第3-4章B樣條曲線曲面

1、四、四、 B樣條曲線樣條曲線 Bezier曲線不足之處曲線不足之處： 造型不靈活。造型不靈活。確定了多邊形的頂點數確定了多邊形的頂點數(n+1個個)，也就決定了所定義的也就決定了所定義的Bezier曲線的階次曲線的階次(n次次)，這樣，這樣很不靈活。很不靈活。 當頂點數當頂點數(n+1)較大時較大時，曲線的階次將比較，曲線的階次將比較高。此時，高。此時，多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱。多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱。 不能局部修改。不能局部修改。圖圖1 1和圖和圖2 2為三次為三次BezierBezier曲線的各種不同情況的分析比較。曲線的各種不同情況的分析比較。圖圖1 控制點相同，順序不

2、同的三次Bezier曲線圖圖2 移動控制點P2的不同效果比較B樣條曲線的優(yōu)點：樣條曲線的優(yōu)點： B樣條曲線除了保持了原樣條曲線除了保持了原Bezier曲線所具有的曲線所具有的優(yōu)點外，優(yōu)點外，還增加了可以對曲線進行局部修改這一還增加了可以對曲線進行局部修改這一突出的優(yōu)點突出的優(yōu)點。 除此之外，它還除此之外，它還具有對特征多邊形更逼近，具有對特征多邊形更逼近，多項式階次較低等優(yōu)點。多項式階次較低等優(yōu)點。 因此，因此，B樣條曲線在外形設計中得到了廣泛的樣條曲線在外形設計中得到了廣泛的重視和應用。重視和應用。 圖圖3 B樣條曲線的局部特性。變動P5使右半部分曲線變化，但左半部分不變圖圖4 由8個控制點

3、定義的不同階次B樣條曲線和Bezier曲線對比 Pi,n( (t) )=nknktFP0,ki)(0t1) 式中：式中：Pi,n(t)為第為第i段段n次次B樣條曲線段樣條曲線段(i=0,1,m)，Fk,n(t)為為n次次B樣條基函數，也稱為樣條基函數，也稱為B樣條分段混合函數。其形式為：樣條分段混合函數。其形式為： ), 1 , 0, 10()() 1(!1)(01,nktjkntCntFknjnjnjnk 通常，給定通常，給定m+n+1個頂點個頂點Pi (i =0, l, 2, , m+n)，可以定義可以定義m+1段段n次的參數曲線為：次的參數曲線為：1. B樣條曲線定義樣條曲線定義 連接全

4、部曲線段連接全部曲線段所組成的整條曲線稱所組成的整條曲線稱為為n次次B樣條曲線。依樣條曲線。依次用線段連接次用線段連接Pi+k( (k=0, 1, , ,n) )所所組成的多邊形稱為組成的多邊形稱為B樣條曲線在第樣條曲線在第i段的段的B特征多邊形。特征多邊形。 n次次B樣條曲線可達到樣條曲線可達到n1階連續(xù)。階連續(xù)。 對于二次對于二次B樣條曲線，樣條曲線，n=2，i=0, l, 2，Fi,n(t)可以寫成如下形式：可以寫成如下形式：2. 二次二次B樣條曲線樣條曲線 223221312030) 1() 1() 1() 2() 1(! 21tCtCtC222! 2! 31! 2! 32! 3! 3

5、21ttt222212133634421tttttt20232, 0)02() 1(! 21)(jjjjtCtF2131203010232, 1) 1() 1() 1(21)12() 1(! 21)(tCtCjtCtFjjj122213121222tttt2203000232, 221) 1(21)22() 1(! 21)(ttCjtCtFjjj 因此，二次因此，二次B樣條曲線的分段表達式可以寫成樣條曲線的分段表達式可以寫成如下的形式：如下的形式： Pi,2(t)= F0,2(t)Pi + F1,2(t)Pi+1十十F2,2(t)Pi+2 (i= 0,1m)221222,2112221) 1(

6、21)(iiiiPtPttPttP綜合起來，二次綜合起來，二次B樣條曲線還可以寫成更一般化的樣條曲線還可以寫成更一般化的形式：形式： 22, 0) 1(21)(ttF122(21)(22, 1tttF22, 221)(ttF) 10(011022121211)()(212202 ,2 ,tPPPtttFPtPiiikkkii式中式中Pi，Pi+1，Pi+2為第為第i段曲線的段曲線的B特征多邊形的特征多邊形的頂點。頂點。對上式求一階導數可得：對上式求一階導數可得：221222,2112221) 1(21)(iiiiPtPttPttP212,21) 1()(iiiitPPtPttP二次二次B樣條曲

7、線的幾何性質：樣條曲線的幾何性質：端點處的性質：端點處的性質：)(21)1()(21)0(212,12,iiiiiiPPPPPP第第i段曲線的起點在邊段曲線的起點在邊PiPi+1的中點，終點在的中點，終點在邊邊Pi+1Pi+2的中點的中點二次二次B樣條曲線繪制示意圖（樣條曲線繪制示意圖（i=0）122,12,)1( )0( iiiiiiPPPPPP第第i段曲線的起點處的段曲線的起點處的切線是邊切線是邊PiPi+1，終點，終點處的切線是邊處的切線是邊Pi+1Pi+2二次二次B樣條曲線繪制示意圖（樣條曲線繪制示意圖（i=0）第第i段曲線起點與終點段曲線起點與終點連線的中點，如圖連線的中點，如圖M第

8、第i段曲線的段曲線的Pi,2(1/2)處的切線平行于起點處的切線平行于起點終點連線終點連線PiPi+1Pi+2Pi,2(0)Pi,2 (1)Pi,2(1/2)Pi,2(1/2)M二次二次B B樣條曲線樣條曲線 )0()1(21)(21)21( )1()0(2121814381)21(2,2,22,12,2,212,iiiiiiiiiiiiPPPPPPPPPPPP3. B樣條曲線的性質樣條曲線的性質 1）局部調整性）局部調整性 2）仿射不變性）仿射不變性 3）分段參數多項式）分段參數多項式4）凸包性）凸包性 5）造型靈活性）造型靈活性 小組作業(yè) I 講述三次講述三次B樣條曲線相關知識：樣條曲線相

9、關知識： 1.推導其表達式、矩陣形式推導其表達式、矩陣形式 2.討論其端點性質討論其端點性質 時間：時間：50分鐘分鐘小組作業(yè) II 雙三次Coons曲面 時間：時間：50分鐘分鐘五、五、 B樣條曲面樣條曲面) 1)(1(nm), 1 , 0;, 1 , 0(njmipij 1 , 0,00,wuwNuNPwuSljminjkiijlk uNki, wNlj,1 , 0,2:1,2:1,wulnzkmyWMPMUwuSTLTLkLkkyz2:1,2:1,1 ,1 ,1221lzzjkyyippwwwWuuuUijkllllkkkklP給定給定個空間點列個空間點列, , 則則 定義了定義了次次B

10、 B樣條曲面，式中樣條曲面，式中和和l l 次的次的B B樣條基函數，由樣條基函數，由Pij Pij 由組成的空間網格稱為由組成的空間網格稱為B B樣條曲面的樣條曲面的特征網格。上式也可寫成如下的矩陣式：特征網格。上式也可寫成如下的矩陣式： 上式中上式中y,zy,z分別表示在分別表示在u,wu,w參數方向上曲面片的個數。參數方向上曲面片的個數。 是某一個是某一個B B樣條面片的控制點編號。下面介紹最常用的二、三樣條面片的控制點編號。下面介紹最常用的二、三次均勻次均勻B B樣條曲面的構造。樣條曲面的構造。是是k 次和次和, 2, 1,0lkwu020100020100200110221211)(

11、pppWMpppwwwPB TTBpppwWMp0201000 TTBTTBpppwpppwWMpWMp22111021211101, TTBBBpppppppppUwpwpwpUwuWMMMS222120121110020100210,TTBByzwuWPMUMS,1 1均勻雙二次均勻雙二次B B樣條曲面樣條曲面已知曲面的控制點已知曲面的控制點pij(i,jpij(i,j0,1,2)0,1,2)，參數，參數u,wu,w且且構造步驟是：構造步驟是：沿沿w(w(或或u)u)向構造均勻二次向構造均勻二次B B樣條曲線，即有：樣條曲線，即有：經轉置后經轉置后 同上可得同上可得 再沿再沿u(u(或或w

12、)w)向構造均勻二次向構造均勻二次B B樣條曲線，即可得到均勻雙二樣條曲線，即可得到均勻雙二 次次B B樣條曲面。樣條曲面。 簡記為簡記為 。)3 , 2 , 1 , 0,(jipij,1 , 0,wu wPi) 3 , 2 , 1 , 0( i TTBTTBTTBTTBppppwppppwppppwppppwWMpWMpWMpWMp333231303232221202131211101030201000, wPi 3332313023222120131211100302010032100,ppppppppppppppppPWPMUMwpwpwpwpUMwuSTTBBB014103030363

13、133161BM2 2均勻雙三次均勻雙三次B B樣條曲面樣條曲面已知曲面的控制點已知曲面的控制點，參數，參數u,wu,w且且構造雙三次構造雙三次B B樣條曲面的步驟同上述。樣條曲面的步驟同上述。沿沿w(w(或或u)u)向構造向構造均勻三次均勻三次B B樣條曲線樣條曲線再沿再沿u(u(或或w)w)向構造均勻三次向構造均勻三次B B樣條曲線，此時可認為頂點沿樣條曲線，此時可認為頂點沿滑動，每組頂點對應相同的滑動，每組頂點對應相同的w w，當，當w w值由值由0 0到到1 1連續(xù)變化，即形成連續(xù)變化，即形成B B樣條曲面。此時表達式為：樣條曲面。此時表達式為： 可見，由可見，由n個頂點定義的二次個頂

14、點定義的二次B樣條曲線，實質上是樣條曲線，實質上是n2段拋物線（相鄰三點定義）的連接，并在連接處達段拋物線（相鄰三點定義）的連接，并在連接處達到一階連續(xù)。到一階連續(xù)。 3. 三次三次B樣條曲線樣條曲線 對于三次對于三次B樣條曲線，樣條曲線，n=3,k=0,1,2,3。所以式（。所以式（5-27）可以分別寫成如下形式：）可以分別寫成如下形式： 30343 , 0)03() 1(! 31)(jjjjtCtF334324314304) 1()2()3(61tCtCtCtC3333)(4) 1(6)2(4)3(61tttt3232323461818632482442727961tttttttttt61

15、= (t3 + 3t2 3t + 1)20343 , 1)13() 1(! 31)(jjjjtCtF324314304)() 1()2(61tCtCtC323236412124812661ttttttt= (3t3 6t2 + 4) 6110343 , 2)23() 1(! 31)(jjjjtCtF314304)() 1(61tCtC323413361tttt = (3t3 + 3t2 + 3t + 1) 6100343 , 3)33() 1(! 31)(jjjjtCtF304)(61tC= t3 61所以，三次所以，三次B樣條曲線的表達式可以寫成：樣條曲線的表達式可以寫成： ) 10(014

16、1030303631331611)()()()()(32102333 , 323 , 213 , 103 , 0tPPPPtttPtFPtFPtFPtFtP(5-31) 關于式（關于式（5-31）的含義，可以參見對式（）的含義，可以參見對式（5-29）的說明，）的說明，在此不再贅述。在此不再贅述。 下面，我們來討論一下三次下面，我們來討論一下三次B樣條曲線的端點性質。樣條曲線的端點性質。 由式（由式（5-31）可以進一步推導得：）可以進一步推導得： ) 10(013102421301211)( 32102tPPPPtttPP(t)= (1t)3 P0+ (3t3 6t2 + 4) P1+ (-

17、3t3 + 3t2 +3t + 1) P2+ t3P3P (t)= -3(1t)2 P0+ (9t2 12t ) P1+ (-9t2 + 6t+3) P2+ 3t2P3P”(t)= 6(1t) P0+ (18t 12 ) P1+ (-18t + 6) P2+ 6tP3616161 以以t的端點值代入，得：的端點值代入，得：23132112021032231)4(61)1(32231)4(61)0(PPPPPPPPPPPPPP)(21)1( )(21)0( 1302PPPPPP)()()2)1( )()()2)0( 21233211012210PPPPPPPPPPPPPPPP 從以上列出的端點結

18、果我們可以看到，曲線段的起點從以上列出的端點結果我們可以看到，曲線段的起點P（0）位于）位于P0P1P2底邊底邊P0P2的中線的中線P1Pm上，且距上，且距P1點的三點的三分之一處。該點處的切矢分之一處。該點處的切矢P（0）平行于）平行于P0P1P2的底邊的底邊P0P2，且長度為其二分之一。，且長度為其二分之一。該點的二階導數該點的二階導數P（0）等）等于中線矢量于中線矢量P1Pm的二倍，的二倍，見圖見圖5-31。 P0P1P2P3P4P(0)P(0)P”(0)P”(1)P(1)P(1)Pm圖圖5-31 5-31 三次三次B B樣條曲線段樣條曲線段 三次三次B樣條曲線繪制示意圖樣條曲線繪制示意圖 同理，對于終點同理，對于終點P（1）處的情形與此相應。如果在）處的情形與此相應。如果在B特特征多邊形上增加了一個頂點征多邊形上增加了一個頂點P4，那么，那么P1P2P3P4又可定義一段又可定義一段新的三次新的三次B樣條曲線。因為新曲線段起點的有關數據和上一樣條曲線。因為新曲線段起點的有關數據和上一段曲線的終點的有關數據都只和段曲線的終點的有關數據都只和P1、P2、P3三點有關，所三點有關，所以該二段