第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第第2 2章章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 n自動控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機械的，液壓的，氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學模型來研究自動控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運動規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是通過物理學，化學，生物學等定律來描述的，如機械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕砻枋鱿到y(tǒng)模型的基本定律。n如果描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學模型可以是標量方程和向量的狀態(tài)方程?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型的概念控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念1. 1. 定義

2、：定義：根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理、化學等規(guī)律，根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理、化學等規(guī)律，所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學表達式的數(shù)學表達式（描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量（描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式之間關(guān)系的數(shù)學表達式）。2. 2. 建立數(shù)學模型的方法：建立數(shù)學模型的方法：系統(tǒng)建模有兩大類方法系統(tǒng)建模有兩大類方法: :一類是機理分析建模方法，稱為解析法，一類是機理分析建模方法，稱為解析法，另一類是實驗建模方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。另一類是實驗建模方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。 n解析法（機理分析法）解析法（機理分析法

3、）根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程。程。n實驗法（系統(tǒng)辨識法）實驗法（系統(tǒng)辨識法）給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。特性。 3. 3. 數(shù)學模型的類型數(shù)學模型的類型 1)1)靜態(tài)模型與動態(tài)模型靜態(tài)模型與動態(tài)模型 描述系統(tǒng)靜態(tài)（工作狀態(tài)不變或慢變過程）特性描述系統(tǒng)靜態(tài)（工作狀態(tài)不變或慢變過程）特性的模型，稱為靜態(tài)數(shù)學模型。的模型，稱為靜態(tài)數(shù)學模型。 靜態(tài)數(shù)學模型一般是以靜態(tài)數(shù)學模型一般是以代數(shù)方程代數(shù)方程表示的。表示的。 描述系

4、統(tǒng)動態(tài)或瞬態(tài)特性的模型，稱為動態(tài)數(shù)學描述系統(tǒng)動態(tài)或瞬態(tài)特性的模型，稱為動態(tài)數(shù)學模型模型。 動態(tài)數(shù)學模型中的變量依賴于時間，一般是動態(tài)數(shù)學模型中的變量依賴于時間，一般是微分微分方程方程等形式。等形式。 2) 2) 連續(xù)時間模型與離散時間模型連續(xù)時間模型與離散時間模型 連續(xù)數(shù)學模型連續(xù)數(shù)學模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表 達式等。達式等。 離散數(shù)學模型離散數(shù)學模型有差分方程、有差分方程、Z Z傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)傳遞函數(shù)、離散狀態(tài) 空間表達式等。空間表達式等。 3) 3) 參數(shù)模型與非參數(shù)模型參數(shù)模型與非參數(shù)模型 從描述方式上看，數(shù)學模型分為從描述方式上看，數(shù)學模

5、型分為參數(shù)模型參數(shù)模型和和非參非參數(shù)模型數(shù)模型兩大類。兩大類。 參數(shù)模型是用數(shù)學表達式表示的數(shù)學模型，如傳參數(shù)模型是用數(shù)學表達式表示的數(shù)學模型，如傳遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)方程等。遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)方程等。 非參數(shù)模型是直接或間接從物理系統(tǒng)的試驗分析非參數(shù)模型是直接或間接從物理系統(tǒng)的試驗分析中得到的響應(yīng)曲線表示的數(shù)學模型，如脈沖響應(yīng)、中得到的響應(yīng)曲線表示的數(shù)學模型，如脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、頻率特性曲線等。階躍響應(yīng)、頻率特性曲線等。 時域中常用的數(shù)學模型有時域中常用的數(shù)學模型有微分方程、差分方程微分方程、差分方程和和狀態(tài)方程；狀態(tài)方程；復(fù)域中有復(fù)域中有傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)和和結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖；頻域中；頻

6、域中有有頻率特性頻率特性。 數(shù)學模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可數(shù)學模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可以互相轉(zhuǎn)換，可以由一種形式的模型轉(zhuǎn)換為另一種形以互相轉(zhuǎn)換，可以由一種形式的模型轉(zhuǎn)換為另一種形式的模型。式的模型。 本章中只研究本章中只研究微分方程、傳遞函數(shù)微分方程、傳遞函數(shù)和和結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖等數(shù)等數(shù)學模型的建立及應(yīng)用。學模型的建立及應(yīng)用。 2-1 2-1 傅里葉變換與拉普拉斯變換傅里葉變換與拉普拉斯變換2.2.12.2.1線性部件、線性系統(tǒng)微分方程的建立線性部件、線性系統(tǒng)微分方程的建立2-2 2-2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型用解析法列寫微分方程的一般步驟：用解析法

7、列寫微分方程的一般步驟：（1 1）根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量；輸入、輸出變量；（2 2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的定律，列寫出各部件的動態(tài)方程，一般為微量所遵循的定律，列寫出各部件的動態(tài)方程，一般為微分方程組；分方程組；（3 3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；（4 4）將微分方程標準化，即將與輸入有關(guān)的各項方在將微分方程標準化，即將與輸入有關(guān)的各項方在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并按降冪

8、等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并按降冪排列。排列。例例2.1 R-L-C2.1 R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)如圖所無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，寫出輸入電壓示，寫出輸入電壓u ur r輸出電壓輸出電壓u uc c之間的微分方程。之間的微分方程。解：根據(jù)克?；舴蚨煽梢詫懗鼋猓焊鶕?jù)克?；舴蚨煽梢詫懗?電容上的電壓電容上的電壓dttductic)()( 回路中電流回路中電流dttictuc)(1)()()()()(tudttdiLtRitucr（2-12-1）代入式代入式2-12-1得得)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc（2-22-2）令令RCTLCT2 ,2將式（將式（2-2

9、2-2）整理成標準形式為）整理成標準形式為)()()(2)(222tutudttduTdttudTrccc若令若令Tn1整理成另一種標準形式為整理成另一種標準形式為)()()(2)(2222tutudttdudttudrccncnnkF(t)mfy(t)圖圖2.22.2解：若彈簧恢復(fù)力解：若彈簧恢復(fù)力F F2 2(t)(t)和阻尼器阻力和阻尼器阻力F F1 1(t)(t)與外力與外力F(t)F(t)不能不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有化。根據(jù)牛頓定理有: :2221)()()()(dttydmtFtFtF)(

10、)()()(21tkytFdttdyftF式中式中 f f 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù), k , k 彈性系數(shù)彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：由以上所列方程中消去中間變量：)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydTkF(t)mfy(t)例例2.32.3：試建立彈簧：試建立彈簧 阻尼器系統(tǒng)的阻尼器系統(tǒng)的微分方程。微分方程。圖圖2.32.3例2.4 圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設(shè)勵磁電流恒定不變，試建立在 作用下電動機轉(zhuǎn)軸的運動方程。 ru (t)R負載JmmfaE+-au(t)r+

11、Li+-if解解 在電樞控制情況下，激磁不變。取ua為給定輸入量， 為輸出量，Mc為擾動量。為便于建立方程，引入中間變量ea、ia和M。ea為電動機旋轉(zhuǎn)時電樞兩端的反電勢（V），ia為電樞電流（A），M為電動機旋轉(zhuǎn)時的電磁力矩（Nm）。列寫數(shù)學關(guān)系式如下 （1）電動機電樞回路的電勢平衡方程為（2）電動機的反電勢方程為（3）電動機的電磁轉(zhuǎn)矩方程為（4）電動機軸上的動力學方程為消去中間變量Ea、 ia和Mm，得 電感La較小，故電磁時間常數(shù)Ta可以忽略 ，則aaaaaauERidtdiLmaCEammiCM cmmmmmMMfdtdJcacaammemmammamammaMRdtdMLuCCCfR

12、dtdJRfLdtdJL)()(22emmaammCCfRRJTcammmMKuKdtdT21例例2.52.5試建立如圖試建立如圖2.42.4所示系所示系統(tǒng)的微分方程。統(tǒng)的微分方程。解：根據(jù)克?；舴螂妷憾桑猓焊鶕?jù)克希霍夫電壓定律，可寫出下列方程組可寫出下列方程組dtiCudtiCiRdtiiCdtiiCiRucr2222222112111111)(1)(1消去中間變量消去中間變量21, ii后得到后得到 rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211控制系統(tǒng)微分方程的建立應(yīng)注意控制系統(tǒng)微分方程的建立應(yīng)注意：a.a.應(yīng)注意信號傳遞的單向性，即前一個元件的輸出應(yīng)注

13、意信號傳遞的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；b.b.應(yīng)注意前后連接兩個元件中，后級對前級的負載應(yīng)注意前后連接兩個元件中，后級對前級的負載效應(yīng)（例如：無源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對前級的影響，效應(yīng)（例如：無源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對前級的影響，齒輪系對電動機轉(zhuǎn)動慣量的影響）。齒輪系對電動機轉(zhuǎn)動慣量的影響）。2.2.2 2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程的線性化非線性系統(tǒng)微分方程的線性化 非線性元件微分方程的線性化方法有：非線性元件微分方程的線性化方法有：切線法或切線法或小偏差法。小偏差法。適合于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，適合于具有連續(xù)變化的非線

14、性特性函數(shù)，其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。段直線來代替。)()()()(0000 xxdxxdfxfxfyyx設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y yf f（x x），取某平衡狀態(tài)），取某平衡狀態(tài)A A為工作點，對應(yīng)有為工作點，對應(yīng)有y y0 0 f f（x x0 0）當當x xx x0 0 x x時有時有y yy y0 0y y，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y y f f（x x）在（）在（x x0 0，y y0 0）點連續(xù)可微，則將它在該點附近點連續(xù)可微，則將它在該點附近用臺勞級數(shù)展開為用臺勞級數(shù)展開為當當x xx x0

15、 0很小時，略去高次冪項有：很小時，略去高次冪項有：.)()(! 21)()()()(20022000 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx 令令y yy yy y0 0，x xx xx x0 0，0)(xdxxdfk 則則y yk kx x，略去增量符號，得略去增量符號，得y yf f（x x）在工作點）在工作點A A附近的線性化方程為附近的線性化方程為y ykxkx。注意注意：1.1.非線性方程必為連續(xù)。非線性方程必為連續(xù)。 原因：斷續(xù)的方程不能用臺勞級數(shù)展開，因此不能采用原因：斷續(xù)的方程不能用臺勞級數(shù)展開，因此不能采用此方法。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。此方法。這類非線性稱為本質(zhì)非線

16、性。2.K2.K值與工作點的位置有關(guān)值與工作點的位置有關(guān), ,隨靜態(tài)工作點而變。隨靜態(tài)工作點而變。3.3.考慮增量考慮增量XX較小，較小，實際運行情況是在某個平衡點附近，且實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化。變量只能在小范圍內(nèi)變化。兩個自變量：兩個自變量： y=f(x1， x2) 靜態(tài)工作點：靜態(tài)工作點： y0=f(x10， x20) 在在y0=f(x10， x20) 附近展開成泰勒級數(shù)，即附近展開成泰勒級數(shù)，即函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。例題例題2-1422022222021012122101212202210112010)(

17、)()(! 21)()(),(xxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfy2211xKxKy解解:在在h h0 0處泰勒展開，取一次近似處泰勒展開，取一次近似QShhSadtdhhhhhhhhhhdthdhh1221210000000例例 2.62-3 2-3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學模型控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學模型傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上的復(fù)域中的數(shù)學模型。傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上的復(fù)域中的數(shù)學模型。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。2.3.22.

18、3.2傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn在在初始條件為零初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得時，對上式進行拉氏變換，得)()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn)()()()()(01110111sNsMasasasabsbsb

19、sbsRsCsGnnnnmmmm描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例例2.72.7試求例試求例2.1R-L-C2.1R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由前例可知，解：由前例可知，R-L-CR-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：11)()()(2RCsLCssUsUsGrC2.3.32.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)表

20、示系統(tǒng)傳遞輸入信號傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號形式動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號形式無關(guān)。無關(guān)。 2.2.由于能源的限制和實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，由于能源的限制和實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無限制上升，因而有：其輸出量不可能無限制上升，因而有：傳遞函數(shù)是復(fù)變量傳遞函數(shù)是復(fù)變量s s的的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m m低于或等于分母多項式低于或等于分母多項式的次數(shù)的次數(shù)n n，即，即mnmn。且系數(shù)均為實數(shù)。且系數(shù)均為實數(shù)。 3.3.傳

21、遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號無關(guān)，傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號無關(guān)，但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說，對于許多但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說，對于許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 4.4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.5.傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。6.6.傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函數(shù)能反映系統(tǒng)的運

22、動特性。數(shù)能反映系統(tǒng)的運動特性。 1)()(tLsR即所以有所以有 )()()()()(111tgsCLsRsCLsGL)(t脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖 輸入時的輸出響應(yīng)。輸入時的輸出響應(yīng)。因為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式為因為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式為1，常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積niimjjnmniimjjnmpszsKpspspszszszsKsGsTsKsTsTsTsssKsG112121112121)()()()()()()() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()(或式中：式中：K K稱為傳遞函數(shù)的稱為傳

23、遞函數(shù)的增益增益或或傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)（放大系數(shù)放大系數(shù)）。）。z zj j(j=1.2.m)(j=1.2.m)為分子多項式的根，稱為為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點傳遞函數(shù)的零點。P Pi i(1.2.n)(1.2.n)為分母多項式的根，稱為為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的分母多項式就是傳遞函數(shù)的分母多項式就是相應(yīng)微分方程式相應(yīng)微分方程式的特征多項式，的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方特征方程程。2.3.42.3.4常用控制元件的傳遞函數(shù)常用控制元件的傳遞函數(shù)學習要求：閱讀教材，理解原理

24、，看懂例題學習要求：閱讀教材，理解原理，看懂例題2.3.52.3.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)KsRsCsG)()()(比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為)()(tKrtc比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學方程為比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學方程為1. 1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)r(t)c(t)c(t)/r(t)2.2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）（非周期環(huán)節(jié)）輸入、輸出間的微分方程為輸入、輸出間的微分方程為11)()()()()()(TssRsCsGtrtcdttdcT傳遞函數(shù)

25、為注：注：1 1）慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，）慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，存在時間上延遲，T T愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數(shù)間常數(shù)T T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。表征了該環(huán)節(jié)的慣性。 2）在在單位階躍單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當數(shù)變化的。當t=3Tt=3T4T4T時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。0tr(t)/c(t)3.3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的微分方程是dttrTdttrKtctKrdttdc)(1)()()()

26、(或TssKsRsCsG1)()()(傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為 c(t)=Ktc(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為單位階躍響應(yīng)的斜率為 K K，如右圖所示。，如右圖所示。式中式中K=1/T-K=1/T-積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T-T-積分時間常數(shù)。積分時間常數(shù)。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)4.4.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為為dttdrTtc)()(TssRsCsG)()()(傳遞函數(shù)

27、為T T為微分時間常數(shù)。為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個強度為這是一個強度為T T的理想脈沖。的理想脈沖。在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。)()()(tTdttdrTtc5.5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT當輸入為單位階躍函數(shù)時，當輸入為單位階躍函數(shù)時，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。輸出響應(yīng)，如右圖所示。121)()()(22TssTsRsCsG傳遞函數(shù)為式中式中T-T-時間常

28、數(shù)，時間常數(shù)， -阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有 00 116.6.純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié)數(shù)學表達式為數(shù)學表達式為sesRsCsG)()()(傳遞函數(shù)為 式中式中 為純滯后時間。當輸入信號為下圖為純滯后時間。當輸入信號為下圖(a)(a)所示的所示的單位階躍函數(shù)時，其響應(yīng)曲線如單位階躍函數(shù)時，其響應(yīng)曲線如下圖下圖(b)(b)所示。所示。(a)(b)()(trtcr ( t )lc ( t )vttr ( t )c ( t )00n軋鋼機延遲環(huán)節(jié)的例子軋鋼機延遲環(huán)節(jié)的例子 lvc(t)r(t)sC(s)T(s)eR(s)2.3.6 2.3.6 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)idtCi

29、Ruiii220211dtuudCiuuRirr)()(102011解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式例例2.8 2.8 設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為u ur r, ,輸出電壓為輸出電壓為u u0 0，試寫出其傳遞函數(shù)。試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRrrrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCR

30、CRCRdtudCRCR)()(2211222211002122112022211消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG由此得出該電路的傳遞函數(shù)為由此得出該電路的傳遞函數(shù)為 在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。 在零初始條件下，對在零初始條件下，對方程組方程組取拉氏變換，得到取拉氏變換，得到消去中間變量可得消去中間變量可

31、得)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為2.4 2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進行的，它表示系

32、統(tǒng)中各變量所進行的數(shù)學運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。數(shù)學運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖。（信號之間的數(shù)學表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖。（信號之間的數(shù)學物理關(guān)系，系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)）物理關(guān)系，系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)） 信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。且信號只能單向傳輸。 方框：即一個元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖

33、，該方塊可方框：即一個元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對信號進行數(shù)學變換，其變換關(guān)系為以對信號進行數(shù)學變換，其變換關(guān)系為 X Xc c(s)=G(s)X(s)=G(s)Xr r(s)(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元方塊單元nkrkcsXsX1)()( 信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數(shù)相加。信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數(shù)相加。信號比較點的運算關(guān)系為信號比較點的運算關(guān)系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同

34、。2.4.2 2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的畫法結(jié)構(gòu)圖的畫法繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下： 1.1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負載效應(yīng)。是否有負載效應(yīng)。 2.2.在在零初始條件零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并下，對各微分方程進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。將變換式寫成標準形式。 3.3.由標準變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫由標準變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。出各元部

35、件的結(jié)構(gòu)圖。 4.4.按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 例例2.9 2.9 在圖所示的濾波電路中，若以電壓在圖所示的濾波電路中，若以電壓u ur r為輸入，電為輸入，電壓壓u uc c為輸出，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。為輸出，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。 例例2.92.9題電路圖題電路圖)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccccr2222121111111)(1icdtduuiRuiicdtdu

36、uiRucccccr解解2 2、將上述方程整理、將上述方程整理)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s). .按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。例題：試繪制如圖所示例題：試繪制如圖所示 的無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖的無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖 解：解：)()()()(1)()()()()()(21112211sIsIsIRsICssIRsIsUsURs

37、IsUccr根據(jù)克?；舴蚨蓪懜鶕?jù)克希霍夫定律寫出下列方程出下列方程 2.4.3 2.4.3 結(jié)構(gòu)圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.1.串聯(lián)連接方式的等效變換串聯(lián)連接方式的等效變換前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖下圖所示，所示，)()()()()()(32114sGsGsGsRsRsG串串聯(lián)聯(lián)后后總總的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為niisGsG1)()(2.2.并聯(lián)連接方式的等效變換并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示如下圖所示+n

38、iisGsG1)()(并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為3.3.反饋連接方式的等效變換反饋連接方式的等效變換)()()()()()()()()()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsCsHsRsGsEsGsCsBsRsEsCsHsB 將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構(gòu)成了反饋連接。比較，就構(gòu)成了反饋連接。)()()()(1)(sRsGsHsGsC所以)()(1)()(sHsGsGsGB由此得4.4.分支點的移動規(guī)則分支點的移動規(guī)則 將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵

39、循移動前后移動前后所得的分支信號保持不變所得的分支信號保持不變的等效原則。的等效原則。)()()(1)()()()(121sRsCsGsCsRsGsC移動前后的分支輸出信號不變，達到了等效變換的目的。移動前后的分支輸出信號不變，達到了等效變換的目的。)()()()()(21sRsCsRsGsC)()()()()()(21sRsGsCsRsGsC 分支點移動的規(guī)則為：分支點移動的規(guī)則為：若分支點從一個方塊圖的若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于

40、所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。5.5.比較點的移動規(guī)則比較點的移動規(guī)則如圖如圖(a)(a)所示，當比較點在所示，當比較點在A A處時，總輸出量為處時，總輸出量為 C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)(s)當比較點移到當比較點移到B B處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相

41、加，如圖后再相加，如圖(b)(b)所示，此時所示，此時 C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-G(s)R(s)-G(s)R2 2(s)(s)與移動前相等，因而兩圖是等效的。與移動前相等，因而兩圖是等效的。 當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為輸出都為 C(s)=RC(s)=R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)-R(s)-R3 3(s)(s)故它們都是等效的。故它們都是等效的。(a)(b)(c)互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。2.4.4 2.4.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的

42、簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化例例2.102.10簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)解解 這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未⒉⒙?lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始

43、，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)()()()()()()()(1)()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC(c)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)()()()(1)()(543232sGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)-C(s)例例2.112.11例例2.122.12例例2.132.13 簡化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。簡化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解解 圖是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消

44、除交叉，圖是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點、分支點互換的方法處理?？刹捎孟嗉狱c、分支點互換的方法處理。（2 2）再與）再與b b點交換點交換（1）將相加點）將相加點a移移至至G2之后之后（3）因）因 G4與與G1G2并聯(lián)，并聯(lián)， G3與與G2H是負反饋環(huán)是負反饋環(huán)（4 4）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為)()()(1)()()()()()(3243321sHsGsGsGsGsGsGsGs所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例例2.142.14 試簡化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞試簡化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。函

45、數(shù)。解解 （1 1）將支路）將支路H H2 2（s s）的分支點后移）的分支點后移（2 2）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示 )()()(1)()()(3434334sHsGsGsGsGsG（3 3）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為 所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)()()()(1)()()(4234234223sGsHsGsGsGsGsG)()()()()()()()()()()(1)()()()()()(143213432324321sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsG

46、sRsC歸納規(guī)律：歸納規(guī)律：通過上述例子，可以看到如果滿足以下兩個條件：所有回路兩兩相互接觸；所有回路與所有前向通道接觸。m1傳遞函數(shù)之積前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分子n11環(huán)函數(shù)）每一局部反饋回路的開（分母nms111)(環(huán)函數(shù)）每一局部反饋回路的開（傳遞函數(shù)之積前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)的則可以得到以下幾條簡化結(jié)構(gòu)圖的規(guī)律：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一個有理分式； ，負反饋取“+” 正反饋取“”即式中， m是前向通道的條數(shù)，n是反饋回路數(shù)。2.52.5控制系統(tǒng)的信號流圖控制系統(tǒng)的信號流圖2.5.12.5.1信號流圖信號流圖1.1.信號流圖中的基本圖形符號有三種：節(jié)點，支路，信號流圖中的基本圖形符號有三種：節(jié)點，

47、支路， 和支路增益和支路增益2.2.信號流圖的基本性質(zhì)信號流圖的基本性質(zhì)3.3.信號流圖的有關(guān)術(shù)語：信號流圖的有關(guān)術(shù)語：a.a.源節(jié)點源節(jié)點 b.b.阱節(jié)點阱節(jié)點 c.c.混合節(jié)點混合節(jié)點 d.d.前向通路前向通路d.d.回路回路 e.e.回路增益回路增益 f.f.前向通路增益前向通路增益g.g.不接觸回路不接觸回路 信號流圖的繪制：信號流圖的繪制：例例: 2-22: 2-22由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖應(yīng)注意由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖應(yīng)注意 ：（1 1）盡量精簡節(jié)點的數(shù)目，合并；源節(jié)點和阱節(jié)點不能合并掉；）盡量精簡節(jié)點的數(shù)目，合并；源節(jié)點和阱節(jié)點不能合并掉；（2 2）結(jié)構(gòu)圖比較點之前沒有引出點（之

48、后有）只需在比較點后設(shè)）結(jié)構(gòu)圖比較點之前沒有引出點（之后有）只需在比較點后設(shè) 置一個節(jié)點便可，但若比較點之前有引出點，需在引出點和置一個節(jié)點便可，但若比較點之前有引出點，需在引出點和 比較點之后各設(shè)置一個節(jié)點。分邊標志兩個變量，他們之間比較點之后各設(shè)置一個節(jié)點。分邊標志兩個變量，他們之間 的支路增益為的支路增益為1 1。2.5.2 信流圖的性質(zhì)及運算法則信流圖的性質(zhì)及運算法則 1、每一個節(jié)點表示一個變量，并可以把所有、每一個節(jié)點表示一個變量，并可以把所有 輸入支路信號迭加再傳送到每一個輸出支輸入支路信號迭加再傳送到每一個輸出支 路。路。 2、支路表示了一個信號對另一個信號的函數(shù)、支路表示了一個

49、信號對另一個信號的函數(shù) 關(guān)系。支路上的箭頭方向表示信號的流向。關(guān)系。支路上的箭頭方向表示信號的流向。 3、混合節(jié)點可以通過增加一個增益為、混合節(jié)點可以通過增加一個增益為1的支路的支路 變成為輸出節(jié)點變成為輸出節(jié)點,且兩節(jié)點的變量相同。且兩節(jié)點的變量相同。 信流圖運算法則：信流圖運算法則：+_ _( )Rs()Cs()Hs()Es()Gs()Rs()Cs()Gs1()Es()Rs()Rs()Cs()Cs()Cs()Gs()Gs+_ _( )R s()Cs()Hs()Es()Ns+1( )Gs2( )Gs()Ns()Rs1( )Gs2( )Gs1()Es+_ _( )Rs()Cs()Hs()Es(

50、)Gs()Ns+()Rs()Cs()Gs1()Es()Cs()Ns1111 1()Gs2 1()Gs1 2()Gs2 2()Gs1()Rs2()Rs1()Cs2()Cs+1()Rs1()Cs2()Rs2()Cs1 1()Gs2 1()Gs1 2()Gs2 2()Gs方塊圖信號流程圖序號12345()Hs()Hs()Hs梅遜公式一般形式為梅遜公式一般形式為式。條前向通路的特征余子下的部分，稱為第所在項除去后所余條前向通路接觸的回路中，將與第在條前向通路傳遞函數(shù)。第之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有三個互不接觸回之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有兩兩互不接觸回數(shù)之和。所有不同回路傳遞函其中稱為特征式，且為

51、待求的總傳遞函數(shù)。式中kkkPLLLLLLLLLLLLsPskkkjijiikjijiinkkk1)()(12.5.3 2.5.3 用梅遜用梅遜(S.J.Mason)(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)公式求傳遞函數(shù) 梅遜公式的由來梅遜公式的由來例例: : 用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-解解 圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為44343543232216543211HGGLHGGLHGGLHGGGGGGL故故 LLi i=L=L1 1+L+L2 2+L+L3

52、 3+L+L4 4 在上述四個回路中，互不接觸回路有：在上述四個回路中，互不接觸回路有：L L2 2、L L3 3，它們之，它們之間沒有重合的部分，因此有間沒有重合的部分，因此有 LLi iL Lj j= L= L2 2L L3 3=(-G=(-G2 2G G3 3H H2 2)()(G G4 4G G5 5H H3 3)=G)=G2 2G G3 3G G4 4G G5 5H H2 2H H3 3 圖中沒有三個互不接觸回路，故圖中沒有三個互不接觸回路，故 LLi iL Lj jL LK K=0=0可得特征式可得特征式32543244335423216543213243211)(11HHGGGG

53、HGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLLLLLjii圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以所以325432443354232165432165432111165432111)(1HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGPsGGGGGGP傳遞函數(shù)為由梅遜公式求得系統(tǒng)的注意：注意： 應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進行結(jié)構(gòu)圖變換。但當結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時，容易遺而不必進行結(jié)構(gòu)圖變換。但當結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特漏

54、前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特別注意。別注意。例例 題：題：2-24 2-25例例 題：題：122321212112232121123232212114232111111HGHGGHGGHGHGGHGGLHGLHGGLHGGLGPGGGPa例：例： 利用梅遜公式，求：利用梅遜公式，求：C C（s s）/R/R（s s） 解：畫出該系統(tǒng)的信號流程圖解：畫出該系統(tǒng)的信號流程圖 ( )R s( )C s1G2G3G4G5G6G7G1H2H+-+-+( )R s( )C s1G2G3G4G5G6G7G1H2H1該系統(tǒng)中有四個獨立的回路：該系統(tǒng)中有四個獨立的回路： L L1 1 = -G

55、 = -G4 4H H1 1 L L2 2 = -G = -G2 2G G7 7H H2 2 L L3 3 = -G = -G6 6G G4 4G G5 5H H2 2 L L4 4 = -G = -G2 2G G3 3G G4 4G G5 5H H2 2互不接觸的回路有一個互不接觸的回路有一個L L1 1 L L2 2。所以，特征式。所以，特征式 =1-=1-（L1 + L2 + L3 + L4L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2+ L1 L2該系統(tǒng)的前向通道有三個：該系統(tǒng)的前向通道有三個： P P1 1= G= G1 1G G2 2G G3 3G G4 4G G5 5 1 1

56、=1=1 P P2 2= G= G1 1L L6 6G G4 4G G5 5 2 2=1=1 P P3 3= G= G1 1G G2 2G G7 7 3 3=1-L=1-L1 1 因此，系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)因此，系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s) / R(s)C(s) / R(s)為為 272142543225462721414721346154321332211HGGHGHGGGGHGGGHGGHG1)HG(1GGGGGGGGGGGG)pp(p1GR(s)C(s)例：畫出信流圖，并利用梅遜公式求取它的傳例：畫出信流圖，并利用梅遜公式求取它的傳 遞函數(shù)遞函數(shù)C(s) / R(s)C(s) / R(s)。信流圖：信流圖：ABE+_ _+_ _+-11C s21R21C s11R( )R s( )C sCD+( )Rs( )CsABCDE11R11Cs1121R21C s1111注意：圖中注意：圖中C C位于比較點的前面，為了引出位于比較點的前面，為了引出C C處的信號要用一處的信號要用一 個傳輸為個傳輸為1 1的支路把的支路把C C、D D的信號分開。的信號分開。題目中單獨回路有題目中單獨回路有L L1 1、L L2 2和和L L3 3，互不接觸回路有，互不接觸回路有 L L1 1L L2 2，即，即 ：前向通路只