第4講 全概率與貝葉斯公式

1、第四講第四講應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì) 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 幾何概型幾何概型 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 引例引例 有三個(gè)箱子有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)分別編號(hào)1, 2, 3。1號(hào)號(hào)箱裝有箱裝有1紅球紅球, 4白球白球; 2

2、號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅球紅球, 3白球白球; 3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱紅球。某人從三箱中任取一箱, 再再從這箱中任取一球，求取到紅球的概率。從這箱中任取一球，求取到紅球的概率。解：記解：記 B=取得紅球取得紅球 , Ai=球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱, i =1,2,3。即即 B= A1BA2BA3B，且，且 其中其中A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1, ,A2, ,A3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生，于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式運(yùn)用加法公式將此例中解答思路方法推廣到一般的情形，將此例中解

3、答思路方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式全概率公式。對(duì)和式中的對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP具體計(jì)算具體計(jì)算:1) 1) 關(guān)于樣本空間的劃分關(guān)于樣本空間的劃分SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;, 2 , 1,=) 1 (njijiAAji.) 2 (21SAAAn 定義定義 設(shè) S 為試驗(yàn) E 的樣本空間， 為 E 的一組事件。若滿足nAAA,21則稱這一組事件為樣本空間 S 的一個(gè)劃分。 也稱滿足上述條件的事件組也稱滿足

4、上述條件的事件組A1,A2,An為為完備事件組完備事件組. 設(shè)A1,A2,An是樣本空間的一個(gè)劃分，且P(Ai)0( i =1,2,n), 另有試驗(yàn)的一事件B, 則 niiiABPAPBP1)()()(2) 全概率公式全概率公式:全概率公式還可敘述為： 設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, ,1SAnii則對(duì)任一事件B，有niiiABPAPBP1)()()( 在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(B)不容易不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使使B伴隨著某個(gè)伴隨著某個(gè)Ai

5、的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè) P( Ai B) 容易計(jì)算?？捎盟腥菀子?jì)算?？捎盟?P( Ai B) 之和計(jì)算之和計(jì)算 P(B)。 niiiABPAPBP1)()()(由由全概率公式全概率公式公式公式“全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多個(gè)個(gè)“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和?？芍芍? 某一事件某一事件B B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因A Ai i ( (i i=1,2,=1,2,n n) )，如果，如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，則所引起，則B B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 P P( (A Ai iB B)=)=P P(

6、 (A Ai i) )P P( (B B | |A Ai i).).每一原每一原因都可能導(dǎo)致因都可能導(dǎo)致B B 發(fā)生，故發(fā)生，故B B 發(fā)生的概率是各原發(fā)生的概率是各原因引起因引起B(yǎng) B 發(fā)生概率的總和，即全概率公式。發(fā)生概率的總和，即全概率公式。我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式。我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由由原因推結(jié)果原因推結(jié)果，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用作用”大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果

7、之大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系間的關(guān)系 。 例例 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：設(shè)解：設(shè)B=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落， Ai=飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)則則 B=A1B+A2B+A3B依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 下面求P(

8、Ai ) ： 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3可得可得: )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得：P(A1)=0.36；P(A2)=0.41； P(A3)=0.14。于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3) =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 =0.458即飛機(jī)被擊落的概率為即飛機(jī)被擊落的概率為0.458. Ai=飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中練習(xí)練習(xí) 某小組有某小組有2020名射手，其中一、二、名射手，其

9、中一、二、三、四級(jí)射手分別為三、四級(jí)射手分別為2 2、6 6、9 9、3 3名若選一、名若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為中目標(biāo)的概率分別為0.850.85、0.640.64、0.450.45、0.320.32，今隨機(jī)選一人參賽，試求該小組在比，今隨機(jī)選一人參賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率賽中射中目標(biāo)的概率由全概率公式， 5275. 041iiABPiAPBP實(shí)際中還有相反一類問題：實(shí)際中還有相反一類問題： “已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實(shí)際中常見，它所求的是這一類問題在實(shí)際中常見，它所求的是條件概率，是

10、某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。接引例，考慮如下問題：接引例，考慮如下問題： 某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自1 1號(hào)箱的概率?；蛘咛?hào)箱的概率?；蛘邌枺簡枺骸霸撉蛉∽愿飨涞目赡苄源笮≡撉蛉∽愿飨涞目赡苄源笮　?” 。)()()|(11BPBAPBAP考慮這類新問題：考慮這類新問題：記記 B = 取得紅球取得紅球， Ai = 球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱，i =1, 2, 3; 。所求為所求為 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|

11、()(運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式 計(jì)算計(jì)算P(B)將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjjiii 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。發(fā)生的每個(gè)原因的概率。3) 貝葉斯公式貝葉斯公式 設(shè)設(shè)A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總

12、是與它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則之一同時(shí)發(fā)生，則 例例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”。 A解：解：設(shè)設(shè)A = 抽查的人患癌癥抽查的人患癌癥, B = 試驗(yàn)結(jié)果陽性試驗(yàn)結(jié)果陽性， 已知已知:。 04.0)|( ,95.0)

13、|(, 995.0)( ,005.0)(ABPABPAPAP0.1066 )|()()|()()|()()|( ABPAPABPAPABPAPBAP 由由貝葉斯公式貝葉斯公式 如果不做試驗(yàn)，抽查一人如果不做試驗(yàn)，抽查一人, 他是癌癥患者他是癌癥患者的概率的概率 P(A)=0.005 。 患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.950.95，若試驗(yàn)后，若試驗(yàn)后呈陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得到的信息：此人呈陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得到的信息：此人是癌癥患者的概率為是癌癥患者的概率為 P(A|B)= 0.1066 。 說明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意義。說明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意義。 概率從

14、概率從0.005增加到增加到0.1066, 約增加了約增加了2121倍。倍。(1) 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌有無意義該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌有無意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：(2) 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗(yàn)結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為試驗(yàn)結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。 即使檢出陽性，不必過早下結(jié)論，這種可即使檢出陽性，不必過早下結(jié)論，這種可能性只有能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個(gè)人中大約個(gè)人中大約只有只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過其他，此時(shí)醫(yī)生常要通過

15、其他試驗(yàn)來確認(rèn)試驗(yàn)來確認(rèn)。 在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱分別稱為原因的為原因的驗(yàn)前概率驗(yàn)前概率和和驗(yàn)后概率驗(yàn)后概率。 P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在沒有進(jìn)一步的是在沒有進(jìn)一步的信息信息(不知道事件不知道事件B是否發(fā)生是否發(fā)生) 的情況下，人的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。 當(dāng)有了新的信息當(dāng)有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生)，人們對(duì)諸，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小事件發(fā)生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認(rèn)識(shí)。有了新的認(rèn)識(shí)。 P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱為原因的分別稱為原因的驗(yàn)前概率驗(yàn)

16、前概率和和驗(yàn)后概率驗(yàn)后概率。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。 練習(xí)練習(xí) 8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準(zhǔn)過支已校準(zhǔn)過,3,3支未校支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí)，中靶概準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí)，中靶概率為率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從?，F(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。中靶。 求：所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。求：所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。解：解：設(shè)設(shè) A=射擊時(shí)中靶射擊時(shí)中靶 ， B1 1=槍校準(zhǔn)過槍校準(zhǔn)過,B2 2=槍未校準(zhǔn)槍未校準(zhǔn) ，則則 B1 1

17、, ,B2 2 是是一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 . 0 練習(xí)練習(xí) 一批同型號(hào)的螺釘由甲，乙，丙三臺(tái)一批同型號(hào)的螺釘由甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)量占總量的比機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)量占總量的比例分別為例分別為35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各臺(tái)機(jī)器的次品率。各臺(tái)機(jī)器的次品率分別為分別為3%, 2%3%, 2%和和1%1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一。現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求顆次品。求:

18、:這顆螺釘由這顆螺釘由甲，乙，丙甲，乙，丙機(jī)器生產(chǎn)機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少的概率各為多少? ?由貝葉斯公式，得由貝葉斯公式，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(,32ABPABP，同理P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。解：設(shè)解：設(shè) A A=釘是次品釘是次品,B B1 1=釘由甲機(jī)器生產(chǎn)釘由甲機(jī)器生產(chǎn), B B2 2=釘由乙機(jī)器生產(chǎn)

19、釘由乙機(jī)器生產(chǎn),B B3 3=釘由丙機(jī)器生產(chǎn)釘由丙機(jī)器生產(chǎn) 。練習(xí)練習(xí) 對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為 30% 。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？ 機(jī)器調(diào)整得良好 產(chǎn)品合格 機(jī)器發(fā)生某一故障 BBAP A B( | ) 90%P A B( |) 30%9 .0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不

20、只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的夠的. 把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合,人們?nèi)藗円肓藥缀胃判鸵肓藥缀胃判? 由此形成了確定概率的另由此形成了確定概率的另一方法一方法幾何方法幾何方法. 2. 幾何概型幾何概型 例例 (會(huì)面問題）甲、乙二人約定在 12 點(diǎn)到 5 點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去，設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：解： 以 X , Y 分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是. 50, 50YX54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果

21、。由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的。二人會(huì)面的條件是： |,X Y 1.259254212252正方形的面積陰影部分的面積p54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1 一般，設(shè)某個(gè)區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測(cè) 度 mD(長度，面積，體積)。如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，則稱此類試驗(yàn)為 幾何概型。 如果試驗(yàn) E 是向區(qū)域內(nèi)任意取點(diǎn)，事件 A 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)落在 D 內(nèi)的某區(qū)域 A，則.)(DAmmAP 例例 (蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是 a (a0) 。向平面任意投一長為 l (la) 的針，試求針與一條平行線相交的概率。解解 ：設(shè) x 是針的中點(diǎn) M 到最近的平行線的距離， 是針與此平行線的交角，投針問題就相當(dāng)于向平面區(qū)域 D 取點(diǎn)的幾何概型。Dxxa( , )|,002lMxMAxxl( , )|,sin 002xl2sinxa2DAAxxl( , )|,sin 002pADldala的面積的面積2220sin. Dxxa