電磁場與電磁波第四章時變電磁場

1、第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波2 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 電磁場波動方程電磁場波動方程 4.2 時變電磁場的矢量位和標(biāo)位時變電磁場的矢量位和標(biāo)位 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 4.4 唯一性定理唯一性定理 4.5 簡諧電磁場簡諧電磁場第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波34.1 電磁場波動方程電磁場波動方程 在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無源區(qū)域中電磁場波動方程無源區(qū)域中電磁場波動方程 波動方程波動方程 二二階矢量微分方程，階矢

2、量微分方程，揭示電磁場的波動性。揭示電磁場的波動性。 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關(guān)系。間的相互作用關(guān)系。 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程。波動方程。0222tHH0222tEE電磁場波動方程電磁場波動方程第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波40222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推證推證 問題：問題： 在有源空間，電磁場波動方程的形式怎樣？在有源空間，電磁場波動方程的形式怎樣？真空無源區(qū)域中電磁場波動方程：真空無源區(qū)域中電磁場波動方程：222210E

3、Ect001c 注意：注意：該方程適用于真空中的一切電磁波，而不該方程適用于真空中的一切電磁波，而不只適用于只適用于“簡諧波簡諧波”，也不只適用于，也不只適用于“平面波平面波”。 一般電磁波中有多種頻率成份，也就是說，一般電磁波中有多種頻率成份，也就是說，復(fù)雜電磁波應(yīng)該是多種簡諧電磁波疊加而成。復(fù)雜電磁波應(yīng)該是多種簡諧電磁波疊加而成。 電磁波的波陣面可能是各種各樣的。其中，電磁波的波陣面可能是各種各樣的。其中，最簡單、也是最常見的就是平面電磁波和球面電最簡單、也是最常見的就是平面電磁波和球面電磁波。磁波。 在討論靜電場和靜磁場問題時，分別引進(jìn)了在討論靜電場和靜磁場問題時，分別引進(jìn)了靜電場標(biāo)位和

4、磁矢位靜電場標(biāo)位和磁矢位。在靜電場中0EE在靜磁場中0 BAB 我們討論電磁波時所遇到的電場和磁場都是我們討論電磁波時所遇到的電場和磁場都是隨時間變化的。那么在隨時間變化的電磁場中，隨時間變化的。那么在隨時間變化的電磁場中，是否還可以使用標(biāo)位和矢位討論問題呢？是否還可以使用標(biāo)位和矢位討論問題呢？4.2 4.2 時變電磁場的矢位和標(biāo)位時變電磁場的矢位和標(biāo)位tAtBE所以矢位的定義不變矢位的定義不變。AB在變化的電磁場中0 B仍然成立。0)(tAEtAEBE場矢量場矢量A標(biāo)位矢位標(biāo)位矢位1.1.時變電磁場中矢位和標(biāo)位的定義時變電磁場中矢位和標(biāo)位的定義tAE2. 電磁場的規(guī)范變換不變性電磁場的規(guī)范變

5、換不變性tAAAEtAtAEBAAB稱為稱為規(guī)范變換規(guī)范變換 因此，為了確定矢位和標(biāo)位，必須增加約束因此，為了確定矢位和標(biāo)位，必須增加約束條件，而且條件，而且附加約束條件的選擇并不是唯一的。選附加約束條件的選擇并不是唯一的。選擇擇不同的附加約束條件，稱為不同的規(guī)范不同的附加約束條件，稱為不同的規(guī)范。（1）庫侖規(guī)范）庫侖規(guī)范附加約束條件：0 A 上式顯示：電場的無旋分量和無散分量徹底電場的無旋分量和無散分量徹底分開分開。電場的無旋分量是電荷產(chǎn)生的，無散分量是交變磁場產(chǎn)生的，屬于渦旋電場。tAE根據(jù)定義：（2）洛侖茲規(guī)范）洛侖茲規(guī)范附加約束條件：012tcA)(22000000tAtJtEJBAA

6、AB2)()(JJtcAtAcA002222211)(3. 時變電磁場中矢位和標(biāo)位的微分方程時變電磁場中矢位和標(biāo)位的微分方程洛倫茲規(guī)范條件洛倫茲規(guī)范條件02AtE2221tcAt022221tcJtAcA022221達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程 洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是矢位和標(biāo)位所滿足的方洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是矢位和標(biāo)位所滿足的方程具有對稱形式，這在電磁場理論中非常重要。程具有對稱形式，這在電磁場理論中非常重要。)(22000000tAtJtEJBAAAAB22)()(JttAcA00022221）（庫侖規(guī)范條件庫侖規(guī)范條件02AtE02庫侖規(guī)范條件下標(biāo)位和矢位的微分方程庫侖規(guī)范條件下標(biāo)位和矢位的微分方程

7、庫侖規(guī)范的最大優(yōu)點(diǎn)是標(biāo)位所滿足的微分方庫侖規(guī)范的最大優(yōu)點(diǎn)是標(biāo)位所滿足的微分方程與靜電位的微分方程相同，比較容易求解。程與靜電位的微分方程相同，比較容易求解。庫侖規(guī)范條件庫侖規(guī)范條件JttAcA00022221）（第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波144.3 電磁場能量守恒關(guān)系電磁場能量守恒關(guān)系 (第第2章中已講）章中已講） 玻印廷定理玻印廷定理 電磁場能量密度電磁場能量密度 玻印廷矢量玻印廷矢量第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波154.4 4.4 唯一性定理唯一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域?yàn)檫吔绲挠薪鐓^(qū)域V 中，中，如果如果給定給定t0 時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)

8、度時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，的初始值，并且當(dāng)并且當(dāng)t 0 時，給定邊界面時，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度或者磁場強(qiáng)度的切向分量已知上的電場強(qiáng)度或者磁場強(qiáng)度的切向分量已知，那么，在，那么，在 t 0 的的任何任何時刻，區(qū)域時刻，區(qū)域V 中的電磁場都由麥克斯韋方程組唯一確定。中的電磁場都由麥克斯韋方程組唯一確定。 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么邊界條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么邊界條件下，麥克斯韋方程的解才是唯一的呢？件下，麥克斯韋方程的解才是唯一的

9、呢？VS 問題的提出問題的提出 時變電磁場時變電磁場唯一性定理唯一性定理 唯一性定理指出了獲得唯一解所必須給定的邊界條件。唯一性定理指出了獲得唯一解所必須給定的邊界條件。 第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波16作業(yè)：作業(yè)：P189 4.7 4.9 第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波174. 5 簡諧電磁場簡諧電磁場 簡諧電磁場的麥克斯韋方程簡諧電磁場的麥克斯韋方程 簡諧場量的復(fù)數(shù)表示形式簡諧場量的復(fù)數(shù)表示形式 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 簡諧電磁場位函數(shù)的復(fù)矢量方程簡諧電磁場位函數(shù)的復(fù)矢量方程 場復(fù)矢量的亥姆霍茲方程場復(fù)矢量的亥姆霍茲方程 平均能量密度和平均能流密度平

10、均能量密度和平均能流密度第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波18 設(shè)設(shè) 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作余弦變化的場量，作余弦變化的場量，它可以是電場或磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變它可以是電場或磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的變化關(guān)系可以表示為：量，它與時間的變化關(guān)系可以表示為：( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj( )j0( , )ReeRe( )etrtA r tAA r其中其中j ( )0( )erA rA時間因子時間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中式中A0代表振幅、代表

11、振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。( )r 實(shí)數(shù)表示法實(shí)數(shù)表示法或稱瞬時表示法或稱瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅 簡諧場量的簡諧場量的復(fù)數(shù)表示形式復(fù)數(shù)表示形式4.5.1 簡諧電磁場的復(fù)數(shù)表示簡諧電磁場的復(fù)數(shù)表示第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示形式，不代表真實(shí)的場函數(shù)。復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示形式，不代表真實(shí)的場函數(shù)。這樣，矢量場的各分量這樣，矢量場的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示為：）可表示為： j( )jm( , )Re( )eReeitrtiiiE r tE rEjm( , )Re( )etE r tErj(

12、)j( )j( )mmmm( )( )e( )e( )eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er各分量合成以后，簡諧變化的電場強(qiáng)度可以表示為：各分量合成以后，簡諧變化的電場強(qiáng)度可以表示為： 有關(guān)復(fù)數(shù)表示形式的進(jìn)一步說明：有關(guān)復(fù)數(shù)表示形式的進(jìn)一步說明：復(fù)矢量復(fù)矢量 真實(shí)場函數(shù)是其復(fù)數(shù)式的實(shí)部，一般稱為場的瞬時表達(dá)式。真實(shí)場函數(shù)是其復(fù)數(shù)式的實(shí)部，一般稱為場的瞬時表達(dá)式。 由于時間因子是確定的，所以只寫出與坐標(biāo)有關(guān)的部分。由于時間因子是確定的，所以只寫出與坐標(biāo)有關(guān)的部分。 稱為該簡諧場的復(fù)矢量。稱為該簡諧場的復(fù)矢量。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波20例例4.5.1 將下列場矢

13、量的瞬時表達(dá)式寫為復(fù)數(shù)形式將下列場矢量的瞬時表達(dá)式寫為復(fù)數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz解：解：由于由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E所以所以第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波21mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 只要把微分算子只要把微分算子 用用 代

14、替，就可把麥克斯韋方程轉(zhuǎn)換為代替，就可把麥克斯韋方程轉(zhuǎn)換為簡諧電磁場復(fù)矢量之間的關(guān)系，而得到簡諧場的麥克斯韋方程。簡諧電磁場復(fù)矢量之間的關(guān)系，而得到簡諧場的麥克斯韋方程。jtjt 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)m4.5.2 簡諧電磁場的麥克斯韋方程簡諧電磁場的麥克斯韋方程第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波22實(shí)際的電磁媒質(zhì)都存在損耗：實(shí)際的電磁媒質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。 電介質(zhì)電介質(zhì)受到極化時，存在電極化損耗。受到極化時，存在電極化損耗。 磁介質(zhì)磁介質(zhì)受到磁化時，存在磁化損耗。受到磁化時，存在磁化損耗。 損耗大小與材料性質(zhì)

15、和電磁場頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)損耗大小與材料性質(zhì)和電磁場頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 cjj(j)j HEEEE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效電容率導(dǎo)電媒質(zhì)的等效電容率其中其中 c= j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效電容率電容率。 對于對于電容率電容率為為 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有的導(dǎo)電媒質(zhì)，有第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波23 有損耗電介質(zhì)的復(fù)有損耗電介質(zhì)的復(fù)電容率電容率 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)電容率同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)電容率

16、c j(+) 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率c j 對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)電容率電容率為為c j 對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為表示磁，其虛部為表示磁介質(zhì)的磁化損耗。介質(zhì)的磁化損耗。第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波24 損耗角正

17、切損耗角正切 材料按其導(dǎo)電性能的分類材料按其導(dǎo)電性能的分類tantan，電介質(zhì)電介質(zhì)tan，導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和絕緣體弱導(dǎo)電媒質(zhì)和絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體良導(dǎo)體 工程上通常用損耗角正切表示介質(zhì)損耗的大小，其定義為：工程上通常用損耗角正切表示介質(zhì)損耗的大小，其定義為：復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比。即有復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比。即有 不同材料的導(dǎo)電性能不同，同種材料在不同頻率下的導(dǎo)電性不同材料的導(dǎo)電性能不同，同種材料在不同頻率下的導(dǎo)電性能也有所不同。一般根據(jù)材料導(dǎo)電性能的差異做如下分類：能也有所不同。一般根據(jù)材料導(dǎo)電性能的差異做如下分

18、類：第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波25導(dǎo)電媒質(zhì)中導(dǎo)電媒質(zhì)中理想介質(zhì)中理想介質(zhì)中4.5.4 4.5.4 簡諧電磁波場量的波動方程簡諧電磁波場量的波動方程 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 在簡諧情況下，將在簡諧情況下，將 、 ，即可得到場即可得到場復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。222t tj 電磁波瞬時場量的波動方程電磁波瞬時場量的波動方程簡諧電磁波的波動方程簡諧電磁波的波動方程22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc() 22c22c00kkEEHH第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電

19、磁波264.5.5 4.5.5 簡諧電磁波位函數(shù)的波動方程簡諧電磁波位函數(shù)的波動方程 在簡諧情況下，矢量位和標(biāo)量位的定義式，以及它們滿足在簡諧情況下，矢量位和標(biāo)量位的定義式，以及它們滿足的方程都可以表示為復(fù)數(shù)形式。的方程都可以表示為復(fù)數(shù)形式。t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程瞬時位函數(shù)的定義瞬時位函數(shù)的定義位函數(shù)的復(fù)矢量表示式位函數(shù)的復(fù)矢量表示式j(luò) BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波274.5.6 簡諧電磁波的簡諧電磁波的平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度注意：簡諧場的二次式不能表示

20、為復(fù)數(shù)形式，不能采用場的注意：簡諧場的二次式不能表示為復(fù)數(shù)形式，不能采用場的 復(fù)矢量直接代入二次式進(jìn)行計算。復(fù)矢量直接代入二次式進(jìn)行計算。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr例如：某簡諧電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為例如：某簡諧電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為 簡諧場量的二次式，如電磁場能量密度和能流密度等。簡諧場量的二次式，如電磁場能量密度和能流密度等。j ( )0( )erE rEj ( )0( )erH rH其復(fù)矢量為：其復(fù)矢量為：j( )j( )jj00j2(0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )trtrtttr)trSEH

21、EHEHEH第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波28 簡諧電磁場中二次式的時間平均值簡諧電磁場中二次式的時間平均值 在簡諧電磁場中，常常要在簡諧電磁場中，常常要計算計算二次式二次式在一個時間周期在一個時間周期 T 中的中的 平均值。例如：平均值。例如：平均能流密度矢量平均能流密度矢量av0011d()dTTtEHtTTSS平均電場能量密度平均電場能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁場能量密度平均磁場能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在簡諧電磁場中，可采用在簡諧電磁場中，可采用復(fù)矢量計算復(fù)矢量計算二次式的二次式的時間平均值。時間平均值。av1Re() ,2EHSmav1Re()4wH Beav1Re() ,4wE D),(),(Re),(),(*trgtrftrgtrf21第第 4 章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波29則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 2av000000111()dcos ( )d2TTttrtTTSEHEHEH如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式表示，則有如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式表示，則有 j ( )0j ( )0( )e( )errE rEH rHjjavav001Re( e) Re(e)2ttSEHEH*av1Re()2SEHj ( )j ( )000011