第7講不定積分

1、第8講 不定積分內(nèi)容精要1.原函數(shù)：設(shè)在上連續(xù)，如果存在一個(gè)，使得或者，則稱(chēng)為的一個(gè)原函數(shù)。注意：存在性：連續(xù)函數(shù)存在原函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)；無(wú)窮多性：如果是的一個(gè)原函數(shù)，那么仍是的原函數(shù)。2.不定積分：如果是的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng)是的不定積分，用記號(hào)表示。即。3.積分與微分的關(guān)系 ； ； 。4.不定積分的性質(zhì)；。5.基本積分表6.第一換元法若被積函數(shù)，則第一類(lèi)換元法主要用于不易計(jì)算，而容易求出的情形。7.第二類(lèi)換元法設(shè)單調(diào)可微，且，若，則 第二類(lèi)換元法主要用于不易計(jì)算，而容易求出的情形。8.分部積分法9.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分，關(guān)鍵是將真分式分解成幾個(gè)部分分式之和，首先要正

2、確地寫(xiě)出部分分式的形式，然后確定系數(shù)，應(yīng)該注意：分母分解成一次因式與二次質(zhì)因式的乘積后，若分母中含有因子，則部分分式中應(yīng)有項(xiàng)若分母中含有因子，則部分分式中應(yīng)有項(xiàng)10.三角有理函數(shù)的積分由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之三角有理函數(shù)一般記為令，則有典型例題題型1：有關(guān)不定積分概念及性質(zhì)的命題例1：設(shè)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，則=（ ）解： 由題意可知，即所以，故選。例2：設(shè)函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于（ ）解： ，故選.題型2：分段函數(shù)不定積分的計(jì)算例1：設(shè)，及解：設(shè)所以，當(dāng)當(dāng)由于在內(nèi)連續(xù)(包括)，所以其原函數(shù)在內(nèi)存在且連續(xù)，由，即得 故得 所以 題型3：利用第一換元法計(jì)算不定積分例1：設(shè)是的

3、一個(gè)原函數(shù)，則=（ ）解： ，故選.例2：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則=（ ）解： ，故選.例3：求不定積分.解：例4：求不定積分.解： 小結(jié)：一些常見(jiàn)的湊微分公式如下例5：求不定積分解：小結(jié)：一般地，對(duì)于正的奇數(shù),和都采用類(lèi)似的方法計(jì)算。例6：求不定積分解：因?yàn)?所以小結(jié)：一般地，對(duì)于正的偶數(shù) 和 都采用類(lèi)似的方法計(jì)算。例7：求不定積分解：題型4：利用第二換元積分法求不定積分（）三角換元原理：利用公式，去根式；對(duì)象：被積函數(shù)含有，令 被積函數(shù)含有，令 被積函數(shù)含有，令例1：求不定積分解：例2：求不定積分解：設(shè)（）簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的代換原理：把無(wú)理函數(shù)的積分變成有理函數(shù)的積分對(duì)象：被積函數(shù)含有，令例1：求

4、不定積分.解:例2：求不定積分解：令（）指數(shù)代換原理：令，對(duì)象：被積函數(shù)含有，不含有根式的，則令；被積函數(shù)含有，且含有根式的，則令含有根式整體為。例1：求不定積分解：令，則，原式例2：求不定積分解：令，則，（）倒代換原理：令對(duì)象：有理分式函數(shù)的積分，且分母關(guān)于的最高次數(shù)與分子關(guān)于的最高次數(shù)的差大于等于2。例1：求不定積分解：作倒數(shù)代換，則，于是當(dāng)當(dāng)相同的結(jié)果。例2：求不定積分解：令（）反三角函數(shù)的代換原理：令反三角函數(shù)為對(duì)象：被積函數(shù)含有，又含有，則令，從而；被積函數(shù)含有，又含有，則令，從而；例1：求不定積分解：令 ，則，于是例2：求不定積分.解：令 ，則，于是題型5：利用分部積分法求不定積分

5、（）直接利用分部積分對(duì)象：當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)之積時(shí)，選取冪函數(shù)為，其余為；當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積時(shí)，選取冪函數(shù)為，其余為；當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之積時(shí)，選取對(duì)數(shù)函數(shù)為，其余為；當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與反三角函數(shù)之積時(shí)，選取反三角函數(shù)為，其余為；當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之積時(shí)，選取任意，且要用兩次分部積分公式。例1：求不定積分解：例2：求不定積分解：例3：求不定積分解：例4：求不定積分解：例5：求不定積分.解 例6：求不定積分解：（）換元法與分部積分法的結(jié)合例1：求不定積分解：令,則例2：求不定積分解：令lnx=t,則,例3：求不定積分解：先作變換，令 ，則，于是（）分部積分的雜例例1：求不定積分.解 例2：求不定積分.解 例3：求不定積分.解 例4：求不定積分解：例5：設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，求不定積分解：由已知得所以有又因?yàn)槔?：設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算不定積分解：題型6：有理分式函數(shù)的積分例1：求不定積分解：這是有理函數(shù)的積分，先把被積函數(shù)分解成部分分式之和，設(shè)有 （*）令，解得 （1）令， 得 （2）（*）式兩邊對(duì)求導(dǎo)得令，得 （3）令 ，得 （4）由（1）、（2）、（3）、（4）解得因此 例2：求不定積分