第2章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第第2章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析的時(shí)域分析 引言信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。時(shí)域分析方法時(shí)域分析方法: :不涉及任何變換，直接求解系不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分方程，這種方法比較直觀，物理概統(tǒng)的微分方程，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可用微分方程表示，因此在時(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可用微分方程表示，因此在時(shí)域下分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是求解微域下分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是求解微分方

2、程的過程。分方程的過程。而對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)可用差分方程表示，因而對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)可用差分方程表示，因此在時(shí)域下分析離散時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是此在時(shí)域下分析離散時(shí)間系統(tǒng)，實(shí)際上就是求解差分方程的過程。求解差分方程的過程。系統(tǒng)分析過程系統(tǒng)分析過程 變換域法變換域法利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態(tài)零狀態(tài)可利用經(jīng)典法求可利用經(jīng)典法求零輸入零輸入雙零法雙零法經(jīng)典法經(jīng)典法解方程解方程網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束根據(jù)元件約束根據(jù)元件約束列寫方程列寫方程:,:經(jīng)典法經(jīng)典法: :電路分析基礎(chǔ)課里已經(jīng)討論過，求解微分方電路分析基礎(chǔ)課里已經(jīng)討論過，求解微分方程的齊次解和特解，代入初始條件求解系數(shù)，得出程的齊次解

3、和特解，代入初始條件求解系數(shù)，得出全響應(yīng)全響應(yīng)；卷積積分法卷積積分法: : 任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。激響應(yīng)來求。( (新方法新方法) )線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t) 和階躍響應(yīng)和階躍響應(yīng)g(t)g(t)的求解；的求解；卷積的定義；卷積的定義；圖解法求卷積；圖解法求卷積；卷積的性質(zhì)；卷積的性質(zhì)；卷積積分法求系統(tǒng)響應(yīng)；卷積積分法求系統(tǒng)響應(yīng)；本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)

4、間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程來描述。來描述。一物理系統(tǒng)的模型一物理系統(tǒng)的模型本節(jié)復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：本節(jié)復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。約束列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件

5、特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,以基爾霍夫以基爾霍夫電流電流定律定律KCL，基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律KVL表表示。示。二微分方程的列寫二微分方程的列寫1. 1. 元件約束元件約束VARVAR在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：(1)

6、(1)電阻電阻R R，u uR R(t)=R(t)=Ri iR R(t)(t)； (2)(2)電感電感L L， (3)(3)電容電容C C，(4)(4)互感互感( (同、異名端連接同、異名端連接) )、理想變壓器等原、副、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。邊電壓、電流關(guān)系等。00( )11( ),( )( )( )( )ttLLLLLLtditutLitudituddtLL 00( )11( ),( )( )( )( )ttCCCCCCtdutitCutidutiddtCC2. 2. 結(jié)構(gòu)約束結(jié)構(gòu)約束KCLKCL與與KVLKVL下面舉例說明。下面舉例說明。例例 如圖所示電路，輸入激勵(lì)是電流

7、源如圖所示電路，輸入激勵(lì)是電流源i iS S(t),(t),試列出電流試列出電流i iL L(t)(t)為輸出響應(yīng)變量為輸出響應(yīng)變量的方程式。的方程式。 iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L 由由KVLKVL，列出電壓方程，列出電壓方程2122( )( )( )( )cLLdu tdu tditditLRdtdtdtdt 12( )( )( )( )CLLutu tutR it 對(duì)上式求導(dǎo)對(duì)上式求導(dǎo)考慮到考慮到所以所以 11( )( )( )( )CCCdutitCR itu tdt 2( )( )LLditLR itdt iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L211

8、221( )( )( )1( )LLdu tditditu tLRR Cdtdtdt根據(jù)根據(jù)KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而，因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t) 21212( )( )( )11( )( )SLLLSditd itRRditRititdtLdtLCLdtLC 2122( )( )( )( )1( )( )()SLLLSLditditd itditititRLRCdtdtdtdt 整理上式后，可得整理上式后，可得i

9、S(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L三n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述 一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào) 之間之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述( )e t( )y t1110111101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmy ty ty taaaa y tttte te te tbbbb e tttt 若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的系數(shù)的n階線性常系數(shù)微分方程。階線性常系數(shù)微

10、分方程。階次階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。分析系統(tǒng)的方法：分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程列寫方程，求解方程。 變換域法變換域法利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態(tài)零狀態(tài)可利用經(jīng)典法求解可利用經(jīng)典法求解零輸入零輸入應(yīng)應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響經(jīng)典法經(jīng)典法解方程解方程網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束根據(jù)元件約束根據(jù)元件約束列寫方程列寫方程: ,:求解方程時(shí)域求解方程時(shí)域經(jīng)典法經(jīng)典法就是：就是：齊次解齊次解 + 特解特解。四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法 我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入

11、的時(shí)刻定義為t=0 ，響應(yīng)，響應(yīng)為為 時(shí)的方程的解，初始條件時(shí)的方程的解，初始條件0t 齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式1ekntkkc 注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。特特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程代入原方程，比較系數(shù)，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。2121d (0 )d(0 )d(0 )(0 ) ,dddnnyyyyttt kc2.1.12.1.1微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解全全 解：齊次解解：齊次解+特解，由特解，由初始條

12、件初始條件定出齊次解定出齊次解 。齊次解滿足齊次微分方程齊次解滿足齊次微分方程 y y(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1 y y(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1y y(1)(1)(t)+a(t)+a0 0y(t)=0 y(t)=0 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為程的特征方程為 n n+a+an-1n-1n-1n-1+ +a+a1 1+a+a0 0=0=0 齊次解齊次解 (1)(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同都互不相同( (即無重根即無重根) )，則微分方程的，則微分方程的齊

13、次解齊次解(2) (2) 特征根有重根。若特征根有重根。若1 1是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其，而其余余(n-)(n-)個(gè)根個(gè)根+1+1，+2+2，n n都是都是單根，則微分方程的齊次解單根，則微分方程的齊次解1( )inthiiy tc e 11( )jinttihijijytc tec e (3)(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根。即特征根有一對(duì)單復(fù)根。即1, 21, 2=a=ajbjb，則微分方程的齊次解則微分方程的齊次解y yh h(t)=c(t)=c1 1e eatatcosbt+ccosbt+c2 2e eatatsinbtsinbt或或 y

14、yh h(t)=Ae(t)=Aeatatcos(bt-cos(bt-) ) (4)(4)特征根有一對(duì)特征根有一對(duì)m m重復(fù)根。即共有重復(fù)根。即共有m m重重1,21,2=a=ajbjb的復(fù)根，則微分方程的齊次解的復(fù)根，則微分方程的齊次解11211211122( )coscoscossinsinsin( )cos()cos()cos()atatmathmatatmatmatatmathmmytc ebtc tebtc tebtd ebtd tebtd tebtytA ebtA tebtA tebt 3232ddd71612dddy ty ty ty te tttt求求微微分分方方程程系統(tǒng)的特征方

15、程為系統(tǒng)的特征方程為 32716120 2230 122 , 3 重重根根 23123eetthytc tcc 特征根特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為因而對(duì)應(yīng)的齊次解為例例 7 17 153 ( )ytytyty tetet 求求微微分分方方程程系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 32717150 1233 , 2, 2jj 32123321ee(cossin )eecos()tthtthytCCtCtytCAt 或或特征根特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為因而對(duì)應(yīng)的齊次解為例例特征根特征根齊次解齊次解yh(t)i itiC e i 12121()itrrrrC tC tCtC e 1,2j12(cossin)c

16、os()tteCtCtAet 或或特征根與相應(yīng)的齊次解形式特征根與相應(yīng)的齊次解形式單根單根r重根重根共軛復(fù)根共軛復(fù)根1,2jr重共軛復(fù)根重共軛復(fù)根1211221100cos()cos()cos()cos()atrrrrrreCttCttC ttCt激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解的特解)(常常數(shù)數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)Bmt1110mmmmP tPtPtP t e1110e(+)etrrtrrPP tPtPtP 或或 t cos t sin 12cossinPtPt esinmttt ecosmttt 11101110()cos()sinemmmmmmtmmP tPtPtPtQ

17、tQtQ tQt 幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解 cosAt 或或如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此方程的特解。方程的特解。 22ddd23dddy ty te ty te tttt 給定微分方程式給定微分方程式 p2123ytB tB tB 為使等式兩端為使等式兩端 221,2 ,e tttt 代代入入方方程程右右端端 得得到到平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式將此式代入方程代入方程得到得到 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 例例2(1) ( ); ( )te

18、 tte te等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有 032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解為所以，特解為 p212103927yttt 這里，這里，B是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： ee,tte ty tB 。tttttBBBeee3e2e 31 B p= e13tyt于于是是，特特解解。(2)全解全解將微分方程的齊次解和特解相加可得到全將微分方程的齊次解和特解相加可得到全解。解。全解中的待定系數(shù)可由系統(tǒng)的初始條件確全解中的待定系數(shù)可由系統(tǒng)的初始條件確定。定。試求

19、試求 的全解。的全解。 22dd56ddy ty ty te ttt 給定微分方程式給定微分方程式2560 （1）系統(tǒng)特征方程為）系統(tǒng)特征方程為例例( )2( ), (0 )2,(0 )1te tetyy 由此求的系統(tǒng)特征根為由此求的系統(tǒng)特征根為1 1=-2=-2、2 2=-3=-3。其齊次解。其齊次解形式為形式為2312( )tthytC eC e ( )0tpytet （2 2）已知激勵(lì)信號(hào)為）已知激勵(lì)信號(hào)為e(t)=2ee(t)=2e-t-t(t),(t),可設(shè)特解可設(shè)特解將特解與激勵(lì)將特解與激勵(lì)e(t)=2e-te(t)=2e-t(t)(t)帶入原微分方程，可帶入原微分方程，可得得 P

20、=1P=1( )0tpytPet 所以所以（3 3）微分方程全解為）微分方程全解為2312( )( )( )0ttthpy ty tytC eC eet 01212012(0 )( )|1232(0 )( )|2311ttyy tCCCCyy tCC 全解一階導(dǎo)數(shù)為全解一階導(dǎo)數(shù)為令令y(t)y(t)、y y(t)(t)兩式中的兩式中的t=0t=0+ +，結(jié)合已知初始條件，得，結(jié)合已知初始條件，得2312( )230ttty tC eC eet 故系統(tǒng)微分方程全解為故系統(tǒng)微分方程全解為23( )320ttty teeet 齊次解齊次解（自由響應(yīng)）（自由響應(yīng)） 特解特解（強(qiáng)迫響應(yīng)）（強(qiáng)迫響應(yīng)）已知

21、激勵(lì)信號(hào)已知激勵(lì)信號(hào)e(t)=sin2t(te(t)=sin2t(t0) ) ，初始時(shí)刻，初始時(shí)刻，電容端電壓均為零，求輸出信號(hào)電容端電壓均為零，求輸出信號(hào)v v2 2(t)(t)。例例(1)(1)列微分方程列微分方程21222 222( )1( )( )( )( )( )3Rdv tv tvtv tR iv tv tdt 2222( )( )1( )3dv tdv ti tCdtdt2122112( )( )( )11( )62dv td vtdvti tCdtdtdt 22211122( )( )15( ) ( )( )66Rd v tdv tvtR i ti tdtdt2221122(

22、)( )17( )( )( )( )66Rd v tdv te tvtv tv tdtdt 22222( )( )76( )6sin2(0)d v tdv tv tttdtdt 整整理理，得得212612(2)7601,6ttA eA e 為為求求齊齊次次解解，寫寫特特征征方方程程特特征征根根為為齊齊次次解解(自(自由由響響應(yīng)應(yīng))為)為121212121212(3)sin2cos2,4sin24cos214cos214sin26sin26cos26sin2321,5050321sin2cos25050BtBtB BBtBtBtBtBtBttBBtt 特特解解形形式式為為代代入入原原方方程程求求

23、系系數(shù)數(shù)解解得得于于是是，特特解解(強(qiáng)(強(qiáng)迫迫響響應(yīng)應(yīng))為)為6212(4)321( )sin2cos25050ttv tAeA ett 完完全全解解為為22222222(0 )0(0 )(0 )0(0 )(0 ),0CvvvdvdvRCdtdt 由由于于已已知知電電容容初初始始電電壓壓，因因此此有有。同同時(shí)時(shí)流流過過的的初初始始電電流流也也為為零零，即即。根根據(jù)據(jù)這這兩兩個(gè)個(gè)初初始始條條件件，可可寫寫出出12121221024350,650500650AAAAAA 得得62123321( )sin2cos2 ,(0)25505050ttv teettt 完完全全解解為為2.1.2 2.1.2

24、 關(guān)于系統(tǒng)關(guān)于系統(tǒng)t=0t=0- -與與t=0t=0+ +狀態(tài)的討論狀態(tài)的討論我們來進(jìn)一步討論我們來進(jìn)一步討論 的條的條件。件。 ( )( )(0 )(0 )kkyy 0t 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 0 狀狀態(tài)態(tài)、系系統(tǒng)統(tǒng)的的初初始始狀狀態(tài)態(tài)。O 0 0t0 狀狀態(tài)態(tài)、系系統(tǒng)統(tǒng)全全響響應(yīng)應(yīng)的的初初始始條條件件。 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 及及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 0

25、0 t 一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則： .00 ,00 LLCCiivv對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況; ; 0 00 到到但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，作用于電感， 狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。 說明由伏安關(guān)系由伏安關(guān)系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCi

26、CiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令為為有有限限值值如如果果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 為為如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此時(shí)此時(shí)CvvCC1)0()0( 此時(shí)此時(shí)當(dāng)有沖激電流當(dāng)有沖激電流或階躍電壓作或階躍電壓作用于電容時(shí)：用于電容時(shí)：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC1 1電容電壓的突變電容電壓的突變 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此時(shí)時(shí) 0d)(0

27、0， Lv如果為有限值，如果為有限值，)(tvL，為為如如果果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此時(shí)此時(shí) 沖激電壓或階沖激電壓或階躍電流作用于躍電流作用于電感時(shí)：電感時(shí)：)0()0( LLii2 2電感電流的突變電感電流的突變配平的原理：配平的原理：t =0 時(shí)刻時(shí)刻微分方程左右兩端的微分方程左右兩端的(t)及各階及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡( (其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）可以不管其他項(xiàng)） d33dy ty ttt 0,0yy 已已知知求求例例： 相對(duì)單位跳變函數(shù)相對(duì)單位跳變函數(shù)到到表示表示 00:tu

28、ttytydtd 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 93 3 3沖激函數(shù)匹配法（沖激函數(shù)匹配法（沖激平衡法沖激平衡法）確定初始條件）確定初始條件( ) t 在在 中中 時(shí)刻有時(shí)刻有 y t0 t tu 9 t 3方方程程右右端端含含 d3dy ttt 中中必必含含 3y tt 中中包包含含 t 方方程程右右端端不不含含 d939dy tty ttt 必必含含以以平平衡衡中中的的 009yy 009yy 即即中的中的 ddy tt t 9 表示表示 到到 的相對(duì)跳變函數(shù)，所以，的相對(duì)跳變函數(shù)，所以， tu 0 0分析分析 d33dy ty ttt d33dy ty ttt 由由方方

29、程程可可知知 項(xiàng)項(xiàng)，方方程程右右端端含含t ddy tt它它一一定定屬屬于于 y tatb u t ttubtatuctbta 333 009yyb ddy tatbtc u tt 設(shè)設(shè)則則代入方程代入方程得出得出所以得所以得 009yy 即即 03033bcaba 993cba即即數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述（1）將）將x(t)代入微分方程，得代入微分方程，得 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 例例方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是 ，因而有，因而有 t 22d( )( )( )( )dd( )( )( )d( )( )y tatbtc u tty tatb u

30、tty ta u t )00( t 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 代入微分方程代入微分方程 432atbtc u tatb u ta u ttt (2)142430abacba 求得求得 2222001dd002dddd005ddyyayybttyyctt 狀狀態(tài)態(tài)為為要要求求的的 0因而有因而有 010101d0211dyyyt 例例LTIS( )4 ( )3 ( )2 ( )2 ( )( )( ),(0 )1, (0 )1,yty ty tx tx tx ttyy 某某的的微微分分方方程程為為已已知知求求全全響響應(yīng)應(yīng)。212312312(2)()( )4301,3( )(

31、 )( )( )2/30(3)(0 ), (0 )( )( ),0,( )4 ( )3 ( )2 ( )2( )htthphtty ty tc ec ey tyty tc ec etyyx tttyty ty ttu t 求求自自由由響響應(yīng)應(yīng)齊齊次次解解特特征征方方程程為為所所以以系系統(tǒng)統(tǒng)全全解解為為求求初初始始條條件件將將代代入入微微分分方方程程 在在時(shí)時(shí)刻刻 微微分分方方程程為為2.22.2零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)(Natural+forced)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響

32、應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Transient+Steady-state) 也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。 形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。 是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t 增加，它將消失。增加，它將消失。 由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。響應(yīng)分量。 沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作

33、用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。 不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。 (1)(1)自由響應(yīng)：自由響應(yīng)：(2)(2)暫態(tài)響應(yīng)：暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：(3)(3)零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：各種系統(tǒng)響應(yīng)定義各種系統(tǒng)響應(yīng)定義2.2.12.2.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是在初始狀態(tài)不為零而輸入為零時(shí)零輸入響應(yīng)是在初始狀態(tài)不為零而輸入為零時(shí)的響應(yīng)。的響應(yīng)。由于輸入為零，系統(tǒng)

34、微分方程為齊次方程，零由于輸入為零，系統(tǒng)微分方程為齊次方程，零輸入響應(yīng)解的形式與齊次解的形式相同。輸入響應(yīng)解的形式與齊次解的形式相同。是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。式中式中initizictectyi0)(1 激勵(lì)信號(hào)的影響。激勵(lì)信號(hào)的影響。有關(guān)，還會(huì)受到有關(guān)，還會(huì)受到不僅與系統(tǒng)的初始狀態(tài)不僅與系統(tǒng)的初始狀態(tài)關(guān)；而齊次解中的系數(shù)關(guān)；而齊次解中的系數(shù)與激勵(lì)信號(hào)無與激勵(lì)信號(hào)無與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，零輸入響應(yīng)中的系數(shù)僅零輸入響應(yīng)中的系數(shù)僅數(shù)卻不同。數(shù)卻不同。然形式相同，但待定系然形式相同，但待定系零輸入響應(yīng)與齊次解雖零輸入響應(yīng)與齊次解雖。待定系數(shù)待定系數(shù)來確定零輸入響應(yīng)中的來確定零輸入響

35、應(yīng)中的，態(tài)態(tài)時(shí)，可由系統(tǒng)的初始狀時(shí)，可由系統(tǒng)的初始狀因此，在求零輸入響應(yīng)因此，在求零輸入響應(yīng)所以所以的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，到到外界激勵(lì)，系統(tǒng)從外界激勵(lì)，系統(tǒng)從在零輸入狀況下，沒有在零輸入狀況下，沒有ijjzizicyyyjyyyytt)0( ),0( ),0(), 2 , 1()0()0()0()0(00)()( 某某LTILTI系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 y y(t)+5y(t)+5y(t)+4y(t)=e(t)(t)+4y(t)=e(t)已知已知y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2。試求該系統(tǒng)零輸入響應(yīng)。試求該系統(tǒng)零輸入響應(yīng)y yzizi(

36、t)(t)。例例 由微分方程可得特征方程為由微分方程可得特征方程為 2 2+5+5+4=0+4=0求得特征根為求得特征根為1 1=-1=-1，2 2=-4=-4。此系統(tǒng)零輸入響應(yīng)可寫為此系統(tǒng)零輸入響應(yīng)可寫為y yzizi(t)=C(t)=C1 1e e-t-t+C+C2 2e e-4t-4t t t0 0結(jié)合系統(tǒng)的初始狀態(tài)結(jié)合系統(tǒng)的初始狀態(tài)y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2，可得，可得121122(0)(0 )23 (0)(0 )411ziziyyCCCyyCCC 故此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為故此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為4( )30ttziyteet此例中，若激勵(lì)信號(hào)為此例

37、中，若激勵(lì)信號(hào)為 ，求齊次解。，求齊次解。有有 ( )( )e tt 22d( )( )( )dd( )( )d( )0y tatb u tty ta u tty t )00( t 22dd54ddy ty ty ttt t 代入微分方程代入微分方程 5atb u ta u tt 150aba 求得求得 2222000dd001dddd005ddyyyyattyybtt 狀狀態(tài)態(tài)為為要要求求的的 0因而有因而有 002d0112dyyyt 結(jié)合系統(tǒng)的初始條件結(jié)合系統(tǒng)的初始條件y y(0(0+ +)=2,y(0)=2,y(0+ +)=2)=2，可得，可得121122(0 )210/ 3(0 )4

38、24/ 3yCCCyCCC 故此系統(tǒng)的齊次解為故此系統(tǒng)的齊次解為4104( )033tthyteet 2.2.22.2.2零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即零狀態(tài)響應(yīng)是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(0y(0- -)= )= y y(0(0- -)= y)= y(0(0- -)=)= y= y(n-1)(n-1)(0(0- -)=0)=0，但激勵(lì)不，但激勵(lì)不為零時(shí)的響應(yīng)。為零時(shí)的響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)的微分方程是非齊次方程，解的本此時(shí)系統(tǒng)的微分方程是非齊次方程，解的本身包含齊次解和特解兩部分。身包含齊次解和特解兩部分。實(shí)際上，求解零狀態(tài)響應(yīng)就是求解系統(tǒng)初始實(shí)際上，求解零狀態(tài)響應(yīng)就是求解系

39、統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下的系統(tǒng)全響應(yīng)。狀態(tài)為零的條件下的系統(tǒng)全響應(yīng)。例例( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )( )( ), (0 )1,(0 )3( ),( )( )zizsyty ty txtx tx ttyyytyty t 某某線線形形時(shí)時(shí)不不變變系系統(tǒng)統(tǒng)的的微微分分方方程程為為已已知知。試試求求零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)和和全全響響應(yīng)應(yīng)12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)在在零零輸輸入入情情況況下下, ,此此時(shí)時(shí)微微分分方方程程為為齊齊次次方方程程

40、其其特特征征根根為為即即12112220(0 )(0 )1,(0 )(0 )3,(0 )15(0 )234( )540ttzityyyyycccycccyteet 由由于于激激勵(lì)勵(lì)為為零零，在在時(shí)時(shí)刻刻，初初始始條條件件不不可可能能發(fā)發(fā)生生跳跳變變所所以以即即故故零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)為為212212(2)( )(0 ) (0 )0( )( )( )( ),0( )1(0),( )(0)3( )3,0zszszsttzshpppttzsytyyytytytc ec eyttx ttytP tPytc ec et 求求零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)由由于于零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)是是在在系系統(tǒng)統(tǒng)初初始始狀狀態(tài)態(tài)

41、為為零零，而而僅僅考考慮慮由由激激勵(lì)勵(lì)引引起起的的響響應(yīng)應(yīng)，即即。零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)包包含含齊齊次次解解和和特特解解，即即由由于于激激勵(lì)勵(lì)信信號(hào)號(hào)設(shè)設(shè)代代入入原原微微分分方方程程，可可得得故故(0 ), (0 )0( )3 ( )2 ( )2 ( )6( )( )( )( )( )2( )( )( ),6( )( )20(0 )(0 )22, (0 ) (0 )66zszszszszszszyytyty ty ttu tytatbtc u tay tatb u tby ta u tcyyyyy 求求初初始始條條件件系系統(tǒng)統(tǒng)在在時(shí)時(shí)刻刻的的微微分分方方程程為為取取代代入入微微分分方方程程得得因

42、因此此故故1211222(0 )328 (0 )267( )873,0szsttzscccycccyteet 因因此此例例12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)在在零零輸輸入入情情況況下下, ,此此時(shí)時(shí)微微分分方方程程為為齊齊次次方方程程其其特特征征根根為為即即處處的的條條變變量量。，故故需需要要求求、始始狀狀態(tài)態(tài)系系統(tǒng)統(tǒng)初初零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)，必必須須知知道道兩兩方方面面的的影影響響，而而要要求求激激勵(lì)勵(lì)中中包包含含系系統(tǒng)統(tǒng)初初始始狀狀態(tài)態(tài)和和、已已知知條條件件中中的的0)

43、0( )0()0( )0( tyyyy)()783()()2(2teetyttzs ，即，即所以零狀態(tài)響應(yīng)也相同所以零狀態(tài)響應(yīng)也相同全相同，全相同，程與激勵(lì)信號(hào)與上例完程與激勵(lì)信號(hào)與上例完由于此例題中的微分方由于此例題中的微分方零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值 決定的初始值求出決定的初始值求出待定系數(shù)。待定系數(shù)。 0 0yy和和 系統(tǒng)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由非齊次解，由 為零決定的初始值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

44、求出待定系數(shù)。 0 0yy 和和 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出出卷積積分法卷積積分法。 t 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) th x t th y t系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即 y tx th t 求解過程分析求解過程分析2.3.1 2.3.1 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為單位沖激信號(hào)當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為單位沖激信號(hào)(t)時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位沖激響應(yīng)，簡稱為沖激響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位沖激響應(yīng)，簡稱為沖激響應(yīng)，常用常用“h(t)”表示。表示。沖激響應(yīng)沖激

45、響應(yīng)h(t)反映了系統(tǒng)的特性，同時(shí)也是利用卷反映了系統(tǒng)的特性，同時(shí)也是利用卷積積分進(jìn)行系統(tǒng)時(shí)域分析的基礎(chǔ)。積積分進(jìn)行系統(tǒng)時(shí)域分析的基礎(chǔ)。 2.32.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)（1 1）抽樣性）抽樣性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微積分性質(zhì)）微積分性質(zhì)d ( )( )dttt ( )d( )tt （5 5）沖激偶）沖激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf （6 6）卷積性質(zhì)）卷

46、積性質(zhì) tfttf 沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié) 1()atta a 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是指線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵(lì)為單位沖激信系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵(lì)為單位沖激信號(hào)號(hào) 作用下的響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，作用下的響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，且用且用 表示。表示。)(t )(thH t th( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0h tnnnmmmmnytayta y ta y tb xtbxtb x tb x tx tttt 對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè) 階階線線形形時(shí)時(shí)不不變變系

47、系統(tǒng)統(tǒng)，其其數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型為為將將代代入入微微分分方方程程，則則方方程程右右側(cè)側(cè)是是及及其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的線線形形組組合合。在在時(shí)時(shí)方方程程右右側(cè)側(cè)恒恒等等于于零零，因因此此，沖沖激激響響應(yīng)應(yīng) ( )( )的的表表達(dá)達(dá)式式與與齊齊次次解解的的形形式式相相同同。101( )0( )() ( )( )( )() ( )( )(),iintiintiijinmh tC etnmh tCtC etnmtjmnC C 若若系系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程的的特特征征根根為為單單根根，則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,除除了了有有指指數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)和和沖沖激激函函數(shù)數(shù)外外，還還有有沖沖激激函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)

48、數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)。為為待待定定系系數(shù)數(shù)，他他的的求求法法有有兩兩種種，第第一一種種為為比比較較系系數(shù)數(shù)法法（或或稱稱待待定定系系數(shù)數(shù)法法）。( )5 ( )6 ( )3 ( )2 ( )( )yty ty tx tx th t 系系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程為為試試求求其其沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)例例。121212112223( )( )() ( )(32) ( )3 ( )2 ( )343227( )( 47) ( )ttx ttcctcctttcccccch teet 將將上上三三式式和和代代入入原原微微分分方方程程，整整理理得得所所以以，解解得得因因此此(1)( )( )( )( ),( )0(0 )(0

49、 )(0 )(0 )inh th tx ttCh tthhhh 上上面面介介紹紹的的求求解解沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)的的方方法法為為待待定定系系數(shù)數(shù)法法。我我們們還還可可以以使使用用上上節(jié)節(jié)介介紹紹的的求求解解零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)的的方方法法，這這是是因因?yàn)闉闆_沖激激響響應(yīng)應(yīng)是是系系統(tǒng)統(tǒng)在在激激勵(lì)勵(lì)時(shí)時(shí)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)。為為確確定定沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)中中的的待待定定系系數(shù)數(shù)需需要要知知道道在在時(shí)時(shí)刻刻的的起起始始值值、。(1)(1)(0 )(0 )(0 )0( ), ( )00(0 )(0 )(0 )(0 )nnhhhth thhhh 因因?yàn)闉闆_沖激激響響應(yīng)應(yīng)是是零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)，故故有有。

50、由由于于沖沖激激信信號(hào)號(hào)的的加加入入及及其其各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有可可能能在在發(fā)發(fā)生生跳跳變變，則則起起始始值值、 、就就等等于于其其跳跳變變值值。121122( )( )( )( )3( )( )( ),13( )( )47(0 )(0 )33, (0 )(0 )1313(0 )3, (0 )13,(0 )34(0 )23137( )htatbtc u tah tatb u tbh ta u tchhhhhhhCCChCCCh t 取取可可得得所所以以根根據(jù)據(jù)初初始始條條件件可可得得因因此此32(74) ( )tteet 2.3.2 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)e(t)e(t)為單位階

51、躍信號(hào)為單位階躍信號(hào)(t)(t)，系統(tǒng)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響的零狀態(tài)響應(yīng)稱作單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，常用應(yīng)，常用“g(t)g(t)”表示表示。 -( ):(1)( )( ),( )(2)( )( ),( )( ),( )( )-ttg tx ttg ttdg thdg th tt 在在時(shí)時(shí)域域中中常常用用的的求求解解階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)的的方方法法主主要要有有兩兩種種在在時(shí)時(shí) 求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)，得得到到。因因?yàn)闉楦鶕?jù)據(jù)線線形形系系統(tǒng)統(tǒng)的的積積分分性性質(zhì)質(zhì)，有有即即階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)是是沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)從從的的積積分分。例例。的的階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)求求系

52、系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程為為)()(2)( 3)(6)( 5)( tgtxtxtytyty 031)(3126)()(01)(32)()(1322121 teCeCtgPPPtyPtyttxttxttpp所所以以代代入入原原方方程程中中，得得將將。），所所以以設(shè)設(shè)特特解解（因因?yàn)闉榧ぜ?lì)勵(lì)。、根根為為根根據(jù)據(jù)微微分分方方程程求求得得特特征征時(shí)時(shí)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)。：求求激激勵(lì)勵(lì)方方法法 )()31372()(031372)(372332)0( 031)0()(3)0( 0)0(3)0( )0( 0)0()0(1330)()()( )()()( )(2)(3)(6)( 5)( 0323221

53、2121teetgteetgCCCCgCCgtgyyayyyybatytuatytubtatytuttytytyttttt 或?qū)憺榛驅(qū)憺楣使实谋磉_(dá)式中，得的表達(dá)式中，得代入階躍響應(yīng)代入階躍響應(yīng)，將將，得得設(shè)設(shè)為為時(shí)刻，系統(tǒng)的微分方程時(shí)刻，系統(tǒng)的微分方程考慮考慮0)23731(| )237()47()()47()()()()()47()(2230230232323 teeeedeedeetgdhtgteethtttttttt 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)榻y(tǒng)的沖激響應(yīng)為統(tǒng)的沖激響應(yīng)為由前面的例子已得到系由前面的例子已得到系響應(yīng)之間的關(guān)系求解。響應(yīng)之間的關(guān)系求解。：利用階躍響應(yīng)與沖激：利用階躍響應(yīng)與沖激方法方法

54、)()()()()()(00)(00)(0ttgtgtththttgttht 為為中中的的充充分分必必要要條條件件改改寫寫也也可可把把因因果果系系統(tǒng)統(tǒng)在在時(shí)時(shí)域域或或響響應(yīng)應(yīng)）等等于于零零，即即時(shí)時(shí)，沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)（或或階階躍躍當(dāng)當(dāng)表表示示為為，系系統(tǒng)統(tǒng)的的充充分分必必要要條條件件可可例例如如，一一個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)是是因因果果征征系系統(tǒng)統(tǒng)的的某某些些特特性性。應(yīng)應(yīng)來來表表利利用用沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)或或階階躍躍響響在在系系統(tǒng)統(tǒng)理理論論研研究究中中，常常2.42.4卷積積分卷積積分2.4.12.4.1卷積的定義卷積的定義號(hào)號(hào)。的的時(shí)時(shí)間間信信分分結(jié)結(jié)果果仍仍為為關(guān)關(guān)于于為為虛虛設(shè)設(shè)的的積積分分變變量量

55、，積積式式中中，即即的的卷卷積積可可簡簡記記為為與與”表表示示卷卷積積運(yùn)運(yùn)算算。的的卷卷積積，常常用用符符號(hào)號(hào)“與與定定義義為為時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)，我我們們將將積積分分上上的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)是是定定義義在在時(shí)時(shí)間間區(qū)區(qū)間間與與設(shè)設(shè)tdtfftftftftftftftftfdtfftftf )()()(*)()(*)()()(*)()()()(),()()(212121212121210)()()(*)()()()()()(*)(0)(0)()()()(*)(0)(0)(02121212121120212111 tdtfftftftftfdtfftftfttftttfdtfftftfftftt

56、均均為為因因果果信信號(hào)號(hào)，則則有有和和如如果果即即，限限可可以以改改寫寫為為，故故卷卷積積積積分分的的積積分分上上時(shí)時(shí)，即即為為因因果果信信號(hào)號(hào)，由由于于如如果果可可以以改改寫寫為為零零，即即故故卷卷積積積積分分的的積積分分下下限限，時(shí)時(shí)，為為因因果果信信號(hào)號(hào)，由由于于如如果果)(*)()(2)()()(21221tftftetftetftt，求，求，已知信號(hào)已知信號(hào) 例例 dtfftftft 02121)()()(*)(21212( )( )( )( )( )*( )tf tetfttf tft 已已知知，求求例例12120202( )*( )( )()11(1) ( )2tttf tftf

57、ftdedet 2.4.2卷積運(yùn)算的圖形解釋卷積運(yùn)算的圖形解釋 用圖解法直觀，尤其是對(duì)于分段函數(shù)，用圖形分段求用圖解法直觀，尤其是對(duì)于分段函數(shù)，用圖形分段求出定出定積分限積分限尤為方便準(zhǔn)確。尤為方便準(zhǔn)確。 d21 tfftf ),()(. 111積積分分變變量量改改為為ftf22222.( )( )()()ftffft 倒倒置置平平移移)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘積的積分：乘積的積分：5(- ,),2 3 4t 、令令變變量量 在在范范圍圍內(nèi)內(nèi)變變化化 重重復(fù)復(fù) 、步步操操作作，最最終終得得到到卷卷積積結(jié)結(jié)果果()tt | |00ttt 對(duì)對(duì) 平平移

58、移，右右移移，左左移移表表達(dá)達(dá)式式，畫畫出出波波形形寫寫出出總總的的卷卷積積結(jié)結(jié)果果函函數(shù)數(shù). 6)(*)()()()(),3()()(2121tftftytetftttft ，求求 Ot tf21O 2f1 t tt例例 1fO13Ot tf113O tf21t兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftfty0 tt 0t tf2 向向右右移移 tf2 時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限積分下限0 0，上限，上限t ，t 為移動(dòng)時(shí)間為移動(dòng)時(shí)間;0 t d)()()(201

59、tfftyt d10)( tte d0 tteete 103t tf2 3)1(30100)(3teetettytt卷積結(jié)果卷積結(jié)果Ot tf21Ot tf113Ot tf2323O 2f3 23O tf2233 tt t tt例例O 1f111 Ot tf1111 O 3/21 11浮動(dòng)坐標(biāo)：浮動(dòng)坐標(biāo)：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移動(dòng)的距離：移動(dòng)的距離t =0 f2(t- ) 未移動(dòng)未移動(dòng)t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 從從左左向向右右移移動(dòng)動(dòng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)到到從從 tft2, 1f-113 tt tf2浮動(dòng)坐標(biāo)浮動(dòng)坐標(biāo)O 1f111

60、 3 tt tf2兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftftg1 tt -1O 1f111 3 tt tf2 向向右右移移 tf2 時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限積分下限- -1，上限，上限t ，t 為移動(dòng)時(shí)間為移動(dòng)時(shí)間;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt-1 t 1O 1f111 3 tt tf2311tt 即即1t 2 tttg d21)(111 t 2O 1f111 3 tt tf2即即2 t 43131tt