第4章二次曲面的一般理論

1、022222244342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxa一、一些常見的記號一、一些常見的記號表示的曲面叫二次曲面表示的曲面叫二次曲面不不全全為為零零為為實實常常數(shù)數(shù)，且且其其中中231312332211aaaaaaaij,在空間中在空間中, ,由三元二次方程由三元二次方程0=+2+2+2+2+2+2+),(44342414231312233222211azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF為了以后討論的方便，我們引進一些記號：為了以后討論的方便，我們引進一些記號：141312111+),(azayaxazyxF242322122+

2、),(azayaxazyxF343323133+),(azayaxazyxF443424144+),(azayaxazyxFzayaxazyx1312111+),(zayaxazyx2322122+),(zayaxazyx3323133+),(yzaxzaxyazayaxazyx2313122332222112+2+2+),(記zayaxazyx3424144+),(),(+),(+),(+),(x),(4321zyxFzyxzFzyxyFzyxFzyxF則),(+),(+),(x=),(321zyxzzyxyzyxzyx 332313232212131211*aaaaaaaaaA 44342

3、414343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的的矩矩陣陣和和分分別別稱稱為為二二次次曲曲面面),(0),(zyxzyxF zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),( 1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩陣法可以寫成利用矩陣法可以寫成坐坐標標系系是是空空間間的的兩兩個個右右手手直直角角及及設設,;,;kjiOkjiO ),(000zyxO下的坐標是在點),(),(),(,332313322212312111ccc

4、cccccckji下下的的坐坐標標分分別別為為在在 333231232221131211ccccccccckjikji),(),(則則的的過過度度矩矩陣陣到到稱稱為為從從其其中中矩矩陣陣)(ijcT 二、直角坐標變換),(),(zyxzyxP ，下下坐坐標標分分別別是是和和在在任任一一點點)()(000kzjyixkzjyixPOOOOP )()()()(332313322212312111000kcjciczkcjcicykcjcicxkzjyix kzcycxczjzcycxcyizcycxcx)()()(333231023222101312110 從而有：從而有： zcycxczzzcy

5、cxcyyzcycxcxx333231023222101312110TTTzyxxzyxxzyxx),(,),(),(0000 ，記記0333231023222101312110 xxTxzcycxczzzcycxcyyzcycxcxx 可可以以化化為為兩個式子兩個式子都稱為點的都稱為點的直角坐標變換公式直角坐標變換公式 333231232221131211cccccccccT其其中中0, 10, 10, 1333123211311233223213333223221312232222212323122211211231221211 ccccccccccccccccccccccccccc六個關

6、系式為正交的條件，則六個關系式為正交的條件，則T也是正交矩陣也是正交矩陣TTT 1則則都都是是右右手手系系及及,;,;kjiOkjiO 1),(),( kjikji1det333231232221131211 cccccccccT空空間間兩兩個個直直角角坐坐標標系系及及設設,;,;kjiOkjiO ),(000zyxO下下的的坐坐標標是是在在點點 000:zzzyyyxxx移移軸軸公公式式為為三、移軸變換換換，簡簡稱稱為為移移軸軸，的的坐坐標標變變換換稱稱為為平平移移變變到到換換，簡簡稱稱轉轉軸軸這這種種坐坐標標變變換換叫叫旋旋轉轉變變重重合合得得到到的的，分分別別與與使使得得旋旋轉轉，繞繞原

7、原點點可可以以看看成成原原坐坐標標系系新新坐坐標標系系兩兩個個直直角角坐坐標標系系及及設設kjikjiOkjiOkjiO ,;,;321, iOxyzkjiiii；，中中的的方方向向角角分分別別為為在在直直角角坐坐標標系系設設四、轉軸變換;coscoscos,coscoscos,coscoscos333222111kjikkjijkjii ;coscoscos,coscoscos,coscoscos:333222111zyxzzyxyzyxx轉軸公式為轉軸公式為 ;,cossin,sincos:zzyxyyxx轉軸公式為轉軸公式為時時面面內內繞繞原原點點旋旋轉轉角角軸軸在在軸軸不不動動，特特別

8、別是是：當當xoyyxz,0521045122 zyxxyzx程程、利利用用移移軸軸化化簡簡曲曲面面方方例例解：將原方程變形為解：將原方程變形為0125222 )()()(zyxx 12zzyyxx令令則在新坐標系中，曲面方程變?yōu)椋簞t在新坐標系中，曲面方程變?yōu)椋?522 zyxx為的二次錐面為的二次錐面表示頂點表示頂點的二次齊次方程，的二次齊次方程，這就是關于這就是關于),(,102 zyx的的形形狀狀、研研究究曲曲面面例例xyz 2得：換，我們利用繞軸旋轉變?yōu)榱私鉀Qzzyxyyxxxycossinsincosyxyxyxyxz 2221222222cos)(sin)sin(cos)(sinc

9、os zzyxyyxxyx）（）（，得得：，令令為為了了消消去去交交叉叉項項21214222121yxz 原原方方程程變變?yōu)闉楸硎疽粋€雙曲拋物面表示一個雙曲拋物面 )()()(zyzzyxyzyxxzxyzxyyx21261310276232222322用用下下列列旋旋轉轉化化簡簡、對對于于曲曲面面方方程程例例027z3y3x3222原方程可化為：原方程可化為：的形狀的形狀、討論曲面、討論曲面例例04448448844222 zyxxyxzyzzyx014148814222 yxzxyzzyx)()()(解：把所給方程改寫為：解：把所給方程改寫為：做做平平移移變變換：換： zzyyxx1044

10、884222 yxzxzyzyx得得： zyzzyxyzyxx3056130262513016152再作旋轉再作旋轉代入上式得：代入上式得：01025222 zyx得得： zyzzyxyzyxx30561302625113016152可可知知最最終終的的變變換換也知曲面是二次錐面也知曲面是二次錐面0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF設設方方程程為為yzaxzaxyazayaxazyx231312233222211222),( 記記 332313232212131211*aaaaaaaaaA 4434241434

11、3323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的的矩矩陣陣和和分分別別稱稱為為二二次次曲曲面面),(0),(zyxzyxF zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),( 1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩陣法可以寫成利用矩陣法可以寫成都都是是實實對對稱稱矩矩陣陣*,AAAATT 44aaaAAT*則則 xx1xaa1x44*),(),(),(),(AzyxaAzyxFzyxzyxFTTT 表表示示為為與與則則 zyxT x

12、又又令令： 342414aaaaT 令令過過渡渡矩矩陣陣到到是是從從,;,;coscoscoscoscoscoscoscoscos321321321kjiOkjiOT 得得：代代入入),(1x1001x1xzyxFTT 1xaa1x1x100aa1001x1xaa1x44*44*44*aTTTATTaATaATTTTTTTTTxx),(),(* AzyxzyxFT的的二二次次項項部部分分為為仍仍是是對對稱稱矩矩陣陣其其中中TATAT* 可可寫寫為為對對角角矩矩陣陣，因因此此使使得得可可用用正正交交陣陣陣陣根根據(jù)據(jù)高高代代結結果果：實實對對稱稱0 ),(*zyxFTATTAT0222443424

13azayaxazayaxazayaxazyxzyxx1312111),(21),( 記記zayaxazyxzyxy2322122),(21),( zayaxazyxzyxz3323133),(21),( 的的梯梯度度向向量量稱稱為為),(),(),(),(),(),(),( 2),(321zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx ),(,;,;cos,cos,cosiiiiiiiiimnlkjiOxyzinml的的坐坐標標分分別別為為中中，在在坐坐標標系系記記 321 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(*3332221113332221

14、1133322211132132132133231323221213121133322211121nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmlinnnmmmlllaaaaaaaaanmlnmlnmlTATAT為為對對角角陣陣使使得得如如果果正正交交矩矩陣陣TATATT* ),(),(),(),(),(),(),(),(),(333222111333222111333222111nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmli上述矩陣中只有對角線的項不為零，其他項均為零上述矩陣中只有對角線的項不為零，其他項均為零kjnmlnmlknmlj 又又垂

15、垂直直于于即即垂垂直直于于向向量量可可知知：和和由由),(0),(0),(111111111共共線線與與向向量量向向量量kjinml ),(111111131111211111),(),(),(nnmlmnmllnml 就就有有：113312311311231221121113112111nnamalamnamalalnamala 定定義義可可知知由由),(zyxi 222332232132222322221222213212211nnamalamnamalalnamala：類類似似，我我們們還還可可以以得得到到 333333233133332332231233313312311nnamala

16、mnamalalnamala 1113312311311123122112111131121111nnamalamnamalalnamala，還還可可以以化化為為設設上上式式的的比比值值為為 nmlnmlA*將上述三式統(tǒng)一成矩陣形式為：將上述三式統(tǒng)一成矩陣形式為：0 nmlEA)(*整整理理得得：的的根根為為下下列列方方程程條條件件是是方方程程組組有有非非零零解解的的充充要要032213 IIIEA)det(:*332313232212131211*333232322331313112212121123322111detaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaaaaIaaaI 其其中中3213

17III由由根根與與系系數(shù)數(shù)的的關關系系知知：的的三三個個根根是是，若若032213321 III定義：定義：的的特特征征方方程程叫叫做做二二次次曲曲面面方方程程0222222),(04434241423131223322221132213 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFIII它的根稱為二次曲面的特征根它的根稱為二次曲面的特征根 的的一一個個主主方方向向為為對對應應于于，則則稱稱使使得得，若若非非零零向向量量對對于于二二次次曲曲面面的的特特征征根根 nmlnmlT:ppAp*命題命題1 1：二次曲面的三個特征根都是實數(shù)：二次曲面的三個特征根都是實數(shù)命

18、題命題2 2：二次曲面的三個特征根不全為零：二次曲面的三個特征根不全為零命題命題3 3：二次曲面的兩個相異的特征根對應：二次曲面的兩個相異的特征根對應的主方向一定垂直的主方向一定垂直定理定理1 1：對于任意的二次曲面，至少存在三個：對于任意的二次曲面，至少存在三個兩兩互相垂直的主方向兩兩互相垂直的主方向為為二二次次曲曲面面的的特特征征根根, , ,其其中中0 0= =a a+ +z za a2 2+ +y ya a2 2+ +x xa a2 2+ +z z+ +y y+ +x x具具有有如如下下形形式式：程程曲曲面面在在新新坐坐標標系系中中的的方方的的坐坐標標向向量量，那那么么二二次次z zy

19、 yx x方方向向作作為為新新坐坐標標系系O O兩兩兩兩互互相相垂垂直直的的單單位位主主0 0如如果果選選取取曲曲面面的的三三個個= =a a+ +z z2 2a a+ +y y2 2a a+ +x x2 2a a+ +y yz z2 2a a+ +x xz z2 2a a+ +x xy y2 2a a+ +z za a+ +y ya a+ +x xa a程程為為：中中，給給定定二二次次曲曲面面的的方方在在直直角角坐坐標標系系O Ox xy yz z3 32 21 14 44 43 34 42 24 41 14 42 23 32 22 22 21 14 44 43 34 42 24 41 14

20、 42 23 31 13 31 12 22 23 33 32 22 22 22 21 11 10142241222 zyyzzyx曲曲面面方方程程：用用旋旋轉轉變變換換化化簡簡二二次次例例0261441448422222 zyxyzxzxyzyx曲曲面面方方程程：用用旋旋轉轉變變換換化化簡簡二二次次例例對于任意的二次曲面的方程，通過空間直角坐標變換對于任意的二次曲面的方程，通過空間直角坐標變換總可以把方程化為簡單的形式，即標準方程，總可以把方程化為簡單的形式，即標準方程，二次曲面共可以分為十七類，標準方程分別是：二次曲面共可以分為十七類，標準方程分別是：表表示示橢橢球球面面11222222 c

21、zbyax)(表表示示虛虛橢橢球球面面12222222 czbyax)(雙雙葉葉雙雙曲曲面面15222222 czbyax)(二二次次錐錐面面06222222 czbyax)(橢橢圓圓拋拋物物面面zbyax272222 )(表表示示一一點點03222222 czbyax)(單單葉葉雙雙曲曲面面14222222 czbyax)(直直線線0102222 byax)(虛虛橢橢圓圓柱柱面面1112222 byax)(雙雙曲曲柱柱面面1122222 byax)(雙雙曲曲拋拋物物面面zbyax282222 )(橢橢圓圓柱柱面面192222 byax)(一一對對平平行行面面2215ax )(一一對對重重合合

22、面面0162 x)(一一對對平平行行共共扼扼虛虛平平面面2217ax )(拋拋物物柱柱面面pxy2142 )(相相交交平平面面0132222 byax)(列列五五個個簡簡化化方方程程之之一一通通過過坐坐標標變變換換可可化化為為下下0 0= =a a+ +z z2 2a a+ +y y2 2a a+ +x x2 2a a+ +z z+ +y y+ +x x的的二二次次曲曲面面方方程程定定理理：對對于于不不含含交交叉叉項項4 44 43 34 42 24 41 14 42 23 32 22 22 21 1非非零零特特征征根根為為各各方方程程中中二二次次曲曲面面的的其其中中idxppyxdyxqqz

23、yxdzyx00500240030022001121121212221212221321232221 )()()()()(從而可以化成十七中標準方程之一從而可以化成十七中標準方程之一化簡主要分為下面三種情況：化簡主要分為下面三種情況：022244342414232221 azayaxazyx曲曲面面方方程程對對于于不不含含交交叉叉項項的的二二次次00232221321 dzyx方方程程可可化化為為當當一一)(020342221321 dzayx，方方程程可可化化為為中中只只有有一一個個為為，當當二二)(0220342421321 dzayax，方方程程可可化化為為中中有有兩兩個個為為，當當三三

24、)(013532342224121444233432224221141 )()()()(.aaaaazayax式式配配方方得得：將將00232221321 dzyx方方程程可可化化為為當當一一)()(32342224121444334224114aaaadazzayyaxx 并并令令做做變變換換就可以得到（一）中形式就可以得到（一）中形式020342221321 dzayx，方方程程可可化化為為中中只只有有一一個個為為，當當二二)(03 不不妨妨設設)(2224121444224114aaadzzayyaxx 并并令令做做變變換換就可以得到（二）中形式就可以得到（二）中形式0220342421

25、321 dzayax，方方程程可可化化為為中中有有兩兩個個為為，當當三三)(032 不不妨妨設設121444114aadzzyyaxx 并并令令做做變變換換就可以得到（三）中形式就可以得到（三）中形式0142241222 zyyzzyx準準方方程程：將將下下列列方方程程化化簡簡成成標標例例0612124844442222 zyxyzxzxyzyx標標準準式式：化化簡簡二二次次曲曲面面方方程程為為例例0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF：給給定定二二次次曲曲面面的的方方程程為為332313232212131211

26、*333232322331313112212121123322111detaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaaaaIaaaI 其其中中443424143424143323132322121312114detaaaaaaaaaaaaaaaaAI 是是二二次次曲曲面面的的不不變變量量和和：定定理理4321,1IIII變變換換下下都都是是不不變變量量標標和和特特征征根根在在任任意意直直角角坐坐：二二次次曲曲面面的的特特征征方方程程推推論論1為為半半不不變變量量在在轉轉軸軸變變換換下下不不變變，稱稱與與則則：設設定定理理21443424343323242322443414343313141311

27、442413242212141211244343433442424224414141112KKaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaKaaaaaaaaaaaaK 是是不不變變量量時時，當當是是不不變變量量時時，當當為為：給給定定二二次次曲曲面面的的方方程程定定理理12432243443424142313122332222110)2(0)1(0222222),(3KKIIIKIIazayaxayzaxzaxyazayaxazyxF 征征根根。表表示示二二次次曲曲面面的的非非零零特特, , ,其其中中0 0) )= =I IK K+ +x x0 0( (或或I I= =I IK K

28、+ +x x0 0時時，方方程程為為= =K K= =I I= =I I= =( (5 5) )I I0 0) )= =y yI IK K2 2x x0 0( (或或I I= =y yI IK K2 2x x0 0時時，方方程程為為K K0 0, ,= =I I= =I I= =( (4 4) )當當I I0 0= =I IK K+ +y y+ +x x0 0時時，方方程程為為I I0 0, ,= =I I= =( (3 3) )當當I I0 0= =z zI II I2 2y y+ +x x0 0時時，方方程程為為I I0 0, ,= =( (2 2) )當當I I0 0= =I II I+

29、 +z z+ +y y+ +x x方方程程為為0 0時時, ,( (1 1) )當當I I的的簡簡化化方方程程如如下下：用用不不變變量量表表示示二二次次曲曲面面: :定定理理4 43 32 21 11 11 12 21 11 11 12 21 12 24 43 32 21 12 22 21 11 12 22 21 12 24 43 32 22 22 22 22 22 21 12 24 43 32 24 42 22 22 21 14 43 33 34 42 23 32 22 22 21 13 30681410446751222 zyxyzxzzyx面面的的標標準準方方程程：利利用用不不變變量量求

30、求二二次次曲曲例例068482101072222 zyxxzyzxyzyx為為標標準準式式：利利用用不不變變量量化化簡簡方方程程例例0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFS方方程程為為設設二二次次曲曲面面 ZtzzYtyyXtxxlZYXvzyxP0000000),(),(的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：的的直直線線，方方向向向向量量為為過過點點0),(),(),(),(2),(0000003000200012zyxFtzyxZFzyxYFzyxXFtZYX0),(),(),(),(),(, 0),()1 (00020

31、00300020001zyxFZYXzyxZFzyxYFzyxXFtZYX的二次方程這時上式是一個0),(),(),(),( 2),(0000003000200012 zyxFtzyxZFzyxYFzyxXFtZYX, 0),()2( ZYX有有唯唯一一實實交交點點與與則則方方程程有有唯唯一一解解，故故的的一一次次方方程程，若若這這時時上上式式是是一一個個SlzyxZFzyxYFzyxXFt0),(),(),(000300020001 無交點無交點與與則方程矛盾，故則方程矛盾，故SlzyxFzyxZFzyxYFzyxXF0),(0),(),(),(000000300020001 一條母線一條母

32、線叫做曲面叫做曲面上，直線上，直線每點都在曲面每點都在曲面上的上的的恒等式，直線的恒等式，直線則方程為則方程為SlSltzyxFzyxZFzyxYFzyxXF0),(0),(),(),(000000300020001 0)zz,yy,xx(ZYX)z,y,x(P0000000成的曲面方程為為方向的所有直線所組：近方向，并且以二次曲面的漸過定點0)(2)(2)(2)()()(002300130012203320222011 zzyyazzxxayyxxazzayyaxxa即即：的漸近方向錐面叫做二次曲面為頂點的二次錐面，是以S)z,y,x(P0000的的中中心心叫叫做做二二次次曲曲面面上上，點點

33、仍仍然然在在曲曲面面的的對對稱稱點點關關于于點點上上任任意意點點：如如果果定定義義SCSMCMS212 0),(0),(0),(),(1340330230130003240230220120002140130120110001000azayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxFSzyxC的的中中心心當當且且僅僅當當為為二二次次曲曲面面：定定理理的的中中心心方方程程組組面面則則該該方方程程組組叫叫做做二二次次曲曲的的解解的的中中心心坐坐標標是是下下列列方方程程定定義義：二二次次曲曲面面SazayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxFS 0),(0),(0)

34、,(343323133242322122141312111)()()(a)a()(*342414*3,1*BrAraaaABaATjiij，秩秩分分別別為為：并并且且，增增廣廣矩矩陣陣記記系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣 次曲面沒有中心，稱為無心二時，方程組無解。曲面當叫面心二次曲面的中心平面，平面叫做的中心。該都是一個平面，平面上的點時，方程組的解構成當叫線心二次曲面的中心直線，該直線稱的中心的點都是組成一條直線，直線上時，方程組的解可以當叫中心二次曲面因此曲面有唯一中心，時，方程組有唯一解即當SBrArSSSBrArSSSBrArIBrAr)()()4(1)()()3(2)()()2(0, 3)()()

35、1 (*3*0033 II面面的的充充要要條條件件；二二次次曲曲面面為為非非中中心心曲曲二二次次曲曲面面的的充充要要條條件件是是推推論論：二二次次曲曲面面為為中中心心線心曲面，面心曲面和無心曲面都稱為非中心二次曲面線心曲面，面心曲面和無心曲面都稱為非中心二次曲面定義定義3：通過中心二次曲面的中心并具有：通過中心二次曲面的中心并具有方向的方向的直線稱為直線稱為線，以二次曲面的中心為頂點的線，以二次曲面的中心為頂點的方向錐面叫做二次曲面的方向錐面叫做二次曲面的錐面錐面命題命題1：二次曲面的一族平行弦的中點所成的軌跡在一個平面上：二次曲面的一族平行弦的中點所成的軌跡在一個平面上定義定義1：二次曲面沿

36、非：二次曲面沿非方向方向X：Y：Z的所有平行弦中點所在的所有平行弦中點所在平面叫做二次曲面共扼于方向平面叫做二次曲面共扼于方向X：Y：Z的徑面的徑面推論推論1：中心二次曲面的任何徑面必須通過它的中心；線心：中心二次曲面的任何徑面必須通過它的中心；線心二次曲面的任何徑面通過它的中心直線；面心二次曲面的二次曲面的任何徑面通過它的中心直線；面心二次曲面的徑面與它的中心平面重合徑面與它的中心平面重合向，簡稱奇向叫做二次曲面的奇異方那么滿足的漸近方向：二次曲面定義Z:Y:X0)z, y, x(0)z, y, x(0)z, y, x(Z:Y:XS2321023 IS有有奇奇向向的的充充要要條條件件：二二次

37、次曲曲面面命命題題的的任任意意徑徑面面的的奇奇向向平平行行于于：二二次次曲曲面面命命題題SS3定義定義3：如果二次曲面的徑面垂直于它所共扼的方向，那么：如果二次曲面的徑面垂直于它所共扼的方向，那么這個徑面就叫做二次曲面的主徑面。這個徑面就叫做二次曲面的主徑面。命題命題4：二次曲面至少有一個主徑面。：二次曲面至少有一個主徑面。0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFS方方程程為為設設二二次次曲曲面面 ZtzzYtyyXtxxlZYXvSzyxP0000000),(),(的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：的的直直線線，方方向向

38、為為過過稱為切點的一條切線，重合交點叫做相重的實交點，將有兩個與曲面線的非漸近方向，如果直為曲面設0:PSlSlSZYX的一條切線為的一條母線，稱為即上整個在曲面的漸近方向，且為曲面如果SlSlSlSZYX:0),(),(),(, 0),(000300020001 zyxZFzyxYFzyxXFZYXSl且且僅僅當當有有兩兩個個重重合合的的實實交交點點當當與與0),(),(),(0),(0003000200010 zyxZFzyxYFzyxXFZYXSlSP且且的切線當且僅當?shù)那芯€當且僅當是曲面是曲面直線直線過過奇奇點點，否否則則叫叫奇奇異異點點，簡簡稱稱叫叫做做二二次次曲曲面面的的正正常常點

39、點不不全全為為零零，那那么么點點如如果果上上，故故在在二二次次曲曲面面：過過定定義義),()3 , 2 , 1)(,(0),(),(100000000000000zyxPizyxFzyxFSzyxPi 處處的的法法線線叫叫做做二二次次曲曲面面在在點點直直的的直直線線且且與與該該點點處處的的切切平平面面垂垂切切點點。把把過過點點叫叫做做處處的的切切平平面面，點點在在組組成成的的平平面面叫叫做做曲曲面面的的所所有有切切線線上上的的正正常常點點：通通過過二二次次曲曲面面定定義義000002PPPPSPS0),()(),()(),()(),(100030000200001000000 zyxFzzzy

40、xFyyzyxFxxPSSzyxP處處的的切切平平面面方方程程為為：在在點點則則的的正正常常點點，是是二二次次曲曲面面：如如果果點點命命題題0)()()()()()(),(1440340240140023001300120330220110000 azzayyaxxazyzyaxzzxaxyyxazzayyaxxazyxPS處處切切平平面面方方程程：在在正正常常點點：二二次次曲曲面面推推論論的的切切錐錐面面為為為為頂頂點點的的二二次次錐錐面面，稱稱以以的的二二次次齊齊次次方方程程，表表示示是是關關于于：命命題題SPzzyyxxzyxFzzyyxxzyxFzzzyxFyyzyxFxx000000

41、00002000300002000010,0),(),(),()(),()(),()(2 0222),(2112222211cybxbxyayaxayxf方程為平面上的二次曲線011),(212221211211yxcbbbaabaayxyxfyxaaaayxyx22121211),(cbbbaabaaA21222121121122121211*aaaaA4.8.1、二次曲線方程的化簡和分類011),(212221211211yxcbbbaabaayxyxfcossinsincosT記：yxyxbbTTTx,x,21cossinsincosyxyyxxyoxxoyo則轉軸公式為：變?yōu)樾伦鴺讼到?/p>

42、，將坐標系轉過假設繞原點代入二次曲線的方程則轉軸公式為：xx T01x1001001x*TcATTTT01x1x*cTTTATTTTT進一步整理得：的系數(shù)矩陣，從中得：是新方程中二次項),(*yxTATT2cos2sin)(21)sin(coscossin)(1211222212112212aaaaaaa022,22cot021222211112221112cybxbyaxaaaaa數(shù)為零的充要條件時，新方程的交叉項系當定理4.8.1、平面上的二次曲線方程經(jīng)過平面直角坐標變換可以化為下面的三個簡化方程之一0) 1 (222211cyaxa02)2(1222xbya0)3(222cya二次曲線的

43、九種標準形式為表示橢圓1)1 (2222byax表示虛橢圓1)2(2222byax一對相交直線0)5(2222byax拋物線pxy2)6(2表示一點0)3(2222byax雙曲線1)4(2222byax一對虛平行線0)8(22 ay一對重合直線0)9(2y一對平行直線0)7(22 ay112111),(byaxayxf記222122),(byaxayxfyaxayx12111),(記yaxayx22122),(4.8.2、二次曲線與直線的相關位置YtyyXtxxlYXyx0000),(：的直線：且具有方向過點的情況中的交點可以看下面方程與二次曲線tyxftyxYfyxXftYXyxf0),()

44、,(),( 2),(0),(:0000200120),(),(4),(),( 40),(002002001yxfYXyxYfyxXfYX時（一）當0),(),(),( 2),(000020012yxftyxYfyxXftYX對于方程有兩個不同的交點直線與二次曲線時，方程有兩個實根，0) 1 (交點二次曲線有一個二重實根，直線與時，方程有兩個相同實0)2(二次曲線有兩個虛交點根，直線與時，方程有兩個共扼虛0)3(時，方程是一次方程（二）當0),(YX有唯一交點有唯一解，曲線和直線的方程，關于當tyxYfyxXf0),(),() 1 (002001線無交點的方程無解，直線與曲關于時，）當（tyxf

45、yxYfyxXf0),(, 0),(),(200002001是二次曲線的一部分的方程有無窮解，直線關于時，）當（tyxfyxYfyxXf0),(, 0),(),(300002001點曲線的切線，交點是切在曲線上都叫做直線是直線整個有一個二重實交點，或我們把直線與二次曲線（三）切線與切點，有唯一的一條切線不全為零，則過點，上一點，如果是：設性質0),()(),()(),(),(),(1002000100002001000yxfyyyxfxxPyxfyxfyxP切線線就是切線，否則無實兩個一次方程表示的直，的兩個一次方程的乘積，成決定，如果它可以分解，的切線由方程外一點，則過點是：設性質yxyxf

46、yyxxyxfyyyxfxxPyxP0),()(),()(),()(),(2000020020001000004.8.3、二次曲線的中心、主方向與主直徑YtyyXtxxlYXyx0000),(：的直線：且具有方向過點時滿足：當方向02),(22212211YaXYaXaYXYX上在，或或有一交點，或沒交點與直線ll漸近方向的漸近方向，否則叫非二次曲線叫做的方向、滿足條件定義YXYX:0),(1 . 8 . 522211212222122112212110),(,02),(0,IaaaYXYaXYaXaYXaaa的判別式最終依賴于最多有兩個二次曲線的漸近方向最多有兩個解，也就是，不全為的二次項系

47、數(shù)由于221212112aaaaI 其中：為橢圓型二次曲線；方向，漸近方向是一對共扼虛 , 0) 1 (2I拋物線型二次曲線。，有實漸近方向，)( :0) 3(122211122aaaaI為雙曲型二次曲線；有兩個實漸近方向， , 0)2(2I線段叫做二次曲線的弦我們將這兩點決定的直總交于兩點，與曲線，那么直線即有非漸近方向是二次曲線的方向如果直線lYXYXl0),(,:上上的的對對稱稱點點也也在在一一點點關關于于上上任任意意的的一一個個中中心心，如如果果稱稱為為二二次次曲曲線線、點點定定義義CC2 . 8 . 40),(0),(,),(2 . 8 . 42022012002101201100100byaxayxfb