第二章十四節(jié)高斯曲率的計(jì)算公式

1、第二章 曲面論高斯曲率的計(jì)算公式高斯定理 。注意， 。所以，利用行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)和矩陣乘法性質(zhì)，得，（其中用到行列式按第三行展開計(jì)算的性質(zhì)。）利用 ，可得， 。由于，所以，于是得到公式被稱為高斯定理，且被譽(yù)為高斯絕妙定理。將上式中的行列式按第三列展開，并化簡，可得，高斯絕妙定理斷言一個(gè)曲面的高斯曲率可以只用第一類基本量及其導(dǎo)數(shù)表示，從而 事實(shí)上是曲面的一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)不變量。高斯曲率用第一類基本量明確的表達(dá)式由 Brioschi 公式給出。存在等距對(duì)應(yīng)的兩曲面，曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的高斯曲率必相等。球面片與平面片之間不存在等距對(duì)應(yīng)。， 。特別地，當(dāng)曲面：上的坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)時(shí)，此時(shí) ，即得，經(jīng)過觀察，通過

2、湊微分，得到 ，故有，（驗(yàn)算這個(gè)量的散度的動(dòng)因，是用測(cè)地曲率的劉維爾公式，推導(dǎo)高斯-波涅公式時(shí)，出現(xiàn)求散度的運(yùn)算，導(dǎo)致兩者的表達(dá)方式是一致的。）。，。如果曲面在參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下的第一基本形式為，則稱此坐標(biāo)網(wǎng)為等溫參數(shù)網(wǎng)。，其中是關(guān)于變量的Laplace算子. 于是在曲面上取等溫參數(shù)網(wǎng)時(shí)，其中. 此時(shí)。例 求第一基本形式為的曲面高斯曲率 。 解 因?yàn)?，所以。半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)下，高斯曲率的計(jì)算公式在類曲面：上選一條測(cè)地線為-曲線：；再取與正交的測(cè)地線族為-曲線，另取這測(cè)地線族的正交軌線為-曲線，則得一半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)。對(duì)于這個(gè)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)而言，曲面的第一基本形式 可以簡化為，其中滿足條件 。在曲面上選取了半

3、測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)后，曲面的高斯曲率有如下的計(jì)算公式 。常高斯曲率的曲面現(xiàn)在設(shè)曲面的高斯曲率是常數(shù)，即常數(shù)，則得微分方程 。根據(jù)初始條件：，我們可按以下不同情形求出這個(gè)微分方程的解。（1） 正常數(shù)高斯曲率的曲面，此時(shí) 。根據(jù)初始條件，可得，于是，。實(shí)例：考慮球心在原點(diǎn)，半徑為的球面。 取赤道為最初給定的測(cè)地線，則所有經(jīng)線是與赤道正交的測(cè)地線，所有緯線是這測(cè)地線族的正交軌線，因此球面上的經(jīng)線和緯線構(gòu)成半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)。設(shè)球面上點(diǎn)的經(jīng)度為，緯度為，則球面的參數(shù)表示是。，。在球面上重新選擇參數(shù)，命于是，高斯曲率 ，因此得到，所以正常數(shù)高斯曲率的曲面的第一基本形式與球面的相同。正常數(shù)高斯曲率的曲面與同高斯曲率的球

4、面之間存在著保距變換。（2），從而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式與平面的相同。（3）負(fù)常數(shù)高斯曲率的曲面，此時(shí) 。根據(jù)初始條件，可得，于是，。由此可知, 具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面都可適當(dāng)選取參數(shù), 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距對(duì)應(yīng).由上述定理知道, 具有常數(shù)高斯曲率的曲面(這種曲面稱為常曲率曲面)可按K >0;K = 0;K < 0 分成三種類型. 而屬于同一類型的曲面它們的內(nèi)在幾何是相同的. 平面作為高斯曲率為零的代表; 球面作為高斯曲率為正常數(shù)的代表. 換句話說, 高斯曲率為零的曲面都可以與平面建立等距對(duì)應(yīng), 高斯曲率為正常數(shù)的曲面都可以與球面

5、建立等距對(duì)應(yīng). 那么自然會(huì)問什么曲面可以作為高斯曲率為負(fù)常數(shù)的代表? 設(shè), 我們可以在旋轉(zhuǎn)曲面中找出這個(gè)代表.設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的待定母線為平面中的曲線. 把它繞z 軸旋轉(zhuǎn)后形成了旋轉(zhuǎn)面，；代入旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率為為了使這個(gè)曲面的高斯曲率所以待定函數(shù)就必須滿足下列方程:，將其改寫成，兩邊積分后得到取積分常數(shù), 于是可解出，由此得出， ，令，則，于是 。因此，以母線繞z -軸旋轉(zhuǎn)后所得的旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率正好等于負(fù)常數(shù)。我們把母線(4.4)稱為曳物線. 而把曳物線繞z-軸旋轉(zhuǎn)后所得的曲面稱為偽球面.由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全確定. 因此, 若兩個(gè)曲面可建立等

6、距對(duì)應(yīng), 則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的高斯曲率必相等. 但反之則不然.【例】證明: 曲面 ，（正螺面），(旋轉(zhuǎn)曲面)在點(diǎn)與處的高斯曲率相等, 但曲面S 與不存在等距對(duì)應(yīng).【證明】容易算出正螺面與旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式分別為，再利用正交網(wǎng)時(shí)高斯曲率的計(jì)算公式(即高斯方程)經(jīng)過計(jì)算得出曲面S 和的高斯曲率分別為， 。因此取對(duì)應(yīng)點(diǎn)，便成立。但是曲面S 與不存在等距對(duì)應(yīng).我們用反證法. 若曲面S 與之間存在等距對(duì)應(yīng),它的對(duì)應(yīng)關(guān)系為則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的高斯曲率必相等, 所以得出 ，即，或 ；(1) 若則或。因此對(duì)應(yīng)關(guān)系為這時(shí)的第一基本形式，因?yàn)槭堑染鄬?duì)應(yīng), 故，比較得出由其中第二式得出或, 再由第一式或第三式得出或，這顯然不可能成

7、立. 因此這種情況不可能.(2) 若 ，則。這顯然不可能成立. 因此曲面S 與之間不能存在等距對(duì)應(yīng).盡管在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距對(duì)應(yīng), 但是對(duì)高斯曲率為常數(shù)的曲面, 若在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同高斯曲率是必可建立等距對(duì)應(yīng)的.定理4.1 (Minding定理)具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面總可建立局部等距對(duì)應(yīng).證明 設(shè)曲面S 的高斯曲率K是常數(shù),。在S 上取任意點(diǎn)P 和過P 點(diǎn)的任意測(cè)地線,把作為-曲線；且從P 點(diǎn)起的弧長為v .再取與正交的測(cè)地線族為-曲線，另取這測(cè)地線族的正交軌線為-曲線，則得一半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)。對(duì)于這個(gè)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)而言，（注意, 這時(shí)的曲線也是測(cè)地線）。因此曲面的第一基本形式 可以簡化為，根據(jù)假設(shè)v 是的弧長, 所以，于是 (4: