等差數(shù)列的求和公式教學設計

1、等差數(shù)列前n項和教學案例： 一、教學設計思想 本堂課的設計是以個性化教學思想為指導進行設計的。 本堂課的教學設計對教材部分內(nèi)容進行了有意識的選擇和改組，為了體現(xiàn)個性化教學的教學理念，在教法上，采用了以學生為主體，以問題為中心，以老師為引導，以小組的合作為主要學習方式。課堂結構個性化，讓學生在探究中展現(xiàn)個性，在合作中促進學生的個性發(fā)展。 在教學中通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感,體驗在學習中獲得成功。二、學生情況與教材分析 1、學生通過上一節(jié)的學習，已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，基本上掌握了通項公式，會運用等

2、差數(shù)列的通項公式進行解題，因此只要簡單地回顧上一節(jié)課的知識就可引入新課；2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學習和理解數(shù)學，是數(shù)學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關系，從而滲透了數(shù)形結合的數(shù)學思想。3、學習應該是學生積極主動的建構知識的過程，應該與學生熟悉的背景相聯(lián)系。本課要求學生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學習，認識和理解數(shù)學知識，學會發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在學習活動中進一步提升自己的能力。三、教學目標 1、知識目標

3、（1）掌握等差數(shù)列前n項和公式,理解公式的推導方法；（2）能較熟練應用等差數(shù)列前n項和公式求和。2、能力目標經(jīng)歷公式的推導過程，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。 3、情感目標通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感,體驗在學習中獲得成功。四、教學重點、難點 1、等差數(shù)列前n項和公式是重點。2、獲得等差數(shù)列前n項和公式推導的思路是難點。教學過程：1、引入新課（1）復習師：上一節(jié)課中，我們學習了等差數(shù)列的定義及通項公式，知道了“公差d=，通項公式an=”（見黑

4、板）生：（回答黑板上的問題） （2）故事引入師：那等差數(shù)列的前n項和怎樣求？今天，我們主要探討等差數(shù)列的前n項和公式。古算書張邱建算經(jīng)中卷有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？師生共同讀題師：題目當中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？ 生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？師：很好，問題已經(jīng)呈現(xiàn)出來了，你能用數(shù)學符號語言表示嗎？生2：用表示第n個人所得的錢數(shù)，則由題意得： ，只要求出1+2+3+100=？師：你能求出這個式子的值嗎？ 生2：（猶豫片

5、刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101，所求的和為101×=5050 .師：對于這個算法，著名的數(shù)學家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101， 第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101， 第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101， 第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050上面的問題可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n, 的前100項的和.在上面解決問題的過程中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，

6、從中你有何啟發(fā)？我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項和？設計意圖：通過情景引入活動、任務，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用得過程，其作用就在于提升學生的經(jīng)驗，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學知識的轉(zhuǎn)變.構筑在學生已有生活經(jīng)驗與生命體驗基礎之上的數(shù)學課程大大激發(fā)了學生“做數(shù)學”的熱情，數(shù)學課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學生的興趣.新教材中增添了一些數(shù)學史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數(shù)學教學過程中，應適時掀起數(shù)學史的教學蓋頭。向同學們介紹了張邱建算經(jīng)和高斯及他的算法，講課的過程中適當插入數(shù)學史，為數(shù)學教學輸入了新鮮血液.培養(yǎng)學生的數(shù)學文化，營造濃郁的“人文”氛圍.師：設等差數(shù)

7、列的前n項和為，則生3：（直接給出公式）由剛才問題的結果可知師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數(shù)學的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數(shù)學公式的得出需要嚴謹?shù)耐评磉^程和相關的理論依據(jù).你能否推導這個公式？生4：+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項還是兩項？）師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+101=？n項時又應如何分組？最后一組應怎樣表示？生4（繼續(xù)回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=10250+52=102，51= 共有50組多出第51項n分奇偶性討論，n為偶數(shù)時正好分成

8、組，n為奇數(shù)時分成組還多一項當n為偶數(shù)時， =當n為奇數(shù)時， = 師：好通過分類討論我們得出了等差數(shù)列的前n項和公式，從所得的結果看無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導呢？怎樣出現(xiàn)首末兩項的和？ 師：下面我們從一個稍稍簡單一點的等差數(shù)列來推導探討（學生觀察幻燈片上以等差數(shù)列逐層排列的一堆鋼管。） 師：如何求？ （課件演示：引導學生設想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示） 生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請大家來猜想一下這個呈等差數(shù)列排列的

9、鋼管的總和sn等于多少？ 生：師：所以我們還可以如何求等差數(shù)列通項公式？生5：將上面兩式左右兩邊分別相加得 =師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數(shù)列問題是也經(jīng)常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數(shù)列下標等距性質(zhì).（有學生舉手）生6：我用另外一種方法得出的結果不一樣 = =師：這個結果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯(lián)系嗎？大家一起發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前n項和公式：師(總結) ：我們得到了兩個計算等差數(shù)列前n項和的公式.由公式可知，只要知道 這四個量中的三個就可以求出等差數(shù)列前n項和.設計意圖：新課標指出“學生的學習過程就是在教師指導下的再創(chuàng)造的過

10、程”在教學的過程中，教師要指導學法，把教與學的過程很好地統(tǒng)一起來，想方法鼓勵學生積極參與，大膽設疑、質(zhì)疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學.教師同通過問題情境或?qū)W習情境以誘發(fā)他們進行探索與問題的解決活動.應用舉例例1等差數(shù)列10,6,2, 2前多少項的和是54?解：設題中的等差數(shù)列為，前n項和為，則， 由題意得 解得（舍）前9項的和為54.師(總結)：已知量，求n，合理選用公式. 思想方法：方程思想.設計意圖：學以致用,直接運用公式加深對公式的認識和理解.主要通過方程的思想進行基本量的運算.注意解題格式和規(guī)范.例2求集合中元素的個數(shù)，并求這些元素的和.解：由得即 由于滿足不等式的正整數(shù)n共有14

11、個，所以集合M中的元素共有14個，將他們從小到大列出，得7，7×2，7×3，7×14， 這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為，其中 答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1：分析：n<100,M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數(shù)共有多少個？它們的和是多少？分析：設m是滿足條件的數(shù)，則m=7n+1,且m<100, 或m=7n-6,且m<100,設計意圖：高中數(shù)學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方法，這要求我們轉(zhuǎn)變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養(yǎng)學生的基本技能，將變式訓練與引導學