第二章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理電子教案

1、2 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2.1 參數(shù)估計(jì)及其最優(yōu)性質(zhì)幾何模型：包括水準(zhǔn)網(wǎng)和平面控制網(wǎng)（包括測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)）。每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準(zhǔn)網(wǎng)中包括點(diǎn)的高程、點(diǎn)間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長、邊的坐標(biāo)方位角以及點(diǎn)的二維或三維坐標(biāo)等元素。這些元素都被稱為幾何量。在諸多幾何量中，有的可以直接測(cè)量，有的是間接求出。幾何模型不同，它所需要知道的元素的個(gè)數(shù)與類型也不同，目標(biāo)是確定幾何模型的唯一性。1.如圖2-1的三角形ABC中，為了確定它的形狀，只需要知道三個(gè)內(nèi)角中的任意兩個(gè)內(nèi)角的大小就可以了。它們都是同一類型的元素。2.要確定該三角形的大小和形狀，就必須知道三個(gè)不同的元素，即

2、任意的一邊兩角、任意的兩邊一角或者是三邊。它們中間都至少包含一條邊長該情況包含角度和邊長兩類元素。 3.要確定該三角形的大小、形狀和它在一個(gè)特定坐標(biāo)系中的位置和方向，則必須知道圖中15個(gè)元素（6個(gè)坐標(biāo)元素，3個(gè)內(nèi)角元素，3個(gè)邊長元素，3個(gè)方位角元素）中的6個(gè)不同的元素，這6個(gè)元素可以構(gòu)成更多的組合，至少要包含一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和一條邊坐標(biāo)方位角，它們的改變只相當(dāng)于整個(gè)網(wǎng)在坐標(biāo)系中發(fā)生了平移和旋轉(zhuǎn)，并不影響該三角形的內(nèi)部形狀和大小。如果A、B兩點(diǎn)都是已知點(diǎn)，為確定三角形的大小、形狀、位置和方向，則只需要任意兩個(gè)元素就行了，如兩角、兩邊或一邊一角等。我們把能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，稱為必要

3、觀測(cè)元素。必要觀測(cè)個(gè)數(shù)用t表示。例如，確定三角形的形狀，必要觀測(cè)元素個(gè)數(shù)t=2；確定三角形的大小和形狀，必要觀測(cè)元素個(gè)數(shù)t=3；確定三角形的大小、形狀、位置和方向，必要觀測(cè)元素個(gè)數(shù)t=6。對(duì)于后兩種情況，不僅要考慮必要觀測(cè)元素的個(gè)數(shù)，還要考慮到元素的類型，否則就無法唯一地確定模型。必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)用d表示，水準(zhǔn)網(wǎng)為1，測(cè)角網(wǎng)為4，測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)為3。觀測(cè)值個(gè)數(shù)用n個(gè)表示。當(dāng)nt時(shí)，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)測(cè)量中的粗差和錯(cuò)誤，提高觀測(cè)成果的精度和可靠性。令多余觀測(cè)個(gè)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱r為自由度。一個(gè)幾何模型能通過t個(gè)必要而獨(dú)立的量唯一的確定下來，當(dāng)模型中有r個(gè)多余觀測(cè)量，一定存在著r個(gè)這樣的函數(shù)關(guān)系式。例如在上

4、述2中，如果觀測(cè)了角度、，即n=3,t=2,則r=1,它們的真值之間存在如下關(guān)系式有r個(gè)多余觀測(cè)，就會(huì)有r個(gè)這樣的關(guān)系式（條件方程）。由于觀測(cè)不可避免地含有誤差，所以為了消除矛盾，通常用另一組被稱為“觀測(cè)值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）來代替觀測(cè)值，即稱為觀測(cè)值的改正數(shù)，未知數(shù)個(gè)數(shù)方程式個(gè)數(shù)，無數(shù)多組，所以問題的關(guān)鍵點(diǎn)是：在無數(shù)多組解中求得唯一的一組最優(yōu)改正數(shù)。測(cè)量平差的任務(wù)就是對(duì)參數(shù)（未知數(shù)）及其方差（協(xié)方差）進(jìn)行估計(jì)，即對(duì)平差數(shù)學(xué)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)）。由于多余觀測(cè)而產(chǎn)生的平差數(shù)學(xué)模型，都不可能直接解方程而求得唯一解，測(cè)量平差中的參數(shù)估計(jì)，就是要在無數(shù)多組解中，找

5、到一組最優(yōu)的解作為平差參數(shù)的最終估計(jì)，為此，必須對(duì)平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束條件，實(shí)現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解，其中最廣泛采用的平差準(zhǔn)則是最小二乘準(zhǔn)則。最優(yōu)估計(jì)量主要有以下3個(gè)性質(zhì)。1 一致性滿足的估計(jì)量為參數(shù)X的一致性估計(jì)量。2無偏性滿足則稱為X的無偏估計(jì)量。同時(shí)滿足則稱為X的嚴(yán)格一致性估計(jì)量。3 有效性具有無偏性的估計(jì)量并不唯一，但毫無疑問方差最小的估計(jì)量是最優(yōu)的。設(shè)有估計(jì)量1和2，如果D(1)D(2)，則稱1比2有效。其中D()=min，為X的最有效估計(jì)量，稱為最優(yōu)無偏估計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論證明，具有無偏性、最優(yōu)性的估計(jì)量一定是一致性估計(jì)量，所以測(cè)量平差中參數(shù)的最佳估計(jì)值要求是最優(yōu)無偏估計(jì)量

6、。2.2 最小二乘原理 在測(cè)量工作及其它科學(xué)工程領(lǐng)域，應(yīng)用最早也最廣泛的就是所謂的“最小二乘準(zhǔn)則”測(cè)量工作中習(xí)慣上用符號(hào)代替當(dāng)為非對(duì)角陣，表示觀測(cè)值相關(guān)，按進(jìn)行的平差稱為相關(guān)觀測(cè)平差。當(dāng)為對(duì)角陣，表示觀測(cè)值不相關(guān)，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)則可表示為純量形式，即特別地，當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān)且等精度時(shí)，權(quán)陣為單位陣，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)則可表示為 其實(shí)，估計(jì)的準(zhǔn)則有許多種，最小二乘準(zhǔn)則是其中的一種，還有一種常用的估計(jì)叫做最大似然估計(jì)，其概率分布密度函數(shù)為所謂極大似然估計(jì)，就是要在概率分布密度函數(shù)達(dá)到極大的條件下來對(duì)真誤差進(jìn)行估計(jì)。顯然，當(dāng)達(dá)到極小時(shí)，概率分布密度函數(shù)可取得極大值，仍用表示對(duì)的估計(jì)結(jié)果，即要求：相當(dāng)于顯然

7、，當(dāng)觀測(cè)向量服從正態(tài)分布時(shí)，極大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)的結(jié)果是一致的。例2-1 設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了次同精度獨(dú)立觀測(cè)，得觀測(cè)值，試按最小二乘準(zhǔn)則求該量的估計(jì)值。解：設(shè)該量的估計(jì)值為，誤差方程式為寫成矩陣形式按最小二乘準(zhǔn)則，顧及，得將上式對(duì)取一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得將代入上式得解得2.3 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述對(duì)象的某種特征或內(nèi)在的聯(lián)系，這種數(shù)學(xué)關(guān)系式就稱為數(shù)學(xué)模型。在研究任何平差方法時(shí)，平差數(shù)學(xué)模型由函數(shù)模型和隨機(jī)模型組成。1.函數(shù)模型函數(shù)模型是描述觀測(cè)量與待求量之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。不同的函數(shù)模型有與之對(duì)應(yīng)的平差方法。函數(shù)模型有理論模型與實(shí)用模型之分，理論模型中的待估量用表示，實(shí)

8、用模型中的待估量用表示。函數(shù)模型有線性與非線性之分，測(cè)量平差通常是基于線性函數(shù)模型，當(dāng)函數(shù)模型為非線性時(shí)總是要將其線性化。下面簡(jiǎn)述各種經(jīng)典平差方法的線性函數(shù)模型。1）條件平差法在圖中，觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角，n=3，t=2，則r=n-t=1,存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，也稱為條件方程，可以表示為令， ， 則上式為一般而言，如果有n個(gè)觀測(cè)值，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程，即如果條件方程為線性形式，則可以直接寫為將代入，并令則式即為條件平差的函數(shù)模型。以此模型為基礎(chǔ)的平差計(jì)算稱為條件平差法。2）間接平差法（參數(shù)平差法、坐標(biāo)平差法）一個(gè)幾何模型可以由t個(gè)獨(dú)立的必要觀測(cè)量唯一的確定下來，因此，平差時(shí)

9、若把這t個(gè)量都選作參數(shù)，即（這是獨(dú)立參數(shù)的上限），那么通過這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)就能唯一地確定該幾何模型。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此作為平差的函數(shù)模型的平差方法稱為間接平差。如圖三角形ABC中，觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角、，平差時(shí)選、為平差參數(shù)，即，共需列出個(gè)函數(shù)關(guān)系式，列立方法是將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，由圖知：方程的個(gè)數(shù)恰好等于觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。令，則可寫為一般而言，如果某一平差問題中,觀測(cè)值個(gè)數(shù)為，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為，再增選個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則總共應(yīng)列出個(gè)函數(shù)關(guān)系式，其一般形式為如果這種表達(dá)式為線性的，一般為將和代入上式，

10、并令則可寫為以上就是間接平差的函數(shù)模型。3）附有參數(shù)的條件平差法在平差問題中，設(shè)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則可以列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)又增設(shè)了個(gè)獨(dú)立量作為未知參數(shù)，且,每增加一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程，因此，共需列出個(gè)條件方程，以含有參數(shù)的條件方程為平差函數(shù)模型的平差方法，稱為附有參數(shù)的條件平差法。如圖2-2的三角形ABC中，觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角、，平差時(shí)選為平差參數(shù)，即，此時(shí)條件方程個(gè)數(shù)應(yīng)為個(gè)，它們可以寫成：令，則上式可寫成一般而言，在某一平差問題中,觀測(cè)值個(gè)數(shù)為，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為，再增選u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則總共應(yīng)列出個(gè)條件方程，其一般形式為如果條件方程是線性的，其形式為

11、將和代入上式，并令則得為附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型。4）附有限制條件的間接平差如果在某平差問題中，選取個(gè)參數(shù)，其中包含個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的個(gè)參數(shù)必定是個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，即在個(gè)參數(shù)之間存在著個(gè)函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)個(gè)，建立模型時(shí)，除了列立個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的個(gè)條件方程，以此作為平差函數(shù)模型的平差方法稱為附有條件的間接平差。其函數(shù)模型的一般形式為線性形式的函數(shù)模型為將和代入，并令則可寫為這就是附有條件的間接平差的函數(shù)模型。5） 附有條件的條件平差（綜合平差模型）上面幾種模型的建立，對(duì)參數(shù)的選擇都提出了相應(yīng)的要求，如：條件平差；附有參數(shù)的條件平差,且要求參數(shù)間獨(dú)立；間接平差,也要求

12、參數(shù)間獨(dú)立；附有條件的間接平差，要求包含個(gè)獨(dú)立參數(shù)。附有條件的條件平差的基本思想是：對(duì)于一個(gè)平差問題，若增選了個(gè)參數(shù)，不論、或是，也不論參數(shù)是否獨(dú)立，每增加一個(gè)參數(shù)則肯定相應(yīng)地增加1個(gè)方程，故方程的總數(shù)為個(gè)。如果在個(gè)參數(shù)中有個(gè)是不獨(dú)立的，或者說在這個(gè)參數(shù)中存在著個(gè)函數(shù)關(guān)系式，則應(yīng)列出個(gè)限制條件方程，除此之外再列出個(gè)一般條件方程，形成如下的函數(shù)模型若為線性形式，則為考慮到和，并令則可寫為這就是附有條件的條件平差的函數(shù)模型。2.平差的隨機(jī)模型對(duì)于上面介紹的五種基本平差方法的隨機(jī)模型，亦即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣式中 D為L的協(xié)方差陣；Q為L的協(xié)因數(shù)陣；P為L的權(quán)陣；為單位權(quán)方差。例2-2如圖水準(zhǔn)網(wǎng)中，點(diǎn)

13、為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，點(diǎn)為待定水準(zhǔn)點(diǎn)，觀測(cè)高差為。分別列出相應(yīng)的平差函數(shù)模型。1） 當(dāng)不選任何參數(shù)時(shí)，u=0；2） 若選點(diǎn)高程為未知參數(shù)時(shí)，u=2；3） 若僅選點(diǎn)高程為未知參數(shù)時(shí)，u=1； 4） 若選的平差值為未知參數(shù)時(shí)，u=3；5） 若選的平差值為未知參數(shù)時(shí)，u=2。解：本題，則1） 按條件平差法應(yīng)列出2個(gè)條件方程2） 此時(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)，且不相關(guān)，屬于間接平差，函數(shù)模型為3） ，屬于附有參數(shù)的條件平差，方程個(gè)數(shù)為4） 且包含2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，屬于附有條件的間接平差，限制條件方程個(gè)數(shù)為，觀測(cè)方程個(gè)數(shù)為4個(gè)。函數(shù)模型為限制條件方程為5） ，但相關(guān)，屬于附有條件的條件平差。方程總個(gè)數(shù)為個(gè)，應(yīng)列1個(gè)限制條件方程和3個(gè)一般條件方程。函數(shù)模型為2.4 函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型有的是線性的，有的是非線性的。對(duì)于非線性的，在進(jìn)行平差時(shí)，必須利用泰勒級(jí)數(shù)將非線性方程線性化，轉(zhuǎn)化為線性方程。在所有函數(shù)模型中的未知向量，分別代表觀測(cè)值的真值向量和參數(shù)的真值向量。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開的要求，必須要知道它們的近似值。的近似值為觀測(cè)值，的近似值必須根據(jù)已知值和觀測(cè)值計(jì)算其近似值Xo。下面介紹線性化的一般方法。設(shè)有函數(shù)取的近似值為，則有，按泰勒級(jí)數(shù)在近似值處展開，略去二次和二次以上各項(xiàng)若令則函數(shù)的線性形式為下面根據(jù)上述線性化后的結(jié)論，分