第2章剛體力學(xué)例題指導(dǎo)

1、剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 一人握有兩只啞鈴一人握有兩只啞鈴, 站在一可無摩擦地轉(zhuǎn)動站在一可無摩擦地轉(zhuǎn)動的水平平臺上的水平平臺上, 開始時兩手平握啞鈴開始時兩手平握啞鈴, 人、啞鈴、平臺人、啞鈴、平臺組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉(zhuǎn)組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉(zhuǎn), 后來此人將啞鈴下垂于后來此人將啞鈴下垂于身體兩側(cè)身體兩側(cè), 在此過程中在此過程中, 系統(tǒng)系統(tǒng)(A) 角動量守恒角動量守恒, 機(jī)械能不守恒機(jī)械能不守恒; (B) 角動量守恒角動量守恒, 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒; (C) 角動量不守恒角動

2、量不守恒, 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒; (D) 角動量不守恒角動量不守恒, 機(jī)械能不守恒機(jī)械能不守恒. 剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 關(guān)于力矩有以下幾種說法關(guān)于力矩有以下幾種說法:（1）內(nèi)力矩不會改變剛體對某個軸的角動量）內(nèi)力矩不會改變剛體對某個軸的角動量; （2）作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零）作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零; （3）質(zhì)量相等）質(zhì)量相等, 形狀和大小不同的兩個剛體形狀和大小不同的兩個剛體, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 他們的角加速度一定

3、相等他們的角加速度一定相等; 在上述說法中在上述說法中(A) 只有（只有（2）是正確的）是正確的; (B)（1）、（）、（2）是正確的）是正確的; (C)（2）、（）、（3）是正確的）是正確的; (D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正確的）都是正確的. 剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）AMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）無法確定）無法確定. 例例 如圖所示如圖所示, A、B為兩個相同的定滑輪為兩個相同的定滑輪, A 滑滑輪掛一質(zhì)量為輪掛一質(zhì)量為M的物

4、體的物體, B滑輪受力滑輪受力F = Mg, 設(shè)設(shè) A、B兩滑輪的角加速度分別為兩滑輪的角加速度分別為 A和和B ,不計滑輪的摩擦不計滑輪的摩擦,這這兩個滑輪的角加速度的兩個滑輪的角加速度的大小關(guān)系為大小關(guān)系為: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMT剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）(A) 動量不守恒動量不守恒, 動能守恒動能守恒; (B) 動量守恒動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (C) 角動量守恒角動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (D) 角動量不守恒角

5、動量不守恒, 動能守恒動能守恒. 例例 人造地球衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星, 繞地球作橢圓軌道運動繞地球作橢圓軌道運動, 地球地球在橢圓的一個焦點上在橢圓的一個焦點上, 則衛(wèi)星的：則衛(wèi)星的：剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 一飛輪在時間一飛輪在時間t t 內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解：解：剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的

6、轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機(jī)，滑輪半一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機(jī)，滑輪半徑徑 , 如果升降機(jī)從靜止開始以如果升降機(jī)從靜止開始以 加速度上升加速度上升, 求求 （1）滑輪角加速度；滑輪角加速度；（2） 時時角速度及轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；角速度及轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；（3） 時輪緣上一點的時輪緣上一點的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aa剛體的

7、轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）srad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 時角速度及轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；時角速度及轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；s5t2srad8 . 0求（求（3） 時輪緣上一點的加速度時輪緣上一點的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnataa剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）

8、（陳信義第二版）l lo0iF 0iM解：解：剛體平衡的條件剛體平衡的條件 例例 一長為一長為 l l，重為，重為W W 的均勻梯子，靠墻放置，墻的均勻梯子，靠墻放置，墻光滑，當(dāng)梯子與地面成光滑，當(dāng)梯子與地面成 角時處于平衡狀態(tài)，求梯子角時處于平衡狀態(tài)，求梯子與地面的摩擦力。與地面的摩擦力。02f NF01 NP 以支點以支點O為轉(zhuǎn)動中心，梯子受為轉(zhuǎn)動中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22lNlPcot22fPNF1N2NPfF剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）xo 例例 一質(zhì)

9、量為一質(zhì)量為m、長為、長為L的均勻細(xì)棒，可在水平桌面的均勻細(xì)棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動，已知細(xì)棒與桌面的上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動，已知細(xì)棒與桌面的摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 , 求棒轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩的大小求棒轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩的大小 dxxfFd解：解：取一小段如圖取一小段如圖xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFddf剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 電風(fēng)扇在開啟電源后，經(jīng)電風(fēng)扇在開啟電源后，經(jīng)t1時間達(dá)到了額時間達(dá)到了額定轉(zhuǎn)

10、速，此時相應(yīng)的角速度為定轉(zhuǎn)速，此時相應(yīng)的角速度為0 ，當(dāng)關(guān)閉電源后，當(dāng)關(guān)閉電源后，經(jīng)過經(jīng)過t2時間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為時間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為J，并假設(shè)摩擦阻力矩和電機(jī)的電磁力矩均為常量，并假設(shè)摩擦阻力矩和電機(jī)的電磁力矩均為常量，求電機(jī)的電磁力矩求電機(jī)的電磁力矩)11(210ttJM解：解：22110tt1fJMM2fJM 剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例：例：求一半徑求一半徑 的飛輪對過其中心軸的的飛輪對過其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩末端掛一重物轉(zhuǎn)動

11、慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩末端掛一重物, 其其質(zhì)量質(zhì)量 的讓其從的讓其從 處靜止下落處靜止下落, 測得下落時間測得下落時間 ；若用質(zhì)量；若用質(zhì)量 的的重物時重物時, , 假定摩擦力矩假定摩擦力矩 是一個常量是一個常量 , 求求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量飛輪的轉(zhuǎn)動慣量.cm50Rm0 . 2hkg0 . 81mkg0 . 42ms161ts252tfMR1mhR2mhfM解：受力分析、解：受力分析、坐標(biāo)如圖坐標(biāo)如圖TTgmy y剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）2222f2222221tahRaJMRTam

12、Tgm1111amTgmRaJMRT1f121121tah fMTTgmy y已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J J2211m/s0156. 02tha2222m/s0064. 02tha剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）22121)()(RTTJaa21221)(aaRTTJ23mkg1006. 1N2 .39)(222agmTN3 .78)(111agmT已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0

13、. 42ms161ts252tCM f求求：J JfMTTgmy yRaJMRT2f2RaJMRT1f11111amTgm2222amTgm21m/s0156.0a22m/s0064.0a剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例：例：證明關(guān)于行星運動的開普勒第二定律，行星證明關(guān)于行星運動的開普勒第二定律，行星對太陽的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。對太陽的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。證明證明:)(trvsm)d(ttrmLrsin21rrSLmrtSt21sin21lim0vrrmmGF

14、s3CL 時間內(nèi)時間內(nèi)徑矢掃過的面積為徑矢掃過的面積為tsin21trrtS單位時間單位時間掃過的面積掃過的面積所以相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。所以相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 一滑冰者開始轉(zhuǎn)動時一滑冰者開始轉(zhuǎn)動時 ，然后將，然后將手臂收回，使轉(zhuǎn)動慣量減少為原來的手臂收回，使轉(zhuǎn)動慣量減少為原來的 1/3，求此時的轉(zhuǎn)，求此時的轉(zhuǎn)動角速度動角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)力矩內(nèi)力矩的功之的功之和為和為零，非零，非

15、剛體剛體不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解：解：外力矩為零，外力矩為零，角動量守恒角動量守恒內(nèi)力做功，內(nèi)力做功，轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能變化變化03剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 把單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿把單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿與單擺的擺錘質(zhì)量均為與單擺的擺錘質(zhì)量均為 m . 開始時直桿自然下垂，將單開始時直桿自然下垂，將單擺擺錘拉到高度擺擺錘拉到高度 ，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺，于垂直位，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺，于垂直位置和直桿作彈性碰

16、撞置和直桿作彈性碰撞. 求求 碰后直桿下端達(dá)到的高度碰后直桿下端達(dá)到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此問題分為此問題分為三個階段三個階段0hllmm0v002ghv 1） 單擺自由下單擺自由下擺（機(jī)械能守恒），擺（機(jī)械能守恒），與桿碰前速度與桿碰前速度剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）2）擺與桿彈性碰撞（擺與桿彈性碰撞（擺，桿擺，桿）角動量守恒角動量守恒vvmlJml0機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后桿上擺，碰后桿上擺，機(jī)械能守恒（機(jī)械能

17、守恒（桿，地球桿，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）解解：盤和人為系統(tǒng)，角動量守恒。盤和人為系統(tǒng)，角動量守恒。設(shè)：設(shè)： 分別為人和盤相對地分別為人和盤相對地 的角速度，的角速度，順時針為正向順時針為正向.,00210202RmmR22200mmm順時針向順時針向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例：例： 質(zhì)量質(zhì)量 ，半徑，半徑 的均勻圓盤可繞過中心的光滑的均勻圓盤可繞過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動豎直軸自由轉(zhuǎn)

18、動. 在盤緣站一質(zhì)量為在盤緣站一質(zhì)量為 的人，開始人和的人，開始人和盤都靜止，當(dāng)人在盤緣走一圈時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度盤都靜止，當(dāng)人在盤緣走一圈時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度.0mRmmR0m剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）oRhmmm2022121JJ 和和 、 分別分別為圓盤終了和起始時的角為圓盤終了和起始時的角坐標(biāo)和角速度坐標(biāo)和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為 R 的圓盤，可繞一垂的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動直通過盤心的無摩擦的水平

19、軸轉(zhuǎn)動 . 圓盤上繞有輕繩，圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為一端掛質(zhì)量為m 的物體的物體 . 問物體在靜止下落高度問物體在靜止下落高度 h 時，時，其速度的大小為多少其速度的大小為多少? 設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計 .m 解解 拉力拉力 對圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動對圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功為的力矩所作的功為TFTFoTFNFPTFPm剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）202TT2121dd00JJFRRF物體由靜止開始下落物體由

20、靜止開始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動慣量并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動慣量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由質(zhì)點動能定理由質(zhì)點動能定理TTFFoTFNFPTFPmRv剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版） 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質(zhì)、質(zhì)量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另

21、一質(zhì)量為 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計擦力可略去不計. 問：（問：（1） 兩物體的線加速度為多少？兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體物體 B 從從BmCm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張力繩的張力. 靜止落下距離靜止落下距離 時，時，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為它們間的摩擦力矩為fMyAmABCAmBmCm剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題剛體的轉(zhuǎn)動習(xí)題課選講例題第第2 2章章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)大學(xué)物理教程大學(xué)物理教程（陳信義第二版）（陳信義第二版）ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1