電磁場課件4 邊值問題、分離變量法、有限差分法

1、電介質(zhì)電介質(zhì)在外電場作用在外電場作用下發(fā)生下發(fā)生極化極化，形成有向排列的，形成有向排列的電偶極子，電偶極子， 并在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成并在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成極化電荷極化電荷。式中，式中， 為體積元為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，內(nèi)電偶極矩的矢量和，P 的方向從負(fù)極化電荷指向的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。正極化電荷。pV無極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化用用極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度 P 表示電介質(zhì)的表示電介質(zhì)的極化程度極化程度，即，即V0VpPlimC/m2電偶極矩體密度電偶極矩體密度1.2.2 1.2.2 靜電場中的電介質(zhì)靜電場中的電介質(zhì)1.2.3 1.2.3 電介質(zhì)中的靜電場電介質(zhì)中的

2、靜電場電介質(zhì)中的高斯定理應(yīng)寫為：電介質(zhì)中的高斯定理應(yīng)寫為：自由自由電荷電荷極化極化電荷電荷1()PSodqqES真空中的高斯定理為：真空中的高斯定理為：SVoqddVES當(dāng)有電介質(zhì)存在時(shí)，電場可看成是當(dāng)有電介質(zhì)存在時(shí)，電場可看成是自由電荷自由電荷和和極化電荷極化電荷共同在真空中引起的。共同在真空中引起的。+SEqqPPPVVSqdVdVd PPS0()SVddVEPS0DEPSVddVDS1()PSodqqESVqdV自由電荷：自由電荷：極化電荷：極化電荷：代入，得代入，得引入：引入：定義定義 D 為為電通量密度電通量密度，或電位移矢量，則，或電位移矢量，則高斯定律一般式為高斯定律一般式為n

3、電介質(zhì)中的高斯定律電介質(zhì)中的高斯定律011SVSoddVdESPS整理，得整理，得1.3 靜電場的基本方程靜電場的基本方程 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件1.3.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程靜電場是一個(gè)靜電場是一個(gè)無旋、有源場無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。，靜止電荷就是靜電場的源。數(shù)學(xué)模型為：數(shù)學(xué)模型為：環(huán)路定理環(huán)路定理0ldElSVddVDS0ED EDE高斯定律高斯定律積分形式積分形式微分形式微分形式引出計(jì)算量引出計(jì)算量電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 E 的環(huán)路線積分恒等于零。的環(huán)路線積分恒等于零。電通量密度電通量密度D的閉合面積分等于該面內(nèi)所包圍自由電荷的總電量。的閉合面積分等于

4、該面內(nèi)所包圍自由電荷的總電量。無旋場無旋場有源場有源場包圍點(diǎn)包圍點(diǎn) P 作高斯面作高斯面 ( )。0L1.3.2 分界面上的銜接條件（分界面上的銜接條件（邊界條件邊界條件)1. . D 的銜接條件的銜接條件SSDSDn2n1則有則有SdqDS根據(jù)根據(jù)媒質(zhì)分界面媒質(zhì)分界面n1n2DD分界面兩側(cè)的電通量密度分界面兩側(cè)的電通量密度 D 的法向分量不連續(xù)的法向分量不連續(xù)，其不連續(xù)量，其不連續(xù)量就等于分界面上的就等于分界面上的自由電荷密度自由電荷密度。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 電通量密度電通量密度 D 的法向分量連續(xù)。的法向分量連續(xù)。0n2n1DD2. E 的銜接條件的銜接條件圍繞點(diǎn)圍繞點(diǎn) P 作一矩形回路作一矩

5、形回路( )。 02LttEE12 E 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。0d llE根據(jù)01t21t1lElE則有媒質(zhì)分界面媒質(zhì)分界面分界面分界面兩側(cè)電場強(qiáng)度兩側(cè)電場強(qiáng)度 E 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)，即兩媒質(zhì)相交面切，即兩媒質(zhì)相交面切向方向電場強(qiáng)度向方向電場強(qiáng)度 E 相等相等。3. 折射定理折射定理2121tantan折射定律折射定律 n2n1DD t2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE分界面上分界面上 E 線的折射線的折射2n1n0DD在媒質(zhì)交界面上，若在媒質(zhì)交界面上，若 則，則，0它適用于無自由電荷分布的兩種電介質(zhì)分界面。0dlim0021ddlE4 4

6、、 的銜接條件的銜接條件設(shè)設(shè) P1 與與 P2 位于分界面兩側(cè)，位于分界面兩側(cè)， 0d21因此因此分界面電位連續(xù)分界面電位連續(xù)nn2211得得 電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)又由于又由于 ，n1n2DD電位的銜接條件電位的銜接條件nEDnED22n22n211n11n1,即即說明說明 （1）導(dǎo)體表面是等位面，）導(dǎo)體表面是等位面，E 線與導(dǎo)體表面垂直；線與導(dǎo)體表面垂直；導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面例例1 試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。 解解: : 分界面銜接條件分界面銜接條件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 ,

7、 const2n2t 0DE，導(dǎo)體中導(dǎo)體中 E0 ，分界面?zhèn)龋纸缑鎮(zhèn)龋?）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的 D 等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的 。解：忽略邊緣效應(yīng)解：忽略邊緣效應(yīng)1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq圖圖(a)圖圖(b)02211qSS2211 例例2 試求兩個(gè)平行板電容器的電場強(qiáng)度。試求兩個(gè)平行板電容器的電場強(qiáng)度。2211EE02211UdEdE平行板電容器平行板電容器 實(shí)際電工中經(jīng)常遇到的問題：實(shí)際電工中經(jīng)常遇到的問題： 給定空間某一區(qū)域內(nèi)的給定空間某一區(qū)域內(nèi)的電荷分布電荷分布（或無電荷），（或無電荷），同時(shí)給定該同時(shí)給定該區(qū)域邊界區(qū)域邊界

8、上的電位或電場（邊值，或稱邊上的電位或電場（邊值，或稱邊界條件），在這種條件下求該界條件），在這種條件下求該區(qū)域內(nèi)的電位或電場區(qū)域內(nèi)的電位或電場強(qiáng)強(qiáng)度分布。度分布。1.4 邊值問題、惟一性定理邊值問題、惟一性定理接地金屬槽的截面接地金屬槽的截面y100V例：例：試求長直接地金屬槽內(nèi)試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。電位的分布。 靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題 1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程2泊松方程泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子拉普拉斯算子 D02拉普拉斯方程拉普拉斯方程當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí)所有靜電場問題的求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋所有靜電場問題的

9、求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋求泊松方程或拉普拉斯方程的解的過程。求泊松方程或拉普拉斯方程的解的過程。DE1.4.2 邊值問題邊值問題（Boundary Problem)邊值邊值問題問題微分微分方程方程邊界邊界條件條件初始初始條件條件場域邊界條件場域邊界條件分界面銜分界面銜 接條件接條件 強(qiáng)制邊界條件強(qiáng)制邊界條件 有限值有限值lim0r自然邊界條件自然邊界條件 有限值有限值rrlim泊松方程泊松方程/2拉普拉斯方程拉普拉斯方程0221nn2211場域邊界條件場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件）第二類邊界

10、條件（諾依曼條件 Neumann)3）第三類邊界條件）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上導(dǎo)體的電位已知邊界上導(dǎo)體的電位)(|1sfs已知邊界上電位的法向?qū)?shù)已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度即電荷面密度 或或電力線電力線)(2sfnS)()3sfnS（例例1 試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。 解：根據(jù)場分布的對稱性解：根據(jù)場分布的對稱性確定計(jì)算場域，邊值問題確定計(jì)算場域，邊值問題022222yx（陰影區(qū)域）（陰影區(qū)域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx(

11、0,)0 xxby aEx 0),0(axbyy纜心為正方形的纜心為正方形的同軸電纜同軸電纜0)dd(dd122222rrrr)( ra通解通解43221021)( 16)(CrCrCrCrr例例2 求帶電球體產(chǎn)生的電位及電場。求帶電球體產(chǎn)生的電位及電場。解：采用球坐標(biāo)系解：采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程分區(qū)域建立方程邊界條件邊界條件arar21ararrr2010有限值01 r參考電位參考電位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar 體電荷分布的球體體電荷分布的球體 電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到得到ra

12、rararrar03222013)(0)3(6)(errrsin11eerarrrrr0301ee2泊松方程泊松方程E0E D所有靜電場問題的求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋求泊松方所有靜電場問題的求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋求泊松方程或拉普拉斯方程的解的過程。程或拉普拉斯方程的解的過程。(解二階偏微分方程解二階偏微分方程)DE微微分分方方程程邊邊界界條條件件外邊界條件外邊界條件內(nèi)分界條件內(nèi)分界條件 21nn2211)()3sfnS（環(huán)路定律環(huán)路定律高斯定律高斯定律靜靜電電場場定定解解問問題題小結(jié)：靜電場定解問題（邊值問題）小結(jié)：靜電場定解問題（邊值問題）靜靜電電場場定定解解問問題題靜靜電電場場定

13、定解解問問題題201.xdU A答案答案:（C ）反證法反證法1.4.3 惟一性定理（惟一性定理（Uniqueness Theorem)例例1.4.3 圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？惟一性定理惟一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定在靜電場中，滿足給定邊界條件邊界條件的的電位微分方程電位微分方程的的解是惟一解是惟一的。的。002.UxdU B003.UxdU C平板電容器外加電源平板電容器外加電源U0電磁場問題求解 電磁場問題可以分為電磁場分析（正問題）、逆問題（含優(yōu)化設(shè)計(jì)問題）和電磁場工程三個(gè)部分。求解電磁場問題的方法，歸納起來可分為三大類，分別是解

14、析法、數(shù)值法和半解析數(shù)值法。 數(shù)值計(jì)算方法包括有限元法（FEM）、時(shí)域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和邊界元法等 ；解析法包括積分法、分量變量法、鏡像法、電軸法等 ；半解析數(shù)值法是解析法和數(shù)值法的綜合。1.5 分離變量法分離變量法 分離變量法采用正交坐標(biāo)系，將分離變量法采用正交坐標(biāo)系，將變量分離變量分離后得到微分方程后得到微分方程的的通解通解， 當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)積分常數(shù)，得到邊值問題的解。，得到邊值問題的解。1.5.1 解題的一般步驟：解題的一般步驟：2 2）分離變量，將偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程；）

15、分離變量，將偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程；3 3）解常微分方程，并疊加得到通解；）解常微分方程，并疊加得到通解；1 1）寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；）寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；4 4）利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的特解。）利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的特解。 只含有一個(gè)變量的微分方程，采用只含有一個(gè)變量的微分方程，采用積分法積分法求解。含有兩個(gè)求解。含有兩個(gè)變量的微分方程，可以采用變量的微分方程，可以采用分量變量法分量變量法求解。求解。例例1.5.1 試求長直接地金屬槽內(nèi)試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。電位的分布。 解解: : 1 1）確定）確定邊值問題

16、邊值問題1.5.2 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0 , 00 , 022222（D 域內(nèi)）域內(nèi)）圖圖1.5.1 接地金屬槽的截面接地金屬槽的截面yxasin1002 2）分離變量）分離變量試探解試探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，則則- -分離常數(shù)分離常數(shù), ,220, 0 0 ,nnkk 和有22122212dd11ddxy 設(shè)設(shè)0dd1dd122222121yx代入微分方程得代入微分方程得222220 xy電位方程為電位方程為二階常系數(shù)

17、齊次方程二階常系數(shù)齊次方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1( )cossinnnnnxAk xBk x100( )xA xB200( )yC yD2( )nnnnyC shk yD chk y1( )nnjk xjk xxAeBe120000( , )( )( )()()x yxyA xBC yD即即 kn 為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)時(shí)，12( , )( )( )(cossin)()nnnnnnnnx yxyAk xBk x C chk yD shk y若若 ，20nk 若若 ，20nk ()(cossin)nnnnnnn

18、nA chk xB shk x Ck yDk y若若 ，20nk 2( )nnk yk yyCeDesinh( )2cosh( )2xxxxeexeex3 3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4 4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。 00B sinsin0nnnnnBDk aFk a (1,2,3)nnkna0)0000axyaA左側(cè)0)00000nbyxaCC底) 00cxaya右側(cè)yanshxanFyx1nn)sin(),(圖圖1.5.1 接地金屬槽的截面接地金屬槽的截面y

19、xasin100)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx通解1sin()(ch()sh()nnnnnnnBk x Ck yDk y( , )x y 沿沿 x方向作正弦變化，知方向作正弦變化，知0nnnABA題設(shè)題設(shè)1sin()sh()nnnnnB Dk xk yayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比較系數(shù)求常數(shù)比較系數(shù)求常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1n)sh()sin(sh100),(yaxayx

20、當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1n100sh1Fsh1001F1( , )sin()sh()nnnnx yFxyaa等式無法成立！等式無法成立！若金屬槽蓋電位若金屬槽蓋電位 ，再求槽內(nèi)電位分布？，再求槽內(nèi)電位分布？0U通解通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式兩端同乘以等式兩端同乘以 ，然后從，然后從 積分積分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式左式 )cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00mmaUm當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0Uay 右式右式 nm

21、EaxxanEnmnn 2d )(sin 02a0代入式代入式（1）)sh(2220nFaEamaUnn代入通解代入通解)sh()sin(sh14),(10yanxannnUyxnn奇數(shù)奇數(shù)1,3,5,. sh40nmnnUFn圖圖1.5.3 接地金屬槽內(nèi)接地金屬槽內(nèi)的等位線分布的等位線分布 解：解：1 1）取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題）取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性0)2,( ),(),(及 例例1.5.2 垂直于均勻電場垂直于均勻電場 E 放置放置一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒 ， 試求試求圓

22、柱內(nèi)外圓柱內(nèi)外 和和 E 的分布。的分布。 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒自然邊界條件自然邊界條件當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0n000000)( ln)(DCBAR，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )(，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn 代入方程整理代入方程整理 分離變量分離變量, ,設(shè)設(shè) )()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(0000DCBA3 3）通解）通解0dddd2222RnRR拆分為兩個(gè)方程拆分為兩個(gè)方程0dd222n2）根據(jù)根據(jù) （自然邊界條件），得（自然邊界條件），得cos01E當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1n，

23、EABA100，0nBEnnncoscos),(11根據(jù)根據(jù) 0 ， 00002nBBA12cos),(nnnnA4 4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)利用給定邊界條件確定積分常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解通解根據(jù)根據(jù)),(),(0, 00nDC得到得到比較系數(shù)比較系數(shù)121011)( AaBEaAaBEa和當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，An=Bn= 0， 則最終解則最終解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面由分界面 的銜接條件，得的銜接條件，得a

24、cos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EEaEaesin)()(12020 xxExeeE002222a0介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場 eEcos)()(1202011Ea求電場強(qiáng)度求電場強(qiáng)度E1.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式Fyx2222（1）二維靜電場邊值問題二維靜電場邊值問題 基本思想基本思想：將場域離散為許多：將場域離散為許多網(wǎng)格網(wǎng)格 ，應(yīng)用，應(yīng)用差分原差分原理理，將求解連續(xù)函數(shù)，將求解連續(xù)函數(shù) 的的微分方程微分方程問題轉(zhuǎn)換為求解問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上 的的代數(shù)方程代數(shù)

25、方程組的問題。組的問題。（2）)(LfL1.6.1 有限差分的網(wǎng)格分割有限差分的網(wǎng)格分割通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格, ,網(wǎng)格線之間的距離為網(wǎng)格線之間的距離為 h , ,節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,40,1,2,3,4上的電位分別用上的電位分別用 表示。表示。 01234, 令令 h = x - x0，將，將 x = x1 和和 x3 分別代入式分別代入式 ( 3 ) 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式由式（4）+（5）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理同理, ,沿沿 x方向在方向在 x0 處的泰勒公式展開為處的泰勒公式展開為2043214Fh當(dāng)場域中當(dāng)場域中00404321 若場域離散為矩形網(wǎng)若場域離散為矩形網(wǎng)格格, 寬寬h1高高h(yuǎn)2，差分格式為，差分格式為13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2 矩形網(wǎng)格剖分矩形網(wǎng)格剖分五點(diǎn)差分格式五點(diǎn)差分格式20將式將式(6)、式、式(7)代入式代入式 ，得到，得到Fyx2222)(41243210Fh即即應(yīng)用五點(diǎn)差分格式構(gòu)建方程組應(yīng)用五點(diǎn)差分格式構(gòu)建方程組右圖，對該區(qū)