第4講 全概率與貝葉斯公式

1、第四講第四講應用概率統(tǒng)計應用概率統(tǒng)計 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 幾何概型幾何概型 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率比較復雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。式和乘法公式的綜合運用。 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 引例引例 有三個箱子有三個箱子, 分別編號分別編號1, 2, 3。1號號箱裝有箱裝有1紅球紅球, 4白球白球; 2

2、號箱裝有號箱裝有2紅球紅球, 3白球白球; 3號箱裝有號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱紅球。某人從三箱中任取一箱, 再再從這箱中任取一球，求取到紅球的概率。從這箱中任取一球，求取到紅球的概率。解：記解：記 B=取得紅球取得紅球 , Ai=球取自球取自 i 號箱號箱, i =1,2,3。即即 B= A1BA2BA3B，且，且 其中其中A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1, ,A2, ,A3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運用加法公式運用加法公式將此例中解答思路方法推廣到一般的情形，將此例中解

3、答思路方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的就得到在概率計算中常用的全概率公式全概率公式。對和式中的對和式中的各項運用乘各項運用乘法公式得法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP具體計算具體計算:1) 1) 關于樣本空間的劃分關于樣本空間的劃分SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;, 2 , 1,=) 1 (njijiAAji.) 2 (21SAAAn 定義定義 設 S 為試驗 E 的樣本空間， 為 E 的一組事件。若滿足nAAA,21則稱這一組事件為樣本空間 S 的一個劃分。 也稱滿足上述條件的事件組也稱滿足

4、上述條件的事件組A1,A2,An為為完備事件組完備事件組. 設A1,A2,An是樣本空間的一個劃分，且P(Ai)0( i =1,2,n), 另有試驗的一事件B, 則 niiiABPAPBP1)()()(2) 全概率公式全概率公式:全概率公式還可敘述為： 設S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, ,1SAnii則對任一事件B，有niiiABPAPBP1)()()( 在較復雜情況下，直接計算在較復雜情況下，直接計算P(B)不容易不容易, 但總可以適當?shù)貥嬙煲唤M兩兩互斥的但總可以適當?shù)貥嬙煲唤M兩兩互斥的Ai , 使使B伴隨著某個伴隨著某個Ai

5、的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個 P( Ai B) 容易計算?？捎盟腥菀子嬎恪？捎盟?P( Ai B) 之和計算之和計算 P(B)。 niiiABPAPBP1)()()(由由全概率公式全概率公式公式公式“全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多個個“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和?？芍芍? 某一事件某一事件B B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因A Ai i ( (i i=1,2,=1,2,n n) )，如果，如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，則所引起，則B B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 P P( (A Ai iB B)=)=P P(

6、 (A Ai i) )P P( (B B | |A Ai i).).每一原每一原因都可能導致因都可能導致B B 發(fā)生，故發(fā)生，故B B 發(fā)生的概率是各原發(fā)生的概率是各原因引起因引起B(yǎng) B 發(fā)生概率的總和，即全概率公式。發(fā)生概率的總和，即全概率公式。我們還可以從另一個角度去理解全概率公式。我們還可以從另一個角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由由原因推結果原因推結果，每個原因?qū)Y果的發(fā)生有一定的，每個原因?qū)Y果的發(fā)生有一定的“作用作用”，即結果發(fā)生的可能性與各種原因的，即結果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用作用”大小有關。全概率公式表達了因果

7、之大小有關。全概率公式表達了因果之間的關系間的關系 。 例例 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛 機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：設解：設B=飛機被擊落飛機被擊落， Ai=飛機被飛機被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)則則 B=A1B+A2B+A3B依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 下面求P(

8、Ai ) ： 設 Hi=飛機被第i人擊中, i=1,2,3可得可得: )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP將數(shù)據(jù)代入計算得：P(A1)=0.36；P(A2)=0.41； P(A3)=0.14。于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3) =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 =0.458即飛機被擊落的概率為即飛機被擊落的概率為0.458. Ai=飛機被飛機被i人擊中人擊中練習練習 某小組有某小組有2020名射手，其中一、二、名射手，其

9、中一、二、三、四級射手分別為三、四級射手分別為2 2、6 6、9 9、3 3名若選一、名若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為中目標的概率分別為0.850.85、0.640.64、0.450.45、0.320.32，今隨機選一人參賽，試求該小組在比，今隨機選一人參賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率賽中射中目標的概率由全概率公式， 5275. 041iiABPiAPBP實際中還有相反一類問題：實際中還有相反一類問題： “已知結果求原因已知結果求原因” 這一類問題在實際中常見，它所求的是這一類問題在實際中常見，它所求的是條件概率，是

10、某結果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。接引例，考慮如下問題：接引例，考慮如下問題： 某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自1 1號箱的概率?；蛘咛栂涞母怕??；蛘邌枺簡枺骸霸撉蛉∽愿飨涞目赡苄源笮≡撉蛉∽愿飨涞目赡苄源笮　?” 。)()()|(11BPBAPBAP考慮這類新問題：考慮這類新問題：記記 B = 取得紅球取得紅球， Ai = 球取自球取自 i 號箱號箱，i =1, 2, 3; 。所求為所求為 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|

11、()(運用全概率公式運用全概率公式 計算計算P(B)將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjjiii 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導已發(fā)生的條件下，尋找導致致B發(fā)生的每個原因的概率。發(fā)生的每個原因的概率。3) 貝葉斯公式貝葉斯公式 設設A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總

12、是與它總是與A1, A2, , An 之一同時發(fā)生，則之一同時發(fā)生，則 例例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者，患者對一種試驗反應是陽性的概率為對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為對這種試驗反應是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”。 A解：解：設設A = 抽查的人患癌癥抽查的人患癌癥, B = 試驗結果陽性試驗結果陽性， 已知已知:。 04.0)|( ,95.0)

13、|(, 995.0)( ,005.0)(ABPABPAPAP0.1066 )|()()|()()|()()|( ABPAPABPAPABPAPBAP 由由貝葉斯公式貝葉斯公式 如果不做試驗，抽查一人如果不做試驗，抽查一人, 他是癌癥患者他是癌癥患者的概率的概率 P(A)=0.005 。 患者陽性反應的概率是患者陽性反應的概率是0.950.95，若試驗后，若試驗后呈陽性反應，則根據(jù)試驗得到的信息：此人呈陽性反應，則根據(jù)試驗得到的信息：此人是癌癥患者的概率為是癌癥患者的概率為 P(A|B)= 0.1066 。 說明試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。說明試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。 概率從

14、概率從0.005增加到增加到0.1066, 約增加了約增加了2121倍。倍。(1) 該試驗對于診斷一個人是否患癌有無意義該試驗對于診斷一個人是否患癌有無意義現(xiàn)在來分析一下結果的意義：現(xiàn)在來分析一下結果的意義：(2) 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗結果為陽性，此人確患癌癥的概率為試驗結果為陽性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。 即使檢出陽性，不必過早下結論，這種可即使檢出陽性，不必過早下結論，這種可能性只有能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個人中大約個人中大約只有只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過其他，此時醫(yī)生常要通過

15、其他試驗來確認試驗來確認。 在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱分別稱為原因的為原因的驗前概率驗前概率和和驗后概率驗后概率。 P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在沒有進一步的是在沒有進一步的信息信息(不知道事件不知道事件B是否發(fā)生是否發(fā)生) 的情況下，人的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。 當有了新的信息當有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生)，人們對諸，人們對諸事件發(fā)生可能性大小事件發(fā)生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認識。有了新的認識。 P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱為原因的分別稱為原因的驗前概率驗

16、前概率和和驗后概率驗后概率。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。 練習練習 8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準過支已校準過,3,3支未校支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概準。一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概率為率為0.8；用未校準的槍射擊時，中靶概率為；用未校準的槍射擊時，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從。現(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結果支槍中任取一支用于射擊，結果中靶。中靶。 求：所用的槍是校準過的概率。求：所用的槍是校準過的概率。解：解：設設 A=射擊時中靶射擊時中靶 ， B1 1=槍校準過槍校準過,B2 2=槍未校準槍未校準 ，則則 B1 1

17、, ,B2 2 是是一個劃分，由貝葉斯公式，得一個劃分，由貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 . 0 練習練習 一批同型號的螺釘由甲，乙，丙三臺一批同型號的螺釘由甲，乙，丙三臺機器共同生產(chǎn)。各臺機器生產(chǎn)量占總量的比機器共同生產(chǎn)。各臺機器生產(chǎn)量占總量的比例分別為例分別為35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各臺機器的次品率。各臺機器的次品率分別為分別為3%, 2%3%, 2%和和1%1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一。現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求顆次品。求:

18、:這顆螺釘由這顆螺釘由甲，乙，丙甲，乙，丙機器生產(chǎn)機器生產(chǎn)的概率各為多少的概率各為多少? ?由貝葉斯公式，得由貝葉斯公式，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(,32ABPABP，同理P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。解：設解：設 A A=釘是次品釘是次品,B B1 1=釘由甲機器生產(chǎn)釘由甲機器生產(chǎn), B B2 2=釘由乙機器生產(chǎn)

19、釘由乙機器生產(chǎn),B B3 3=釘由丙機器生產(chǎn)釘由丙機器生產(chǎn) 。練習練習 對以往的數(shù)據(jù)分析結果表明：當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品合格率為 90% , 而當機器發(fā)生某一故障時，其合格率為 30% 。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機器調(diào)整得良好的概率是多少？ 機器調(diào)整得良好 產(chǎn)品合格 機器發(fā)生某一故障 BBAP A B( | ) 90%P A B( |) 30%9 .0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不

20、只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的夠的. 把等可能推廣到無限個樣本點場合把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們?nèi)藗円肓藥缀胃判鸵肓藥缀胃判? 由此形成了確定概率的另由此形成了確定概率的另一方法一方法幾何方法幾何方法. 2. 幾何概型幾何概型 例例 (會面問題）甲、乙二人約定在 12 點到 5 點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去，設二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且互不影響。求二人能會面的概率。解：解： 以 X , Y 分別表示甲乙二人到達的時刻，于是. 50, 50YX54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1所有的點構成一個正方形，即有無窮多個結果

21、。由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的。二人會面的條件是： |,X Y 1.259254212252正方形的面積陰影部分的面積p54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1 一般，設某個區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測 度 mD(長度，面積，體積)。如果隨機實驗 E 相當于向區(qū)域內(nèi)任意地取點，且取到每一點都是等可能的，則稱此類試驗為 幾何概型。 如果試驗 E 是向區(qū)域內(nèi)任意取點，事件 A 對應于點落在 D 內(nèi)的某區(qū)域 A，則.)(DAmmAP 例例 (蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是 a (a0) 。向平面任意投一長為 l (la) 的針，試求針與一條平行線相交的概率。解解 ：設 x 是針的中點 M 到最近的平行線的距離， 是針與此平行線的交角，投針問題就相當于向平面區(qū)域 D 取點的幾何概型。Dxxa( , )|,002lMxMAxxl( , )|,sin 002xl2sinxa2DAAxxl( , )|,sin 002pADldala的面積的面積2220sin. Dxxa