第13講 最小方差調節(jié)器和自校正調節(jié)器

1、自適應控制篇自適應控制篇目錄(1/2)自適應控制篇自適應控制篇q 第10講 自適應控制概述q 第11講 最優(yōu)預報和自適應預報q 第12講 最小方差調節(jié)器和自校正調節(jié)器q 第13講 最小方差控制器與自校正控制器q 第14講 極點配置調節(jié)器與極點配置自校正調節(jié)器q 第15講 自校正PID調節(jié)器q 第16講 多變量自適應控制q 第17講 自適應信號處理與濾波q 第18講 模型參考自適應控制概述自適應控制篇自適應控制篇目錄(2/2)自適應控制篇自適應控制篇( (續(xù)續(xù)) )q 第19講 模型參考自適應系統(tǒng)的數學模型表示q 第20講 基于李氏穩(wěn)定性理論的狀態(tài)空間模型參考自適應控制q 第21講 基于李氏穩(wěn)定

2、性理論的輸入輸出方程模型參考自適應控制q 第22講 基于Popov穩(wěn)定性理論的狀態(tài)空間模型參考自適應控制q 第23講 神經網絡自適應控制第十二講 最小方差調節(jié)器和STR(1/3)第十二講第十二講 最小方差調節(jié)器和自校正調節(jié)器最小方差調節(jié)器和自校正調節(jié)器 被控系統(tǒng) 控制器 控制器參數計算 (自適應機構) 參數估計器 u(k) y(k) 圖 1 自校正控制方法原理 q 自校正調節(jié)器(Self-tuning Regulator, STR)最早是由Astrom和Wittenmark于1973年首先提出來的,其結構如圖1所示.第十二講 最小方差調節(jié)器和STR(2/3)q STR是以RLS參數估計方法在線

3、估計最優(yōu)預報模型,并在此基礎上以輸出方差最小為調節(jié)指標的一種可以適應參數未知或慢時變的自適應控制系統(tǒng). 當被估計參數收斂時,則根據估計參數而推得的輸出方差最小調節(jié)律將收斂于被控系統(tǒng)參數已知時的輸出方差最小調節(jié)律. 這時,這種調節(jié)律就是漸近最優(yōu)的了.q 欲討論參數未知時能調節(jié)系統(tǒng)輸出方差至最小的STR,需先引入參數已知時調節(jié)系統(tǒng)輸出方差最小的最小方差調節(jié)器.第十二講 最小方差調節(jié)器和STR(3/3)q 最小方差調節(jié)的基本思想是: 由于系統(tǒng)稱中信道存在著d步時滯,這就使得當前的控制作用u(k)要到d個采樣周期后才能對輸出產生影響. 因此,要獲得輸出方差最小,就必須對輸出量提前d步進行預報,然后根據

4、預報值來計算適當的調節(jié)作用u(k). 這樣,通過不斷的預報和調節(jié),就能始終保持輸出量的穩(wěn)態(tài)方差為最小.q 下面,我們將順序討論: 最小方差調節(jié)律最小方差調節(jié)律、 最小方差調節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題最小方差調節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題, STR,以及以及 最小方差調節(jié)與自校正調節(jié)的計算機仿真最小方差調節(jié)與自校正調節(jié)的計算機仿真.1 最小方差調節(jié)器(1/6)1 最小方差調節(jié)器最小方差調節(jié)器q 在最小方差調節(jié)器的研究中,所討論的被控系統(tǒng)的模型為A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k) 對該系統(tǒng),有如下關于其最小方差調節(jié)律的定理.q 定理定理1 對被控系統(tǒng)A(z-1)y(k)=B

5、(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k),假設1. 被控系統(tǒng)時滯時間d以及時滯算子z-1的多項式A、B和C的階次的上界以及系數都已知;2. 被控系統(tǒng)為逆穩(wěn)定系統(tǒng),即多項式B(z-1)的所有零點都在單位圓外;1 最小方差調節(jié)器(2/6)3. C(z-1)為穩(wěn)定多項式,即它的所有零點都在單位圓外;4. w(k)為白色噪聲序列,且Ew2(k)=2.那么,在最優(yōu)指標函數J=Ey(k+d)2 (1)下,其最小方差調節(jié)律和最小方差調節(jié)誤差分別為u(k)=-G/(BF)y(k) (2)y(k)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+.+fd-1w(k-d+1) (3)其中F和G滿足當P(z-1)=1時

6、的丟番圖方程,即C=AF+z-dG1 最小方差調節(jié)器(3/6)q 證明 設y(k+d/k)和y(k+d/k)分別為y(k+d)在k時刻的d步最優(yōu)預報和最優(yōu)預報誤差. 因此,被控系統(tǒng)輸出量的方差為 J=Ey(k+d)2=Ey(k+d/k)+y(k+d/k)2 =Ey(k+d/k)2+Ey(k+d/k)2+2Ey(k+d/k)y(k+d/k)最優(yōu)預報誤差y(k+d/k)與最優(yōu)預報y(k+d/k)統(tǒng)計無關且期望值為零 =Ey(k+d/k)2+Ey(k+d/k)2 Ey(k+d/k)2 (4) 要使(4)式所示的輸出量的方差為最小,即把上式的不等式取等式即可.因此,令y(k+d/k)=0可求得最優(yōu)調節(jié)

7、律.1 最小方差調節(jié)器(4/6) 當P=1,j=d時,由第十三講中的定理定理1可知,輸出y(k)的d步最優(yōu)預報和最優(yōu)預報誤差分別為y(k+d/k)=Gy(k)+BFu(k)/C (5)y(k+d/k)=Fw(k+d) (6) 故,系統(tǒng)的最小方差調節(jié)律為u(k)=-G/(BF)y(k) (7) 此時,最小方差調節(jié)誤差為y(k)=y(k/k-d)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+.+fd-1w(k-d+1)(證畢).1 最小方差調節(jié)器(5/6)q 對于Astrom的最小方差調節(jié)器,有兩種實現(xiàn)方法: 一為用數字器件實現(xiàn)的傳遞函數型控制器傳遞函數型控制器,如)()()()()(111kyzFz

8、BzGku另一為可用數字計算機實現(xiàn)的在線遞推計算型控制器在線遞推計算型控制器,如)(.) 1()(.)(1)()()()(10011nkukunkygkygkyzzGkungng1 最小方差調節(jié)器(6/6)q 例1 求解被控系統(tǒng)(1-0.9z-1)y(k)=0.5u(k-2)+(1+0.7z-1)w(k)的最小方差調節(jié)律.q 解 該算例與第十二講中的算例為同一被控系統(tǒng). 因此,由定理1和第十一講中求出的輸出y(k)的2步最優(yōu)預報式,可得如下最小方差調節(jié)律傳遞函數型控制器傳遞函數型控制器1z8 . 05 . 0)(44. 1)(kyku或在線遞推計算型控制器在線遞推計算型控制器u(k)=-2.8

9、8y(k)-1.6u(k-1)1 最小方差調節(jié)器(7/6) 此時的輸出誤差的方差為Ey(k+2)2=EFw(k+2)2=E(1+1.6z-1)w(k+2)2=(1+1.62)2=3.5622 最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(1/4)2 最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質q 由被控系統(tǒng)模型Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k)和最小方差調節(jié)律u(k)=-G/(BF)y(k)可得調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)框圖如圖2所示. 由圖2可以導出最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)方程 w(k) - + y(k) u(k) + z-dB A C A G BF 圖圖2 最小方差調節(jié)器系統(tǒng)框圖最小方差調節(jié)器系統(tǒng)

10、框圖 )8()(z)(/1/)(kwkwzkyddBGBFABFCBFABGAC2 最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(2/4) 因此,當B為穩(wěn)定多項式時,上式中分子和分母中的多項式B可以對消,于是利用恒等式(8)可得y(k)=Fw(k) (9)2 最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(3/4)q 不難看出,最小方差調節(jié)系統(tǒng)的實質,就是利用調節(jié)器(2)的極點去對消被控系統(tǒng)的零點. 實際上,由于 存在建模誤差使得系統(tǒng)模型的極點并不完全與實際系統(tǒng)的極點相等(即存在模型誤差), 且在控制過程中計算工具和計算方法存在計算誤差(如舍入誤差和截斷誤差)等原因,要能實現(xiàn)用調節(jié)器的極點去精確對消被控系統(tǒng)的零點而不至于產

11、生不穩(wěn)定的數值計算,這就要求B(z-1)的全部零點都在單位圓外,即要求系統(tǒng)具有逆穩(wěn)定的性質.2 最小方差調節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(4/4) 否則,閉環(huán)系統(tǒng)內部將隱含有不穩(wěn)定極點的環(huán)節(jié)使得閉環(huán)系統(tǒng)在受到外界擾動時不穩(wěn)定,或由計算機遞推計算控制量u(k)時由于計算誤差擴散使得系統(tǒng)的輸出y(k)和控制量u(k)不穩(wěn)定. 要求被控系統(tǒng)為逆穩(wěn)定系統(tǒng),對許多離散化的工程系統(tǒng)達不到,這就在一定范圍內限制了最小方差調節(jié)器的應用(對許多離散化過程,將增加臨界不穩(wěn)定的零點).3 STR(1/7)3 自校正調節(jié)器自校正調節(jié)器(STR)q 前面我們討論了被控系統(tǒng)在參數已知時的隨機離散系統(tǒng)的最小方差調節(jié)規(guī)律,而STR主要

12、解決被控系統(tǒng)參數未知或慢時變時的最小方差調節(jié)問題. 對STR問題,與自適應預報類似,亦有直接法直接法和間接法間接法. 所謂間接法間接法,即在每一控制(采樣)周期先系統(tǒng)模型,然后基于實時辨識模型求解丟番圖方程,計算最小方差調節(jié)律及相應的在線控制量. 所謂直接法直接法,則直接辨識系統(tǒng)的輸出預報模型,以避免在每一控制周期求解丟番圖方程和計算最小方差調節(jié)律.3 STR(2/7) 下面主要介紹STR的直接法. STR的基本思想如圖1所示. 下面,將討論Astrom和Wittenmark最初提出的STR算法.q 對被控系統(tǒng)Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k),Astrom和Wittenmark的STR算

13、法考慮的是C(z-1)=1時，即系統(tǒng)所受到的擾動可用白噪聲建模的輸出調節(jié)問題。 因此，系統(tǒng)輸出y(k)的最優(yōu)預報為：y(k+d)=y(k+d/k)+Fw(k+d) (10)3 STR(3/7)式中y(k+d/k)為如下最優(yōu)預報y(k+d/k)=Gy(k)+BFu(k) (11) 當被控系統(tǒng)的參數,即多項式A(z-1)和B(z-1)的系數未知時,則可根據(10)式的形式設定一個與k時刻系統(tǒng)輸入u(k)和輸出y(k)統(tǒng)計獨立的隨機擾動(k)=F(z-1)w(k). 因此,由(10)式和(11)式,有如下預報模型y(k+d)=G(z-1)y(k)+ (z-1)u(k)+(k+d) (13)其中 (z

14、-1)=B(z-1)F(z-1)=0+1z-1+.+ , n=nb+d-1 (14)nnz3 STR(4/7) 因此,由定理1可得如下最小方差調節(jié)律u(k)=-G/(BF)y(k)其中G和F滿足如下丟番圖方程1=AF+z-dGq 基于預報模型(13),類似于前一講中討論的自適應預報,我們可以遞推估計預報模型(13)的未知參數.3 STR(5/7)q 為了保證預報模型(13)在閉環(huán)下的參數可辨識性的要求,可以設定多項式 (z-1)的首項系數0為一合理的估計值0,則由式(13)可列寫出如下自回歸方程y(k+d)-0u(k)= (k) +(k+d) (15)其中g10)-(.) 1-()-(.)()

15、( . . - nkukunkykykggnngq 自回歸方程(15)的未知參數向量 可由如下帶遺忘因子的漸消記憶ELS法和SA法來估計:3 STR(6/7)一、一、 漸消記憶漸消記憶ELS法法)18()-(2)-()-()-(2)-() 1-()17(-1)2),-()-(1)-(-11)-()16()1-()-(-)-(-)()1-() 1-()(20dkkdkdkkkkdkkkkdkdkukykkkPPKIPPKIPK二、二、 SA法法)20(0(-1)-()-()2-(1)-()19()1-()-(-)-(-)() 1-()-() 1-()(0rdkdkkrkrkdkdkukykrdk

16、kk3 STR(7/7)q 基于參數向量 的在線估計值 (k)和最小方差調節(jié)律(12),有如下自校正調節(jié)律q 上述自校正調節(jié)器為保證閉環(huán)可辨識性，未辨識參數0，而是辨識其估計值。 可以證明，若0的估計值滿足:)21(/ )()()(0kkku2 /2/100則上述自校正調節(jié)律一樣可以收斂。3 STR(8/7)q 綜上所述,STR的基本算法步驟可總結如下:1. 確定被控系統(tǒng)模型的結構,并選定預報模型;2. 設定遞推參數初值 (0)和P(-1)(或r(-1)，以及0的估計值;3. 采樣獲取新的觀測數據y(k);4. 組成觀測數據向量 (k)5. 用漸消記憶的ELS法(或SA法)計算當前參數遞推估計

17、值;6. 由自校正調節(jié)律(21)計算控制作用u(k),并輸出控制作用u(k)到被控系統(tǒng);7. 將采樣次數加1,轉回到第3步繼續(xù)循環(huán).4 最小方差調節(jié)與最小方差調節(jié)與自校正調節(jié)的計算機仿真自校正調節(jié)的計算機仿真(1/1)4 4 最小方差調節(jié)與最小方差調節(jié)與自校正調節(jié)的計算機仿真自校正調節(jié)的計算機仿真q 下面分別討論 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)與與 自校正調節(jié)的計算機仿真自校正調節(jié)的計算機仿真4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(1/7)4.1 最小方差調節(jié)的最小方差調節(jié)的計算機仿真計算機仿真q 下面給出針對隨機線性離散系統(tǒng)(XARMA)A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-

18、d)+C(z-1)w(k)的最小方差調節(jié)仿真程序偽代碼.4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(2/7)4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(3/7)4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(4/7)4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(5/7)4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(6/7)q 仿真示例: 模型: 最優(yōu)預報中所介紹的例例1 系統(tǒng)方程(1-0.9z-1)y(k)=0.5u(k-2)+(1+0.7z-1)w(k) 白化后的噪聲信號w(k)v 均值 Ew(k)=0v 方差 Ew2(k)=2.

19、o 參數可用于控制噪聲信號的能量/噪信比. 控制要求: 試進行輸出y(k)的最小方差調節(jié),并對調節(jié)結果進行統(tǒng)計分析.4.1 最小方差調節(jié)最小方差調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(7/7) 仿真結果表1 計算機仿真結果4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(1/13)4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的的計算機仿真計算機仿真q 下面給出針對隨機線性離散系統(tǒng)(XARMA)A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+w(k)的自校正調節(jié)仿真程序偽代碼.4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(2/13)4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(3/13)4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(4/13)4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(5/13)4.2 自校正調節(jié)自校正調節(jié)的計算機仿真的計算機仿真(6/13)q 仿真示例: 模型: 最優(yōu)預報中所介紹的例例1