第5章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、2第第5章章 IIR數(shù)字數(shù)字濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計5.1 引言引言5.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計5.3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法5.4 雙線性變換法雙線性變換法5.5 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計5.6 IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法5.7本章涉及的本章涉及的MATLAB函數(shù)函數(shù)本章學(xué)習(xí)要點本章學(xué)習(xí)要點p了解了解數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的基本概念、分類和的基本概念、分類和技術(shù)指標技術(shù)指標p掌握常用模擬低通濾波器的掌握常用模擬低通濾波器的頻域特性頻域特性p了解了解模擬濾波器的模擬濾波器的設(shè)計方法（設(shè)計方法（巴特沃斯模擬低通濾波器

2、巴特沃斯模擬低通濾波器）p掌握利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的基本方法，包括掌握利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的基本方法，包括脈脈沖響應(yīng)不變法沖響應(yīng)不變法和和雙線性變換法雙線性變換法的的基本思路基本思路、方法方法及及優(yōu)缺點優(yōu)缺點p了解了解IIR數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計步驟的設(shè)計步驟p了解了解IIR數(shù)字濾波器的相位均衡概念數(shù)字濾波器的相位均衡概念345.1 引言引言 濾波器濾波器，顧名思義，是，顧名思義，是指能夠使輸入信號中某些頻率分指能夠使輸入信號中某些頻率分量充分地衰減，同時保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。量充分地衰減，同時保留那些需要的頻率分量的

3、一類系統(tǒng)。 根據(jù)對不同信號的處理，濾波器可分為：根據(jù)對不同信號的處理，濾波器可分為：p模擬濾波器模擬濾波器由硬件電路來實現(xiàn)；由硬件電路來實現(xiàn)；RCRR1RFC+-+p數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器把輸入序列通過一定的運算變換成所要求把輸入序列通過一定的運算變換成所要求的輸出序列，實質(zhì)上就是一個離散時間系統(tǒng)。的輸出序列，實質(zhì)上就是一個離散時間系統(tǒng)。 55.1.1 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類1.經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器p經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器 信號中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶，通過一信號中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶，通過一個線性系統(tǒng)可將個線性系統(tǒng)可將v(n)有效去除。

4、有效去除。)()()( jjjeHeXeY 加法性噪聲加法性噪聲)()()(nvnsnx 6p現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器 信號和噪聲頻譜占據(jù)同一頻段信號和噪聲頻譜占據(jù)同一頻段，靠經(jīng)典的濾波方法難以，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。去除噪聲。 目標：目標：是是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄中估計出信號的某些特從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄中估計出信號的某些特征或信號本身。征或信號本身。 種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測、自適應(yīng)種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測、自適應(yīng)濾波器。濾波器。乘法性噪聲乘法性噪聲)()()(nvnsnx 卷積性噪聲卷積性噪聲)(*)()(nvnsnx 72.IIR和和FIR濾波器濾波器

5、 線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均為零，則均為零，則其其z反變換反變換 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 長度為長度為M+1的有限長序列的有限長序列 8 此時的系統(tǒng)稱為有限長單位脈沖響應(yīng)（此時的系統(tǒng)稱為有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)inite Impulse Response）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。 反之，反之，h(n)是無限長序列，系統(tǒng)稱為無限長單位脈沖響是無限長序列，系統(tǒng)稱為無限長單位脈沖響應(yīng)（應(yīng)（IIR，Infinite Impulse Response）系統(tǒng)。）

6、系統(tǒng)。3. .低通、高通、帶通、帶阻濾波器低通、高通、帶通、帶阻濾波器 從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通（LP，Low Pass）、）、高通（高通（HP，High Pass）、帶通（）、帶通（BP，Band Pass）和帶）和帶阻（阻（BS，Band Stop）四種類型。）四種類型。9注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2為周期的，濾波器的為周期的，濾波器的低通頻帶處于低通頻帶處于2的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍的奇數(shù)倍附近。附近。pAFpDF1010

7、5.1.2 性能指標描述性能指標描述 濾波器的指標通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般濾波器的指標通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般為復(fù)函數(shù)，表示為為復(fù)函數(shù)，表示為其中，其中， 稱為稱為幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)， 稱為稱為相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 1.1.低通濾波器的性能指標低通濾波器的性能指標 通帶截止頻率通帶截止頻率 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 通帶通帶 阻帶阻帶p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH通帶通帶（允許的）（允許的）最大最大衰減衰減| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻帶

8、阻帶（應(yīng)達到的）（應(yīng)達到的）最小最小衰減衰減均勻過渡 （1 1）通帶下限、上限截止頻率）通帶下限、上限截止頻率 、 ；（2 2）阻帶截止頻率（）阻帶截止頻率（ 、 ）；）；（3 3）通帶頻率處的衰減）通帶頻率處的衰減 和阻帶頻率處的衰減和阻帶頻率處的衰減 。122.2.帶通濾波器的性能指標帶通濾波器的性能指標均勻過渡p1p2s1s2ps135.1.3 設(shè)計方法設(shè)計方法 設(shè)計一個數(shù)字濾波器一般包括三個基本步驟：設(shè)計一個數(shù)字濾波器一般包括三個基本步驟： 1. 確定所設(shè)計濾波器的技術(shù)指標。確定所設(shè)計濾波器的技術(shù)指標。 2.設(shè)計一個設(shè)計一個H(z)，使，使 3.用一個有限精度的算法去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。

9、用一個有限精度的算法去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH滿足給定的滿足給定的技術(shù)要求技術(shù)要求沒有考慮相位沒有考慮相位（1）零極點位置累試）零極點位置累試（2）利用模擬濾波器的理論）利用模擬濾波器的理論（3）最優(yōu)化設(shè)計）最優(yōu)化設(shè)計IIR濾波器濾波器FIR濾波器濾波器數(shù)字數(shù)字IIR濾波器設(shè)計的具體步驟：濾波器設(shè)計的具體步驟：給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標 （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標 （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬轉(zhuǎn)換成模擬低通低通濾波器的技術(shù)指標濾波器的

10、技術(shù)指標 得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器spsp, 設(shè)計模擬低通濾波器設(shè)計模擬低通濾波器 )(pG)(sH)z(H歸一化歸一化（原型原型）濾波器濾波器15第第5章章 IIR數(shù)字數(shù)字濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計5.1 引言引言5.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計5.3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法5.4 雙線性變換法雙線性變換法5.5 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計5.6 IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法5.7本章涉及的本章涉及的M

11、ATLAB函數(shù)函數(shù)165.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計 1. .為何要設(shè)計模擬低通濾波器？為何要設(shè)計模擬低通濾波器？ 由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計指標，設(shè)計出設(shè)計技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計指標，設(shè)計出模擬低通濾波器的原型，然后進行映射（原型變換）。模擬低通濾波器的原型，然后進行映射（原型變換）。 2.常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）濾波器）濾波器 通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。通帶具有最大平坦度，但從通帶到

12、阻帶衰減較慢。01234-40-20001234-50517 （2）切比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）濾波器）濾波器 能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。 （3）橢圓（）橢圓（Ellipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶等波紋。通帶和阻帶等波紋。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-50518 （4）貝塞爾（）貝塞爾（Bessel）濾波器）濾波器 著重相頻響應(yīng)，著重相頻響應(yīng)，通帶內(nèi)有較好的線性相位通帶內(nèi)有較好的線性相位。01234-40-30-20-10001234-50519 模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方

13、函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù) 來表來表示，即示，即 由于濾波器沖激響應(yīng)由于濾波器沖激響應(yīng) 是實函數(shù)，因而是實函數(shù)，因而 具有具有共軛對稱性共軛對稱性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、極點共軛成對出現(xiàn)，的零、極點共軛成對出現(xiàn)， Ha(s)Ha(-s)的零、極點必成的零、極點必成象限對稱象限對稱。5.2.1 由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)()(a*a jHjH)(a jH)(tha20 由由 確定確定Ha(s) 的方法的方法

14、 1）由）由 得到象限對稱的得到象限對稱的s平面函數(shù)；平面函數(shù)； 2）將將 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各個零點和極點；因式分解，得到各個零點和極點； 極點選擇極點選擇：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點作為：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點作為Ha(s)的的極點，右半平面作為極點，右半平面作為Ha(-s)的極點；的極點； 零點選擇零點選擇：沒有特殊要求，可將對稱零點的任意一半：沒有特殊要求，可將對稱零點的任意一半分配給分配給Ha(s)；如果要求最小相位延時特性，則；如果要求最小相位延時特性，則Ha(s)的零點的零點取左半平面。取左半平面。 3）按照按照 與與Ha(s)的低頻特性的對比，或高頻特性

15、的低頻特性的對比，或高頻特性的對比，確定出增益常數(shù)的對比，確定出增益常數(shù)K0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa21 4）由）由zeros、poles、K0 得得 例例5-1 給定濾波器的幅度平方函數(shù)給定濾波器的幅度平方函數(shù) 求具有最小相位特性的傳輸函數(shù)求具有最小相位特性的傳輸函數(shù) 。 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa22 解：解：由于由于 是非負有理函數(shù)，它在是非負有理函數(shù)，它在j軸上的零軸上的零點是偶次的，所以滿足幅度平方函數(shù)的條件，將點是偶次的，所以

16、滿足幅度平方函數(shù)的條件，將 代代入入 的表達式，可得的表達式，可得其極點為其極點為 ， ；零點為；零點為 （皆為二階，位于虛（皆為二階，位于虛軸上）軸上） 為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點s=2，s=3及一對虛及一對虛軸軸共軛零點共軛零點s=j作為其零、極點，并設(shè)增益常數(shù)為作為其零、極點，并設(shè)增益常數(shù)為K0，則則2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs 23 按照按照 和和 的低頻特性或高頻特性的對比可以的低頻特性或高頻特性的對比可以確定增益常數(shù)

17、。在這里我們采用低頻特性，即由確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由 可得增益常數(shù)可得增益常數(shù) ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa245.2.2 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器 1.表達式表達式 3dB處的截止頻率處的截止頻率 在在=0=0處有最平響應(yīng)。處有最平響應(yīng)。NNjH2p22c2a)/(11)/(11| )(| c 25 2.求求和和N 1）p，p 2） s，s N)1lg(10)/(11lg10| )(|lg102222a NppjH1101 . 0 p )

18、/(1lg102ps2sN ps21 . 0/lg2110lgs N（若若p=3dB，=1）26 3. .由由 求求Ha(s) 令令 ，歸一化變量歸一化變量求極點，令求極點，令 k = 0，1，2N-1 2| )(| jHaNNjsNssHsH2p2/2p2aa)/()1(11)/(11)()( jssHsHjH| )()(| )(|aa2ap spNNppHpH22aa)1(11)()( 0)1(122 NNp NkjjNkeep2)12(21 27選取選取左半平面左半平面的極點作為的極點作為Ha(p) 的極點的極點 k = 0，1，N-1把把 代入代入Ha(p) 得到實際的得到實際的Ha(

19、s) 步驟步驟： 求求；求求N；求求Ha(p) ；NkjjNkeep2)12(21 )()(1)(1N10a pppppppHp sp)()(| )()(p1Np1p0Npaap pspspspHsHspp| )()(aa sppHsH28例例5-2 設(shè)計一個巴特沃斯設(shè)計一個巴特沃斯LPF，kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 2930 4.巴特沃思濾波器的圖表法設(shè)計巴特沃思濾波器的圖表法設(shè)計（1）將）將 、 進行歸一化處理，得到進行歸一化處理，得到 、（2）由圖）由圖5-5，得階數(shù)，得階數(shù)Np s p s 1ppp 1pss 00.20.40.60.81-3-2.5-2-1.5

20、-1-0.50246810-100-80-60-40-200通通帶帶內(nèi)內(nèi)衰衰減減阻阻帶帶內(nèi)內(nèi)衰衰減減kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 一般以一般以 為為參考頻率進行參考頻率進行歸一化歸一化p31（3）查表，得）查表，得H(p)的分母多項式的分母多項式32（4）去歸一化）去歸一化例例5-3 利用圖表法設(shè)計例利用圖表法設(shè)計例5-2所述的巴特沃斯濾波器。所述的巴特沃斯濾波器。csppHsH /| )()(33 5.巴特沃思濾波器的巴特沃思濾波器的MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn) 在在MATLAB信號處理工具箱中，與信號處理工具箱中，與Butterworth濾波器濾波器相關(guān)的有三個函數(shù)：相關(guān)的有

21、三個函數(shù)：buttord(), buttap(), butter() （1）n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出給定通帶，求出給定通帶截止頻率截止頻率wp、阻帶截止頻率、阻帶截止頻率ws、通帶最大衰減、通帶最大衰減Rp、阻帶、阻帶最小衰減最小衰減Rs條件下，所需要的最小條件下，所需要的最小Butterworth模擬濾波模擬濾波器階數(shù)器階數(shù)n和和3dB截止頻率截止頻率wn。 （2）模擬低通原型濾波器設(shè)計函數(shù)）模擬低通原型濾波器設(shè)計函數(shù)buttap，調(diào)用格式，調(diào)用格式為為z,p,k=buttap(n)，其中參數(shù)，其中參數(shù)z、p、k分別為濾波器的零分別為濾波器的零點、極點和增

22、益。點、極點和增益。34 （3）Butterworth濾波器完全設(shè)計函數(shù)，調(diào)用格式為濾波器完全設(shè)計函數(shù)，調(diào)用格式為b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype為濾波器類型，為濾波器類型，缺省時表示低通或帶通濾波器。缺省時表示低通或帶通濾波器。b、a分別為濾波器傳輸函分別為濾波器傳輸函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)向量。數(shù)分子、分母多項式系數(shù)向量。 例例5-4 利用利用MATLAB實現(xiàn)下述巴特沃斯實現(xiàn)下述巴特沃斯濾波器。濾波器。解解 MATLAB實現(xiàn)程序如下：實現(xiàn)程序如下：wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20;%計算滿足性能指標的濾波器階數(shù)計算滿足性能指標的濾波器階數(shù)

23、n和和3dB截止頻率截止頻率wnn,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 35%設(shè)計模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點、極點和增益設(shè)計模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點、極點和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一種方法設(shè)計模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、采用另一種方法設(shè)計模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、分母多項式形式分母多項式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模擬濾波器的頻率響應(yīng)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%繪圖繪圖plot(w,db,k);axi

24、s(0,2*ws,-50,1);grid on;36仿真曲線仿真曲線kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 410psp課后作業(yè)課后作業(yè)p設(shè)計一個模擬巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻設(shè)計一個模擬巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻率率750Hz，通帶內(nèi)衰減不大于，通帶內(nèi)衰減不大于 3dB，阻帶最低頻，阻帶最低頻率為率為 1600Hz，阻帶內(nèi)衰減不小于，阻帶內(nèi)衰減不小于 7dB。37385.3脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法1.變換原理變換原理 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)器的沖激響應(yīng)ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采

25、樣值的采樣值，即即h(n)ha(nT)。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)只有單階極點，只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則 其拉普拉斯反變換其拉普拉斯反變換 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(39 對對ha(t)采樣，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)采樣，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為為 對對h(n)取取z變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可見，可見，s平面的極點平面的極點si映射到映射到z平面的極點平面的極點 而對應(yīng)系數(shù)不變。而對應(yīng)系數(shù)不變。 NinTsianTueAn

26、Thnhi1)()()( NiTsizeAzHi111)(Tsie40 例例5-5 利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器變換為數(shù)字濾波器 ，采樣周期，采樣周期 。 解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)極點：極點： ， 。 因此，所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為因此，所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH41 目的：目的：研究研究h(n)的的z變換與變換與ha(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換之間的關(guān)系之間

27、的關(guān)系 設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)經(jīng)理想采樣經(jīng)理想采樣后的采樣信號為后的采樣信號為則則2對脈沖響應(yīng)不變法的進一步討論對脈沖響應(yīng)不變法的進一步討論)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh 比較序列比較序列h(n)的的Z變換變換 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 42s與與z的的關(guān)系關(guān)系)z(| )(1zln1saHjksHTTsk 或或時域采樣定理時域采樣定理H(z)與與Ha(s)的周期延拓建立

28、了關(guān)聯(lián)！的周期延拓建立了關(guān)聯(lián)！ ksaajkjHTjH)(1)(由于由于 ksaajksHTsH)(1)(代入，得代入，得 js將將 kejksHTHsT)(1| )z(saz因此因此433s平面與平面與z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系Ter T sTez jre z js 令令得得，TjTjeere 因此因此討論：討論：（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虛軸虛軸映射為映射為z平面平面的的單位圓單位圓。44討論：討論：（2）0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射為為z平面的平面的單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部，而，而s右半平面右半平面則映射為則映射為z平平面面單位圓外部單位圓外部。Te

29、r T 45討論：討論：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一條寬為平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的的橫條，都將重疊的映射到整個映射到整個z平面上。平面上。脈沖響應(yīng)不變法不是從脈沖響應(yīng)不變法不是從s平面平面到到z平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系。平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系。 464頻率混疊效應(yīng)頻率混疊效應(yīng) 根據(jù)時域采樣理論，采樣序列根據(jù)時域采樣理論，采樣序列h(n)的的z變換與模變換與模擬信號擬信號ha(t)的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( kajkTjTjHTeH)2(1)( 與時域采樣定

30、理吻合！與時域采樣定理吻合！ jsT 將將 和和 代入得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)代入得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。47圖圖5-11 脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象48 只有當模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谥挥挟斈M濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)，即折疊頻率以內(nèi)，即有有 此時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器此時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 49 但是，

31、任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都但是，任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，這就不可避免的會產(chǎn)生混疊不可能是真正帶限的，這就不可避免的會產(chǎn)生混疊失真。失真。 答：答：當模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰當模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰減越大時，混疊失真就越小。減越大時，混疊失真就越小。 問題：問題：要求混疊要求混疊失真小，對模擬濾波失真小，對模擬濾波器的頻響有何要求？器的頻響有何要求？ 混疊混疊TTfs )(505優(yōu)缺點優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點： 1）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，所以濾波器的沖激響應(yīng)，所以時域逼近良好

32、時域逼近良好。 2）頻率變化是線性關(guān)系頻率變化是線性關(guān)系=T，頻率特性形，頻率特性形狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴重）。狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴重）。缺點：缺點： 會產(chǎn)生會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。只適合帶限濾波器（如。只適合帶限濾波器（如低通、帶通濾波器）的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾低通、帶通濾波器）的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。波器的設(shè)計。51 例例5-6 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個數(shù)字巴特利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個數(shù)字巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻率沃思低通濾波器，通帶截止頻率fp=0.1kHz，通帶最，通帶最大衰減大衰減Rp=1dB，阻帶截止頻率，阻帶截

33、止頻率fs=0.3kHz，阻帶最小，阻帶最小衰減衰減Rs=10dB。研究不同采樣頻率對所設(shè)計數(shù)字濾。研究不同采樣頻率對所設(shè)計數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率fs分別取分別取1kHz，2kHz，4kHz。52運行結(jié)果運行結(jié)果 53545.4雙線性變換法雙線性變換法551.變換原理變換原理 先先將將s平面壓縮成平面壓縮成s1平面上一個寬度為平面上一個寬度為2/T的水的水平帶狀區(qū)域平帶狀區(qū)域， 然后然后通過通過z=es1T將這個帶狀區(qū)域映射到整個將這個帶狀區(qū)域映射到整個z平平面面，實現(xiàn)，實現(xiàn)s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。5657引入正切變換引入正切

34、變換 將將s平面的虛軸平面的虛軸變換到變換到s1平面虛軸平面虛軸/T之間之間 延拓到整個延拓到整個s平面和平面和s1平面，令平面，令 ， ，則得則得221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj js11 jsTsTseeT11112 222211112TsTsTsTseeeeT s58 這種這種s平面單值映射為平面單值映射為z平面的映射關(guān)系稱作平面的映射關(guān)系稱作雙雙線性變換法線性變換法。11112 zzTsTsTseeTs11112 簡單的代數(shù)關(guān)系簡單的代數(shù)關(guān)系 sTsTz /2/2或或Tsez1 再將再將s1平面映射到平面映射到z平面，應(yīng)用平面

35、，應(yīng)用 ，從而實，從而實現(xiàn)了現(xiàn)了s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。 59 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器時，在得到相用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器時，在得到相應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)后，后，只要將相應(yīng)的變只要將相應(yīng)的變換關(guān)系代入換關(guān)系代入Ha(s)，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)11z1z12a| )()z( TssHH602.模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系 s平面上平面上與與z平面的平面的成成單值映射單值映射非線性正切非線性正切關(guān)系（關(guān)系（可以避免混疊可以避免混疊），在零頻附近，），在零頻附近，和和變

36、換變換關(guān)系近似于線性，關(guān)系近似于線性，隨著隨著的增加，表現(xiàn)出嚴重非線的增加，表現(xiàn)出嚴重非線性性 （頻率失真頻率失真）。）。2tan22tan21 TTT 613.優(yōu)缺點優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點： 消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計。帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計。缺點：缺點： 與與之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率失真。失真。624.4.雙線性變換法中的頻率失真雙線性變換法中的頻率失真 由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。圖圖5-15 理想微分器經(jīng)雙線性

37、變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變 63sspp 64 雙線性變換法適合雙線性變換法適合分段常數(shù)分段常數(shù)特性濾波器的設(shè)特性濾波器的設(shè)計。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)計。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變畸變。 這種頻率的畸變，可通過頻率的這種頻率的畸變，可通過頻率的預(yù)畸預(yù)畸加以校正加以校正。655.5.預(yù)畸變預(yù)畸變 模擬濾波器的模擬濾波器的臨界頻率臨界頻率p，如按線性變換關(guān)系，如按線性變換關(guān)系=T，應(yīng)該變換到應(yīng)該變換到數(shù)字頻率數(shù)字頻率p。但雙線性變換法的頻率變換是。但雙線性變換法的頻率

38、變換是按按=2arctan(T/2)的曲線進行的，所以實際變換到的曲線進行的，所以實際變換到p ，這就是這就是畸變畸變。 由于從由于從p變不到變不到p ，可，可以設(shè)想，以設(shè)想，一開始就把目標一開始就把目標修正為修正為p，而不是，而不是p ，這樣，雙線性變換后，這樣，雙線性變換后， p正好正好“畸變畸變”到到p 。 66 例例5-7：設(shè)計一個一階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其通設(shè)計一個一階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其通帶截止頻率為帶截止頻率為200Hz，通帶最大衰減為，通帶最大衰減為3dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 67 例例5-7：巴特沃思數(shù)字低通，通帶截止頻率為巴特沃思數(shù)字低通，通帶截

39、止頻率為200Hz，通，通帶最大衰減為帶最大衰減為3dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 68 預(yù)畸變就是預(yù)畸變就是將臨界模擬頻率事先加以畸變將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 “ “預(yù)畸預(yù)畸”方法：先由方法：先由p按線性變換關(guān)系求出按線性變換關(guān)系求出p (=T)，再代入式再代入式 ，求出，求出 。2tanT2 2tanT22tanT2pppT69 例例5-8 已知已知fp=0.3kHz，Rp=1dB，fs=0.2kHz，Rs=20dB，T=1ms, 利用雙線性變換法設(shè)計一個利用雙線性變換法設(shè)計一個Cheby

40、shev I 型數(shù)字高通濾波器。型數(shù)字高通濾波器。 解解 MATLAB實現(xiàn)程序如下：實現(xiàn)程序如下：Rp=1;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;wp=2*pi*fp;ws=2*pi*fs;%預(yù)畸變預(yù)畸變wp1=(2/T)*tan(wp*T/2);ws1=(2/T)*tan(ws*T/2);70%設(shè)計模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器n,wn=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,Rp,wn,high,s); %雙線性變換雙線性變換bz,az=bilinear(b,a,1/T); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);

41、plot(w/pi,db);axis(0,1,-30,2)7100.20.40.60.81-30-20-10072 例例5-9： ， ， ， ，T=1ms；用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計一；用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計一個個Butterworth數(shù)字低通濾波器。數(shù)字低通濾波器。 仿真波形：仿真波形： 思考：思考：圖中哪條曲線為雙線性變換法所設(shè)計濾波器的頻圖中哪條曲線為雙線性變換法所設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)，為什么？率響應(yīng)，為什么？ 2 . 0p 6 . 0s dBR1p dBR25s 0100200300400500600700800-40-35-30-25-20-15-10-50Frequency (Hz)Magnitude (dB)Magnitude Response Comparison735.利用利用AF設(shè)計設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟數(shù)字低通濾波器的步驟 1 .確定數(shù)字低通濾波器（確定數(shù)字低通濾波器（LPDF）的性能指標）的性能指標;2 .將將LPDF指標轉(zhuǎn)換為指標轉(zhuǎn)換為LPAF的性能指標（主要指的性能