第2章單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)(1)

1、2022-3-7振動(dòng)力學(xué)12022-3-7振動(dòng)力學(xué)2 任何具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)都能產(chǎn)生振動(dòng)，任何具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)都能產(chǎn)生振動(dòng)，若不外加激勵(lì)的作用，振動(dòng)系統(tǒng)對初始激勵(lì)的響若不外加激勵(lì)的作用，振動(dòng)系統(tǒng)對初始激勵(lì)的響應(yīng)，通常稱為應(yīng)，通常稱為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。自由振動(dòng)是沒有外界能。自由振動(dòng)是沒有外界能量補(bǔ)充的振動(dòng)。保守系統(tǒng)在自由振動(dòng)過程中，由量補(bǔ)充的振動(dòng)。保守系統(tǒng)在自由振動(dòng)過程中，由于總機(jī)械能守恒，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)換而維持等于總機(jī)械能守恒，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)換而維持等幅振動(dòng)，稱為幅振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)。但實(shí)際系統(tǒng)不可。但實(shí)際系統(tǒng)不可避免存在阻尼因素，由于機(jī)械能的耗散，使自由避免存在

2、阻尼因素，由于機(jī)械能的耗散，使自由振動(dòng)不能維持等幅而趨于衰減，稱為振動(dòng)不能維持等幅而趨于衰減，稱為有阻尼自由有阻尼自由振動(dòng)。振動(dòng)。某些實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)問題有某些實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)問題有時(shí)可以簡化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。時(shí)可以簡化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)3 本章只討論最簡單的振動(dòng)系統(tǒng)，即單自由本章只討論最簡單的振動(dòng)系統(tǒng)，即單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。以質(zhì)量度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。以質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為簡化彈簧系統(tǒng)為簡化的力學(xué)模型。所討論系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為的力學(xué)模型。所討論系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為常系常系數(shù)線性微分方程。數(shù)線性微分方程。系統(tǒng)的

3、無阻尼振動(dòng)頻率為系系統(tǒng)的無阻尼振動(dòng)頻率為系統(tǒng)固有的物理參數(shù)，稱為固有頻率，振幅取決統(tǒng)固有的物理參數(shù)，稱為固有頻率，振幅取決于初始擾動(dòng)的大小。阻尼振動(dòng)的固有頻率小于于初始擾動(dòng)的大小。阻尼振動(dòng)的固有頻率小于無阻尼情形。臨界阻尼和大阻尼條件下的系統(tǒng)無阻尼情形。臨界阻尼和大阻尼條件下的系統(tǒng)作非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng)。作非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng)。2022-3-7振動(dòng)力學(xué)4單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)5典型的單自由度系統(tǒng)典型的單自由度系統(tǒng): :彈簧彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 例、梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方例、梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的

4、質(zhì)向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 1.1 1.1 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng) 方程方程1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)61.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)st()mxmgkx當(dāng)物塊偏離平衡位置為當(dāng)物塊偏離平衡位置為x x距離時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微距離時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為分方程為 mxkx 取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O O，x x軸順彈簧軸順彈簧變形方向

5、鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到時(shí)，由平衡條件，得到stkmg 無阻尼自由振動(dòng)微分方程無阻尼自由振動(dòng)微分方程 彈簧的靜變形彈簧的靜變形固有圓頻率固有圓頻率020 xx 令令 ：mk02022-3-7振動(dòng)力學(xué)71.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)020 xx 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx tsinAtx0令令 tex0i算得本征值算得本征值 導(dǎo)出本征方程導(dǎo)出本征方程 0202無阻尼自由振動(dòng)是無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng). 式中，式中，c c1 1和和c c2 2是取決

6、于初始位置是取決于初始位置 和初始速度和初始速度 的的積分常數(shù)。為了方便起見，引入符號積分常數(shù)。為了方便起見，引入符號0 x0 x cosAc,sinAc 212022-3-7振動(dòng)力學(xué)81.2 1.2 無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)（1）固有頻率）固有頻率無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，是一種周期振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，是一種周期振動(dòng)200t)Tt (fTT212;200則周周期期f 稱為振動(dòng)的稱為振動(dòng)的頻率頻率，表示每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，單位為表示每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，單位為1/s或或Hz 0 稱為稱為固有角（圓）頻率（固有頻率）固有角（圓）頻率（固有頻率），表示每表示每2 秒內(nèi)振動(dòng)秒內(nèi)振

7、動(dòng)的次數(shù)，單位為的次數(shù)，單位為rad/s，只與系統(tǒng)的質(zhì)量只與系統(tǒng)的質(zhì)量m和剛度系數(shù)和剛度系數(shù)k有關(guān)有關(guān)。1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)9mk20stPk/gPm/st0g只要知道重力作用下的靜變形，就可求得系統(tǒng)的固有頻率。只要知道重力作用下的靜變形，就可求得系統(tǒng)的固有頻率。（2）振幅與初相位）振幅與初相位tsinAx0 A相對于振動(dòng)中心O的最大位移，稱為振幅振幅。 0 t + 決定了質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí) t 的位置，稱為相位相位。 決定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始位置，稱為初相角初相角。 振幅A和初相角 兩個(gè)待定常數(shù)由運(yùn)動(dòng)的初始條件初始條件確定。1.

8、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)10零時(shí)刻的初始條件：零時(shí)刻的初始條件： 0)0(xx 0)0(xx20020 xxA0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)： )sin(0 tA1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)11彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角斜面傾角 =300質(zhì)量質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm=4.9kN/m開始時(shí)彈簧無伸長，且速度為零

9、開始時(shí)彈簧無伸長，且速度為零求：求： 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。m300k重力加速度取重力加速度取 9.81.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)例例 題題 12022-3-7振動(dòng)力學(xué)12解：解：x0以靜平衡位置以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系。物塊平衡時(shí)，彈簧的變形量物塊平衡時(shí)，彈簧的變形量ksinmg0物塊在任意位置物塊在任意位置x處，物處，物塊沿塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程軸的運(yùn)動(dòng)微分方程xksinmgxm0 kxxm 即：即：m300k1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)

10、13x0運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)固有頻率：)/(70 1/1049 /20sradmk 振動(dòng)初始條件：振動(dòng)初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)141.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般過程：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般過程：1、由力學(xué)

11、模型建立自由振動(dòng)的一般方程，并寫出振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；、由力學(xué)模型建立自由振動(dòng)的一般方程，并寫出振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值；、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值；3、根據(jù)本征值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解；、根據(jù)本征值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解；4、根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。、根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)：1、求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率；、求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率；2、求解標(biāo)準(zhǔn)方程。、求解標(biāo)準(zhǔn)方程。2022-3-7振動(dòng)力學(xué)15mh0l/2l/21.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自

12、由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從的物塊從 h 的高處自由落下，與一根抗彎剛度為的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由自由振動(dòng)的頻率振動(dòng)的頻率、振幅振幅和和最大撓度最大撓度。 例例 題題 22022-3-7振動(dòng)力學(xué)16解：解：由材料力學(xué)由材料力學(xué) ：系統(tǒng)可以等效為質(zhì)量系統(tǒng)可以等效為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng) ,如如圖。圖。 EImgl483取平衡位置取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。靜變形靜變形

13、mh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k梁的剛度：梁的剛度：348lEImgk2022-3-7振動(dòng)力學(xué)17振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程： 348mlEI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k0 kxxm mk0kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： gmk0則有：則有： )sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)： 1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)

14、18撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則 t=0 時(shí)，有：時(shí)，有： 0 x則自由振動(dòng)振幅為則自由振動(dòng)振幅為 ：20020 xxA梁的最大撓度：梁的最大撓度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx h22ghx20mh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)19內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。 kJ例例 題題 3扭振系統(tǒng)稱為扭振系統(tǒng)稱為扭擺扭擺。OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為

15、一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，來決定，稱稱扭角扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為圓軸的抗扭剛度系數(shù)為k ，表示使，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩 。)/(radmN 1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)OA2022-3-7振動(dòng)力學(xué)20解：解：0kJO 020 kJ扭矩扭矩T作用在圓盤上，使圓盤產(chǎn)生一角作用在圓盤上，使圓

16、盤產(chǎn)生一角位移位移 ，根據(jù)材料力學(xué)知識可知，根據(jù)材料力學(xué)知識可知PGITl扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)k ，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩所需的力矩lGITkP扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程：kt ddJO22由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有令 ，則OJk201.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)21oJ/k0扭振固有頻率：扭振固有頻率：020 kJ1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： tsintcost00000)si

17、n()cos()(00000txtxtx 對比：對比：工程上很多振動(dòng)系統(tǒng)都可以用相同形式的運(yùn)動(dòng)微分方程表示2022-3-7振動(dòng)力學(xué)22 由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)角振動(dòng)與與直線振動(dòng)直線振動(dòng)的數(shù)的數(shù)學(xué)描述完全相同。學(xué)描述完全相同。 如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的量系統(tǒng)是廣義的 。0 kxxm mk /00kJo oJ/k0

18、kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)23 從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件慣性元件和和彈性元件彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)

19、剛度的彈性體。 同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大固有頻率增大 。0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)242kaa)a(kmglJstO 02OJka OJka0mgFmkalOA系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率：mkla2mlJO轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022

20、-3-7振動(dòng)力學(xué)25l固定端 均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為 l,彎曲剛度為彎曲剛度為EI。梁的自由端放置梁的自由端放置一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物塊的物塊，其靜撓度為，其靜撓度為 st。若不計(jì)梁的質(zhì)量。若不計(jì)梁的質(zhì)量，物塊在梁，物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。練習(xí)練習(xí) 1mEIl固定端stOx 解：此無重彈性梁相當(dāng)于一個(gè)彈簧，其靜撓度相當(dāng)于彈簧的靜伸長，則梁的剛度系數(shù)為EImglEIPl3333st3st3lEImgk1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)26 分

21、析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為x)時(shí)的受力，有P=mgFxstmEIl固定端Oxkxxkmgtxmst)(dd22設(shè) ，則mk200dd2022xtx上述振動(dòng)微分方程的解為初始條件為stgmktAx00)sin(其中0,00vxst1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)27振幅為stvxA2020202)arctan(arctan000vx初相角為系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為)3cos(3)2sin(33tmlEIEImgltgxstst1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)28小結(jié)：小結(jié)

22、：1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般過程：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般過程：1、由力學(xué)模型建立自由振動(dòng)的一般方程，并寫出振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；、由力學(xué)模型建立自由振動(dòng)的一般方程，并寫出振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值；、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值；3、根據(jù)本征值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解；、根據(jù)本征值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解；4、根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。、根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)：1、求系統(tǒng)的固有角頻率，即

23、固有頻率；、求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率；2、求解標(biāo)準(zhǔn)方程。、求解標(biāo)準(zhǔn)方程。2022-3-7振動(dòng)力學(xué)29單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)30 能量法能量法 對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用可以利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。出系統(tǒng)的固有頻率。 無阻尼系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)，其，其機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動(dòng)能，即動(dòng)能 T 和和勢能勢能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0ddVTt

24、或：或：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法2022-3-7振動(dòng)力學(xué)31彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT勢能：勢能：mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k零勢能點(diǎn)零勢能點(diǎn)222121kxxmVT2022-3-7振動(dòng)力學(xué)32 如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取

25、在彈簧為自由長時(shí)的位置。位置，而是取在彈簧為自由長時(shí)的位置。 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT 勢能：勢能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0ddVTtmgkxxm 設(shè)新坐標(biāo)設(shè)新坐標(biāo) kmgxy0 kyym 221 kxmgx x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法0零勢能點(diǎn)零勢能點(diǎn)mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k2022-3-7振動(dòng)力學(xué)33單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法2022-3-7振動(dòng)力學(xué)34考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動(dòng)能達(dá)到最大能為零，動(dòng)能達(dá)到最大

26、021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢能達(dá)到最大能為零，勢能達(dá)到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxxmaxmaxVTmax0max對于轉(zhuǎn)動(dòng)：對于轉(zhuǎn)動(dòng)：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法2022-3-7振動(dòng)力學(xué)35例例 題題 4 圖示結(jié)構(gòu)中，不計(jì)質(zhì)量的桿圖示結(jié)構(gòu)中，不計(jì)質(zhì)量的桿OA在水平位置處于平衡，若在水平位置處于平衡，若k、m、a、l 等均為已知。等均為已

27、知。 求：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率求：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率mgFmkalOA1.單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)36解：設(shè)解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)，桿作自由振動(dòng)時(shí)，其擺角其擺角 的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大勢能為系統(tǒng)的最大勢能為由機(jī)械能守恒定律有由機(jī)械能守恒定律有例例 題題 5由能量法解由能量法解 例題4tsinA0202222121AmllmTmaxmax2222121AkaakVmaxmaxmaxmaxVTmkla0mkalOA2022-3-7振動(dòng)力學(xué)37如圖所示是一個(gè)倒置的擺如圖所示是一個(gè)倒置的

28、擺 擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略剛桿質(zhì)量忽略 每個(gè)彈簧的剛度每個(gè)彈簧的剛度 2k求求: 倒擺作倒擺作微幅振動(dòng)微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率。時(shí)的固有頻率。lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法例例 題題 62022-3-7振動(dòng)力學(xué)38解法解法1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)動(dòng)能動(dòng)能2222121mlJT勢能勢能maxmaxVTmax0max220mlmglka 零勢能位置零勢能位置1cos1212122mglakV零勢能位置零勢能位置1)(21 222mglka2sin21121 222mglka22)(21 mglka lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自

29、由振動(dòng)能量法22sin微幅振動(dòng)：微幅振動(dòng)：2022-3-7振動(dòng)力學(xué)39解法解法2：零勢能位置零勢能位置2動(dòng)能動(dòng)能2222121mlJT勢能勢能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml0ddVTt0)(2222mglkaml 220mlmglka 零勢能位置零勢能位置22sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法2022-3-7振動(dòng)力學(xué)40單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法小結(jié)：小結(jié)：能量法的概念能量法的概念: 利用無阻尼系統(tǒng)的利用無阻尼

30、系統(tǒng)的機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動(dòng)能，即動(dòng)能 T 和勢能和勢能 V 之之和保持不變和保持不變 ，即：，即：0ddVTt求系統(tǒng)的固有頻率和振動(dòng)方程，固有頻率即求系統(tǒng)的固有頻率和振動(dòng)方程，固有頻率即maxmax0max0maxxxxx2022-3-7振動(dòng)力學(xué)41單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2022-3-7振動(dòng)力學(xué)42 實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)通常由多個(gè)構(gòu)件組成，因而其質(zhì)量實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)通常由多個(gè)構(gòu)件組成，因而其質(zhì)量是分散的，這給振動(dòng)分析帶來困難；因此，對于相是分散的，這給振動(dòng)分析帶來困難；因此，對于相關(guān)的那些質(zhì)量，可以采用等效質(zhì)量代替實(shí)際的分散關(guān)的那些質(zhì)量，可以采用等效質(zhì)量代替實(shí)際的分散質(zhì)量，來簡化力

31、學(xué)模型。但在進(jìn)行質(zhì)量折算求解等質(zhì)量，來簡化力學(xué)模型。但在進(jìn)行質(zhì)量折算求解等效質(zhì)量時(shí)，效質(zhì)量時(shí)，應(yīng)保持系統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)能不變應(yīng)保持系統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)能不變。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度 同樣，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)也可由多個(gè)彈簧元件，可以同樣，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)也可由多個(gè)彈簧元件，可以采用等效彈簧代替實(shí)際的組合彈簧，但采用等效彈簧代替實(shí)際的組合彈簧，但應(yīng)保持系統(tǒng)應(yīng)保持系統(tǒng)的勢能守恒的勢能守恒。2022-3-7振動(dòng)力學(xué)43例如，一個(gè)杠桿例如，一個(gè)杠桿-彈簧系統(tǒng)如圖彈簧系統(tǒng)如圖(a)，均質(zhì)桿長度為，均質(zhì)桿長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，彈簧剛度為，彈簧剛度為k，為了便于振動(dòng)分析可把

32、該杠桿，為了便于振動(dòng)分析可把該杠桿-彈簧系統(tǒng)化彈簧系統(tǒng)化成集中質(zhì)量成集中質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng)(b)。因彈簧剛度保持不變，只需用一個(gè)等。因彈簧剛度保持不變，只需用一個(gè)等效質(zhì)量效質(zhì)量m來代替杠桿的分散質(zhì)量來代替杠桿的分散質(zhì)量m。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)44系統(tǒng)變換前的動(dòng)能：系統(tǒng)變換前的動(dòng)能：221aJT 222248741214mLLmmLLmJJba系統(tǒng)變換后的動(dòng)能：系統(tǒng)變換后的動(dòng)能：221xmT 系統(tǒng)動(dòng)能保持不變：系統(tǒng)動(dòng)能保持不變：TT222121xmJaLx43可得：可得：mm277單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等

33、效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)45 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)：分別取最大值時(shí)：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度；：簡化系統(tǒng)的等效剛度；Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量。：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量。 等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能分別相等。等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能分別相等。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和

34、等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)46 2222121mllmT2222121kaakVmkla0mkalOA動(dòng)能動(dòng)能勢能勢能2mlMe2kaKeeeMK /0 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)47動(dòng)能動(dòng)能2221mlT 勢能勢能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零勢能位置零勢能位置1lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度eeMK /0 2022-3-7振動(dòng)力學(xué)48方法方法2：定義法：定義法等效剛度

35、：等效剛度：使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。的等效剛度。等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量上的等效質(zhì)量 。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)49例：串聯(lián)系統(tǒng)例：串聯(lián)系統(tǒng)11kP22kP總變形：總變形： Pkk)11(21

36、212121kkkkPKe 21111kkKe 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據(jù)定義：根據(jù)定義： 或或 P mk1k2 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)50例：并聯(lián)系統(tǒng)例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力

37、 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根據(jù)定義：根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和。并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和。 P mk1k2 mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。2022-3-7振動(dòng)力學(xué)51杠桿系統(tǒng)杠桿系統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體，水平位置為靜平衡位置：杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體，水平位置為靜平衡位置：求：求：系

38、統(tǒng)對于坐標(biāo)系統(tǒng)對于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度的等效質(zhì)量和等效剛度 k1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度例例 題題 72022-3-7振動(dòng)力學(xué)52解法解法1：能量法：能量法動(dòng)能：動(dòng)能：212221)(2121xllmxmT 勢能：勢能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：等效剛度：等效剛度：固有頻率：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和

39、等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)53解法解法2：定義法：定義法設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 則在則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩：上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩： 則在則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點(diǎn)取矩：處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點(diǎn)取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度2022-3-7振動(dòng)力學(xué)54小結(jié)小結(jié)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢能寫