等比數(shù)列前n項和教學設計

1、等比數(shù)列的前n項和 河北祁州中學 高麗一、教學內容分析等比數(shù)列的前n項和是高中數(shù)學人教A版必修5第二章第五節(jié)的內容，分兩個課時完成，第一課時側重于公式的推導及記憶，第二課時側重于公式的靈活應用。等比數(shù)列前n項和是教材中很重要的一塊內容，是“等差數(shù)列”，“等差數(shù)列前n項和”與“等比數(shù)列”內容的延續(xù)，具有承上啟下的作用。它對學生進一步理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識有很重要的作用。此公式的推導過程中所滲透的類比，分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)二、學情分析從學生的思維特點看，很難想到變加為減。在學完等差數(shù)列的前n項和的基礎上，大部分學生會容易把本節(jié)內容與其從公式

2、的形成、推導、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。但其實本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前n項和公式的推導有著本質的不同，這其中需要學生強烈的探究及觀察能力。另外對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在使用公式的過程中容易出錯。三、教學設計意圖等比數(shù)列的前n項和公式這一節(jié)內容是在學生學習了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式的基礎上進行的。是進一步學習數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。（1）對這節(jié)教材的理解和根據(jù)高中學生的數(shù)學思維特征，確定的教學模式和教學方法以及要實現(xiàn)的教學目標。（2）在教學過程中，要注重激發(fā)學生的學習熱情，調動學生潛在的學習積

3、極性，啟迪學生的思維，突破教材難點。利用問題探究式的教學方法對該課程進行教學，在師生的交流合作中，滲透數(shù)學知識。四、教學目標：1、知識與技能目標：通過本節(jié)學習，使學生會用方程的思想認識等比數(shù)列前n項和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式及有關知識解決現(xiàn)實生活中存在著的大量的數(shù)列求和問題，將等比數(shù)列前n項和公式與等比數(shù)列通項公式結合起來解決有關的求解問題。2、過程和方法目標：通過啟發(fā)、引導、分析、類比、歸納，并通過嚴謹科學的解題思想和解題方法的訓練，提高學生數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)學生分類與整合的數(shù)學思想及學生的邏輯思維。 3、情感態(tài)度與價值觀目標：通過解決生產(chǎn)實際和社會生活中的實際問題，了解社會，認識社會，形

4、成科學的世界觀和價值觀。五、教學的重點與難點重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導及靈活應用，及生產(chǎn)和社會生活中有關的實際問題。難點：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識解決有關生產(chǎn)實際及社會生活中的熱點問題。六、教學過程問題與情境學情預設設計意圖一、創(chuàng)設情境：在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格國王令宮廷數(shù)學家計算，結果出來后，國王大吃一驚為什么呢？學生開始討論，分析：數(shù)學建模生：的和，用計算器一項一項加。（學生笑）師：可

5、以??！但是這樣工程非常浩大，計算相當繁瑣。師：注意觀察每項的特征，及其項與項間的聯(lián)系。生：由于從第二項起每項與前一項的比值是同一個常數(shù)2，所以可以把它看成一個等比數(shù)列，因此我們要求出這個等比數(shù)列的前64項和 。師： 對！可是這要怎么加？探討: 我們觀察發(fā)現(xiàn)：若將等式右邊的每一項乘以一個2，就得到他后面相鄰的一項。所以：（學生發(fā)現(xiàn)相同項）將兩個式子錯位對齊發(fā)現(xiàn)有相同的部分，可以通過減法消去，-得：（生：原來要變加為減）麥子質量超過7000億噸！國王不可能滿足西薩的要求。師：我們將這樣的求和方法叫做“錯位相減法”。你們有沒有發(fā)現(xiàn)其中的關鍵？誰能說說這種計算的關鍵是什么？生：它的關鍵在于等式兩邊要同

6、時乘以公比。還要錯位相減。師：那么我們可以從特殊到一般，得出等比數(shù)列的前n項和嗎？以一個故事做為切入點，該故事內容緊扣本節(jié)課主題及重點，又便于引起學生的注意，調動學生學習本節(jié)課的趣味性和積極性。學生主動思考回答問題，教師給予肯定。通過教師引導，學生觀察發(fā)現(xiàn)該問題為求和，求和就用加法。但是要怎么加？問題提出，形成繁難的情境，激起了學生的求知欲。探討幫助學生充分感受等比數(shù)列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”。兩個式子對其了書寫，便于學生觀察發(fā)現(xiàn)相同項。利用減法消去相同項，得到答案。這讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心。對特殊題目的歸納小結，有

7、助于學生鞏固理解新的方法。二、提出問題：1、一般地，等比數(shù)列的前n項和即求： 師：設等比數(shù)列，首項為，公比為，如何求前項和？（學生眾說紛紜，躍躍欲試。此時由學生表達，教師書寫）推導過程：生：即等式左右兩邊同乘公比得： 利用錯位相減，把兩個式子錯位對齊發(fā)現(xiàn)：、的右邊有很多相同的項。用式兩邊分別減去式兩邊得 問題的提出的水到渠成，順勢引導學生將結論一般化，情境為等比數(shù)列前n項和的提出及其證明做好鋪墊。在教師的指導下，學生體驗從特殊到一般，利用錯位相減法，自己探究公式，從而獲得學習的快樂。證明過程的關鍵是在于讓學生明白錯位相減法，以及它的關鍵在于等式兩邊要同時乘以公比。書寫時錯位對齊，給予視覺沖擊，

8、加深印象。2、由得到對不對？這里能不能等于1？要是等于1，這是個什么數(shù)列，前項和等于什么？（提醒引導學生注意的取值，如果為0，是不能直接除掉的，所以當所給數(shù)列的公比是一個字母時，一定要討論）生：當時，這個等比數(shù)列變成一個常數(shù)列，也可看成一個等差數(shù)列，所以 師：當時，等比數(shù)列的前n項和的公式為因此等比數(shù)列前n項和公式 師：等差數(shù)列前n項和公式不唯一，至少我們學了兩個表達形式，那等比數(shù)列前n項和公式也有不一樣的表達形式嗎？生：可以用等比數(shù)列的通項公式因為，所以公式還可以寫成師：很好！公式中我們要注意幾點：（1）、n為等比數(shù)列的項數(shù)；（2）、， ， ， “知三求二”；（3）、等比數(shù)列求和要對“”與“

9、”分類討論；（4）等比數(shù)列前n項和公式的特征：，即形式，其中，。若等比數(shù)列前n項和，則通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。教師再次追問，推動學生自主探索發(fā)現(xiàn)，營造一個讓學生主動思考、觀察、討論的學習氣氛。公式得出后，教師幫助學生強調注意事項，有助于學生正確理解記憶，公式特征的歸納有助于加快學生的解題速度。三、課堂演練例1、求下列等比數(shù)列前8項的和：例2. 已知等比數(shù)列的前4項和是公比q=3,求首項練習：

10、已知是等比數(shù)列完成下表題號（1）326（2）35242（學生自主解答，再請同學到黑板上演示）解解：例1通過直接套用公式、變式運用公式、這兩個層次的問題解決，促進學生新的數(shù)學認知結構的形成。深刻體會“知三求二”，強調方程與函數(shù)的思想。等比數(shù)列涉及到指數(shù)問題，有時解題計算很繁瑣，要注意計算化簡中的技巧，靈活運用性質。通過學生板書演示，讓全體學生都參與教學，以此培養(yǎng)學生的參與意識和競爭意識。例3 某制糖廠今年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從今年起，幾年內可以使總產(chǎn)量達到30萬噸（保留到個位）.（教師引導學生探究，根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一

11、個已知首項和公比求前n項和的問題。）解：由題意可知，這個糖廠從今年起，平均每年的產(chǎn)量（萬噸）組成一個等比數(shù)列，記為于是得到整理的答：5年內可以使總產(chǎn)量達到30萬噸.例3是等比數(shù)列前項和在實際生活中的典型應用。通過身邊的例子，讓學生感受數(shù)學在生活中的應用，并培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力和應用知識解決實際問題的能力。例4、等比數(shù)列的前項和為，則生：先求，利用等比中項求出師：很好，這種方法利用了方程的思想，一個未知數(shù)，只需要一個方程。教師板書：   生：把通項公式求出來，再利用是等比數(shù)列，就可以了。師：那我們試試看，已知求要注意分兩個情況教師板書：當時，當時，是等比數(shù)列，所以也滿足上式

12、，生：等比數(shù)列的前項和為，則師：沒錯！這是很簡潔的方法。直接利用等比數(shù)列前項和的性質得到。例題4的設置，活躍了學生的思維，加強了數(shù)學思想方法的訓練，通過本題學習，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，還幫助學生感受等比數(shù)列前n項和公式的特征，提高解題速度。思考題遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增。其燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？生：可以看成是數(shù)學建模：已知等比數(shù)列an，公比q=2，n=7, S7=381,求a1 由學生探究回答例4是公比的討論問題，解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型思想。提醒學生解題嚴謹。四、課堂小結1、等比數(shù)列前n項和公式（知

13、三求二）2、公式的推導方法3 、應用題：等比數(shù)列前n項和的實際應用。師生小結：引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法兩方面總結。給學生充分的時間獨立思考、應用公式解決問題。五、布置作業(yè)1、 1、知識小結：等比數(shù)列前n項和公式；等比數(shù)列的前n項和的簡單運用；知三求二；2、方法小結：從特殊到一般的方法；錯位相減法；方程與函數(shù)的思想方法3、作業(yè)布置：課本58頁思考：求和鼓勵學生積極回答，以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力，也為了加深印象。作業(yè)布置幫助學生鞏固所學，思考題的給出有助于學生克服疲倦及自滿心理，繼續(xù)探究。六、教學反思本節(jié)教學設計重視“過程與方法

14、”。符合新課標理念，把重點放在公式的推導及應用上。一、創(chuàng)設教學情境，引起學生的興趣情境創(chuàng)設是為了發(fā)展學生的心理機能，激發(fā)學生的興趣、求知欲等來增強教學效果而營造的課堂氛圍。創(chuàng)設教學情境，讓學生“觸境生情”，既可以掌握數(shù)學知識和技能，又可以體驗教學內容中的情感，使原本枯燥抽象的數(shù)學知識變得生動有趣。本節(jié)課通過數(shù)學史料引進課題，即可以擴展學生的數(shù)學視野，又能提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。 二、不斷探索討論，激活學生的思想高中數(shù)學新課程的基本理念是要豐富學生的學習方式，改進學生的學習方法。在教學中，教師鼓勵學生積極參與教學活動，教授過程中要有教師的講授和指導，更要有學生的自主探索與合作交流。鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。等比數(shù)列前n項和公式的推導用了錯位相減法，這種方法學生很難想到，求和都是用加，怎么會變成減法了呢？如果課上有足夠的時間，可以讓學生充分思考，說不定可以得到其他解答方法。比如： 即或者： 三、例題設計層層深入，