當(dāng)當(dāng) =恒矢量恒矢量)(,0vmrLM 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為一恒矢量。的角動(dòng)量為一恒矢量。二、角動(dòng)量守恒定律二、角動(dòng)量守恒定律開普勒第二定律開普勒第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面

10、積行星對(duì)太陽(yáng)的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積.mLvr&質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律dtdLM sinrtrm行星受力方向與矢徑在一條直線，永遠(yuǎn)行星受力方向與矢徑在一條直線，永遠(yuǎn)與矢徑是反平行的。與矢徑是反平行的。注意注意m Lvrr sinmvrLtSmtrrm 2sin212常矢量常矢量 LM0行星的行星的 時(shí)刻在變時(shí)刻在變, ,但其但其 可維持不變可維持不變. .vmL有心力有心力：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力的作的作 用線始終通過(guò)某個(gè)給定用線始終通過(guò)某個(gè)給定點(diǎn)，而且點(diǎn)，而且 力的大小只依賴于力的大小只依賴于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該給定點(diǎn)的距離。質(zhì)點(diǎn)對(duì)該給定點(diǎn)的距離。性質(zhì)：性

11、質(zhì)：角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 sinrrS21Fm Lvrr sinrrS21返回返回 sinsinrtrmmvrL-/2行星對(duì)太陽(yáng)的徑矢掃過(guò)的面積：行星對(duì)太陽(yáng)的徑矢掃過(guò)的面積：tSmtrrm 2sin212#1a0204003c一個(gè)一個(gè) 粒子飛過(guò)一金原子核而被散射，金核基本粒子飛過(guò)一金原子核而被散射，金核基本未動(dòng)（如圖所示）。在這一過(guò)程中，對(duì)金核中心未動(dòng)（如圖所示）。在這一過(guò)程中，對(duì)金核中心 粒子的角動(dòng)量粒子的角動(dòng)量A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 條件太少，無(wú)法判斷條件太少，無(wú)法判斷vAu核核 粒子粒子rA質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻自時(shí)刻自(a，0)處

12、靜止釋放，忽處?kù)o止釋放，忽略空氣阻力。問(wèn)對(duì)原點(diǎn)略空氣阻力。問(wèn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量是否守恒？的角動(dòng)量是否守恒？ A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 條件太少，無(wú)法判斷條件太少，無(wú)法判斷#1a0204003b a o x mg vB 1. 1. 一對(duì)作用力、反作用力對(duì)定點(diǎn)（定一對(duì)作用力、反作用力對(duì)定點(diǎn)（定軸）的合力矩軸）的合力矩等于零等于零。111frM 222frM 221121frfrMM 21ff 222121frfrMM 2212)(frfrr 0 &質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒2fr o2r1rr2f1fm1m22.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量ii

13、iPrL ddddiiiPrttL F Fi iP Pi iojrjfifirji0 iiiiiivmvPdtrdiir)(內(nèi)內(nèi)外外ijijifF iPtdddtbdabdtadbadtd )(iiiFrtL外外 ddM )(內(nèi)內(nèi)外外ijijiiifFrdtLd L 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 0M 常矢量常矢量一對(duì)作用力、反作用力對(duì)定點(diǎn)（定一對(duì)作用力、反作用力對(duì)定點(diǎn)（定軸）的合力矩等于零。軸）的合力矩等于零。iiiFr外外 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定理MtL dd一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率時(shí)間的變化率質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量

14、定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理。3 角動(dòng)量守恒定律是獨(dú)立于牛頓定律的角動(dòng)量守恒定律是獨(dú)立于牛頓定律的 自然界中更普適的定律之一自然界中更普適的定律之一. .4 角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。2 守恒指過(guò)程中任意時(shí)刻。守恒指過(guò)程中任意時(shí)刻。 1 角動(dòng)量守恒條件：角動(dòng)量守恒條件：合外力矩為零合外力矩為零.合外力為零合外力為零, ,合外力矩合外力矩不一定為零不一定為零, ,反之亦然反之亦然. .MtL dd如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定水平地固定在高處，其上穿過(guò)一條輕繩在高處，其上穿過(guò)一條輕繩,質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。質(zhì)量相同的兩個(gè)孩

15、子。起初兩個(gè)孩子都不動(dòng)。起初兩個(gè)孩子都不動(dòng)?，F(xiàn)設(shè)一個(gè)孩子甲用力向上爬，現(xiàn)設(shè)一個(gè)孩子甲用力向上爬，而另一個(gè)孩子乙抓住繩子不動(dòng)而另一個(gè)孩子乙抓住繩子不動(dòng)。試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)滑輪。試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)滑輪處？處？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)D. 誰(shuí)先到達(dá)不能確定誰(shuí)先到達(dá)不能確定#1a0204005aC如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定水平地固定在高處，其上穿過(guò)一條輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。在高處，其上穿過(guò)一條輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。在同一高度從靜止開始一起向上爬，在同一高度從靜止開始一起向上爬，任何時(shí)刻，相任何時(shí)刻，相對(duì)繩子，甲的速率是

16、乙的一倍對(duì)繩子，甲的速率是乙的一倍，試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)滑輪，試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)滑輪處？處？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)D. 誰(shuí)先到達(dá)不能確定誰(shuí)先到達(dá)不能確定#1a0204005bC例題如圖所示例題如圖所示.半徑為半徑為r 的輕滑輪的中的輕滑輪的中心軸心軸O水平地固定在高處水平地固定在高處,其上穿過(guò)一條其上穿過(guò)一條輕繩輕繩,質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子.起初兩個(gè)孩子起初兩個(gè)孩子都不動(dòng)。現(xiàn)設(shè)兩個(gè)孩子以不同的爬繩速都不動(dòng)?，F(xiàn)設(shè)兩個(gè)孩子以不同的爬繩速度從同一高度同時(shí)向上爬試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)度從同一高度同時(shí)向上爬試問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)滑輪處？滑輪處？分析：分析：系統(tǒng)合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量系

17、統(tǒng)合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。守恒。角動(dòng)量在兩小孩之間通過(guò)繩中張角動(dòng)量在兩小孩之間通過(guò)繩中張力的力矩（內(nèi)力矩）傳遞。力的力矩（內(nèi)力矩）傳遞。0 BArmvrmv設(shè)兩人對(duì)軸承設(shè)兩人對(duì)軸承0點(diǎn)的速率分別為點(diǎn)的速率分別為vA,vBBAvv 不論小孩對(duì)繩的速度如何，他們對(duì)地的速度都相不論小孩對(duì)繩的速度如何，他們對(duì)地的速度都相同，故將同時(shí)到達(dá)！同，故將同時(shí)到達(dá)！即：雖然即：雖然 , 但對(duì)某軸外力矩為但對(duì)某軸外力矩為 零，則總角動(dòng)量不守恒零，則總角動(dòng)量不守恒,但對(duì)這軸的角但對(duì)這軸的角動(dòng)量是守恒的動(dòng)量是守恒的.0 iM3 3 由分量式：由分量式：1 1 孤立系孤立系. .2 2 有心力場(chǎng)有心力場(chǎng), ,對(duì)力

18、心角動(dòng)量守恒對(duì)力心角動(dòng)量守恒. . xixLM;0常量常量 角動(dòng)量守恒的幾種可能情況：角動(dòng)量守恒的幾種可能情況：18世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說(shuō)，認(rèn)為太陽(yáng)系是由氣世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說(shuō)，認(rèn)為太陽(yáng)系是由氣云組成的。氣云原來(lái)很大，由自身引力而收縮，云組成的。氣云原來(lái)很大，由自身引力而收縮，最后聚集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽(yáng)本身。最后聚集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽(yáng)本身。萬(wàn)有引力不能把所有的天體吸引在一起萬(wàn)有引力不能把所有的天體吸引在一起? 形成一個(gè)扁平的盤狀形成一個(gè)扁平的盤狀!為什么星系是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？為什么星系是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？盤狀星系的成因盤狀星系的成因 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。Z方向：方向：解釋解釋星球具有

19、原始角動(dòng)量星球具有原始角動(dòng)量0 ZM 常量常量ZL000rvmmvr rrrvv100 321vrrmF 向向星球所需向心力：星球所需向心力：開始開始 ，當(dāng)，當(dāng) ：r 就穩(wěn)定不變就穩(wěn)定不變了，引力不能再使了，引力不能再使r r減小減小 。但在。但在z z軸方向卻無(wú)這軸方向卻無(wú)這個(gè)限制，所以可以在引力的作用下沿個(gè)限制，所以可以在引力的作用下沿z z向收縮，向收縮，使星云形成了鐵餅狀。使星云形成了鐵餅狀。 rFF向向引引向向引引FF Zvrm000例例: 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，另一端通過(guò)圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過(guò)圓孔向下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)（下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)（r1,v1)然然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動(dòng)