空間幾何體的結(jié)構(gòu)直觀圖和三視圖 教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高二適用區(qū)域人教版區(qū)域課時時長（分鐘）2課時知識點三視圖、畫三視圖的原則、直觀圖、斜二測畫法的步驟教學(xué)目標(biāo)掌握畫三視圖的基本技能和方法；提高學(xué)生空間想象力，體會三視圖的作用教學(xué)重點畫出簡單組合體的三視圖教學(xué)難點識別三視圖所表示的空間幾何體【教學(xué)建議】本節(jié)重點是認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征畫出空間幾何體的三視圖、直觀圖、培養(yǎng)空間想象能力、幾何直觀能力、運用圖形語言進行交流的能力。由空間圖形數(shù)出其結(jié)構(gòu)特征，由結(jié)構(gòu)特征想象出空間幾何體，進行空間圖形與其三視圖的相互轉(zhuǎn)化，是達到本節(jié)課程目標(biāo)的重要方法。本節(jié)中的有關(guān)概念，主要采用分析具體實例的共同特點，再抽象其本質(zhì)屬性空間而得到。教學(xué)

2、中應(yīng)充分使用直觀模型，必要時要求學(xué)生自己制作模型，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知模型，然后再抽象出有關(guān)空間幾何體的本質(zhì)屬性，從而形成概念學(xué)生在初中學(xué)過平面幾何，掌握了大量的平面幾何知識，進行過一定量的邏輯推理訓(xùn)練，為學(xué)習(xí)立體幾何打下了基礎(chǔ)。但學(xué)習(xí)立體幾何不僅需要較強的邏輯思維能力，還需要豐富的空間想象能力。學(xué)生常感到立體幾何難學(xué)，究其原因主要有幾點：（1）消極心理的影響“代數(shù)繁，幾何難”，在學(xué)生中廣為流傳，使不少學(xué)生還未學(xué)習(xí)立體幾何就已經(jīng)產(chǎn)生了畏懼心理，他們對學(xué)好立體幾何信心不足，對怎樣學(xué)習(xí)心中無底，這種消極心理必然會給學(xué)生造成消極影響.（2）思維定勢的影響受初中所學(xué)平面幾何時形成的思維定式的束縛，常將平面

3、幾何中的概念、定理照搬照用.（3）缺乏空間想象力缺乏空間想象力，常將空間問題看成平面問題，作圖、識圖難。作圖中不知何時該用實線，何時該用虛線，作出的圖形缺乏立體感。識圖中相交、異面分不清，大角、小角分不清，是否平行、垂直分不清?！局R導(dǎo)圖】教學(xué)過程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導(dǎo)入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。同學(xué)們,我們知道光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影，而在一束平行光線照射下形

4、成的投影稱為平行投影。初中的時候我們學(xué)習(xí)了簡單立體圖形的三視圖，包括：正視圖，左視圖和俯視圖。這節(jié)課我們將共同學(xué)習(xí)更多的立體圖形和他們在不同投影中的三視圖。設(shè)計意圖：通過展示同學(xué)們熟知的物理現(xiàn)象以及初中學(xué)過的三視圖，實現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生由空間圖形到三視圖的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)“空間”到“平面”的轉(zhuǎn)換，從而突破難點，突出重點。二、知識講解考點1 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【教學(xué)建議】建議先展示大量幾何體的實物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，然后再引導(dǎo)學(xué)生抽象出空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征。1. 棱柱的結(jié)構(gòu)特征：（1）定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些

5、面所圍成的幾何體叫做棱柱。（2）棱柱的有關(guān)概念：棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面（簡稱底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。（3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。（4）棱柱的表示：用底面各頂點的字母表示，如上圖的六棱柱可表示為:棱柱ABCDEFABCDEF2. 棱錐的結(jié)構(gòu)特征：(1) 定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）棱錐的有關(guān)概念：棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點叫做棱

6、錐的頂點，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。（3）棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。（4）棱錐的表示：用頂點和底面各頂點的字母表示，如右圖的四棱錐可表示為：棱錐3. 棱臺的結(jié)構(gòu)特征（1） 棱臺的概念：棱錐被平行于棱錐底面的平面所截后，截面和底面之間的部分叫做棱臺（2）棱臺的有關(guān)概念：（出示模型，邊對照模型邊介紹）棱臺的上底面、下底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點；（3）棱臺的分類:三棱臺、四棱臺、五棱臺、六棱臺；（4）棱臺的表示方法：棱臺ABCDABCD（5）棱臺的特點：兩個底面是相似多邊形，側(cè)面都是梯形；側(cè)棱延長后交于一點【教學(xué)建議】這教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生多觀察，并結(jié)合自己的經(jīng)

7、驗，討論各實物、模型、圖片的結(jié)構(gòu)特征，提出適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，在比較的過程中形成對柱、錐、臺、球結(jié)構(gòu)特征的直觀認識?？键c2 圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征1.圓柱的結(jié)構(gòu)特征： (1) 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱（2） 圓柱的有關(guān)概念：在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。(3) 圓柱的表示方法：圓柱用表示它的軸的字母表示為圓柱.2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征：(1) 定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的

8、面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.(2) 圓錐的有關(guān)概念：在圓錐中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線。(3) 圓錐的表示方法：圓錐用表示它的軸的字母表示為圓錐.3.圓臺的結(jié)構(gòu)特征：(1) 定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺. (2) 圓臺的有關(guān)概念：結(jié)合圖形認識圓臺的上、下底面、側(cè)面、母線、軸。 (3) 圓臺的表示方法：圓臺用表示它的軸的字母表示為圓臺.4.球的結(jié)構(gòu)特征：（1） 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，叫球體，簡稱

9、球.（2） 在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（3） 球的表示： 球常用表示球心的字母表示為球O。5.簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征：（1） 定義：由簡單幾何體（如柱、錐、臺、球等）組合而成的幾何體叫簡單組合體.（2） 簡單組合體的構(gòu)成形式： 一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成。考點3 柱、錐、臺、球的三視圖（1）三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視

10、圖（2）三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.考點4 直觀圖的斜二測畫法直觀圖：直觀圖最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點的位置的畫法. 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，得到直角坐標(biāo)系，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為(或135).（2）平行不變：已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于或軸的線段.（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于軸的線

11、段，在直觀圖中保持長度不變；平行于軸的線段，長度為原來的一半.三 、例題精析類型一 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例題1判斷如圖，一個封閉的長方體，它的六個表面各標(biāo)出A、B、C、D、E、F這六個字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置，所看見的表面上的字母已表明，則字母A、B、C對面的字母依次分別為（）AD、E、FBF、D、ECE、F、DDE、D、F【解析】D第一個正方體已知A，B，C，第二個正方體已知A，C，D，第三個正方體已知B，C，E，且不同的面上寫的字母各不相同，則可知A對面標(biāo)的是E，B對面標(biāo)的是D，C對面標(biāo)的是F故選D【總結(jié)與反思】三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己的親身實踐，動手作圖來完成。因為

12、，在做立體圖的題目時，對立體圖形基本結(jié)構(gòu)的認識和記憶是十分重要的。類型二 圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征例題2下列幾何體中是臺體的是()【解析】DA中的幾何體側(cè)棱延長線沒有交于一點；B中的幾何體沒有兩個平行的面；很明顯C中幾何體是棱錐【總結(jié)與反思】 在做立體圖的題目時，對立體圖形基本結(jié)構(gòu)的認識和記憶是十分重要的。對于臺體而言，不論是棱臺還是圓臺他們的共同點都是：臺體的上下底面是平行的關(guān)系。類型三 柱、錐、臺、球的三視圖例題3如圖,是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖【解析】【總結(jié)與反思】 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從三個不同的角度進行觀察. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪

13、廓線 都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來.從三個方向（正面，左面，上面）觀察，得到三個平面圖形，繪制出對應(yīng)的三視圖。類型四 直觀圖的斜二測畫法例題4畫棱長為的正方體的直觀圖【解析】按照斜二測畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫棱，再畫上底面.畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過作軸，使. 分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.【總結(jié)與反思】 熟練的掌握直觀圖的斜二測畫法，對其步驟的順序能夠達到正確的運用。例題5長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的最短距離為()A B C.

14、D【解析】將長方體沿剪開成平面圖形，沿展開，；沿展開，則有.綜上所述，從點沿表面到的最短距離為.例題6設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）（D）【解析】設(shè)AB邊長為a，PC邊長為，E,F分別為PC,AB的中點，可知AE=BE,因為，所以四 、課堂運用基礎(chǔ)1. 紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是()A南 B北C西 D下2.一個長方體去掉一角，如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是()3. 某幾何體的

15、正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()4. 正方形OABC的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A6 cmB8 cmC(23)cm D(22)cm答案與解析1.【答案】B 【解析】將所給圖形還原為正方體，并將已知面“上”、“東”分別指向上面、東面，則標(biāo)記“”的為北面2. 【答案】A【解析】由于去掉一角后，出現(xiàn)了一個小三角形的面正視圖中，長方體上底面和右邊側(cè)面上的三角形的兩邊的正投影分別和矩形的兩邊重合，故B錯；側(cè)視圖中的線應(yīng)是虛線，故C錯；俯視圖中的線應(yīng)是實線，故D錯3. 【答案】D【解析】由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個矩

16、形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不可能是D4. 【答案】B【解析】如圖，OA1 cm，在RtOAB中，OB2 cm，所以AB 3 cm所以四邊形OABC的周長為8 cm鞏固1. 關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為() 這是一個六面體這是一個四棱臺這是一個四棱柱此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到A BC D2. 一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側(cè)面()A至多有一個是直角三角形B至多有兩個是直角三角形C可能都是直角三角形D必然都是非直角三角形3. 如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)

17、用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是()A BC D4. 已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2 cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3 cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()A2 cm B3 cmC25 cm D5 cm5.如圖所示，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45、腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A B1C1 D2答案與解析1.【答案】D【解析】正確因為有六個面，屬于六面體的范圍錯誤因為側(cè)棱的延長線不能交于一點，所以不正確正確如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱都正確如圖所示2.【答案】C

18、【解析】注意到答案特征是研究側(cè)面最多有幾個直角三角形，這是一道開放性試題，需要研究在什么情況下側(cè)面的直角三角形最多在如圖所示的長方體中，三棱錐的三個側(cè)面都是直角三角形3. 【答案】【解析】一個圓柱挖去一個圓錐，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分4.【答案】D【解析】圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為235(cm)，在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5 cm，故選D5.【答案】D【解析】因為ADBC，所以ADBC因為ABC45，所以ABC90所以ABBC所以四邊形ABCD是直角梯形，如圖所示其中，ADA

19、D1，BCBC1，AB2，即S梯形ABCD2拔高1. 定義：底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱將正三棱柱截去一個角(如圖1所示，M，N分別是AB，BC的中點)得到幾何體(如圖2)，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為()2. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，求該多面體最長的棱長3. 如圖所示的是水平放置的三角形ABC的直觀圖ABC，其中D是AC的中點，在原三角形ABC中，ACB60，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有()A0條 B1條C2條 D3條4. 已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖是如圖中所示的等腰梯形，俯視圖如圖中所示外部是正方形，內(nèi)部是與外

20、部正方形同心的正方形根據(jù)圖中尺寸，說明原幾何體的特征，并說明該幾何體的主要元素的尺寸答案與解析1.【答案】D【解析】由題圖2側(cè)視的方向可知，M點的投影是棱AC的中點，N點的投影為C，E點的投影為F，故應(yīng)選D2.【答案】【解析】由三視圖可知此幾何體的直觀圖如圖所示，其中ABAC，DCAC，DCBC，則BC5，DA，DB5，因為55，所以最長的棱長為5 3.【答案】 C【解析】 先按照斜二測畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找出與線段BD長度相等的線段把三角形ABC還原后為直角三角形，則D為斜邊AC的中點，所以ADDCBD故選C4.【答案】幾何體是正四棱臺，各要素長度見解

21、析【解析】所求幾何體是一個正四棱臺，其上底邊長為2 cm，下底邊長為4 cm，由三視圖可知正四棱臺的斜高為3 cm，所以正四棱臺的側(cè)棱長為 (cm)該正四棱臺主要元素的尺寸示意圖如圖所示五 、課堂小結(jié)本節(jié)講了4個重要內(nèi)容：1.“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖. 光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖”. 用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為“三視圖”. 2. 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)）、正上方三個不同的方向看幾何體，畫

22、出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來3. 三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”4. 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系. 三視圖從細節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用（零件圖紙、建筑圖紙）. 直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實物的形象六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1. 下列說法正確的是()棱錐的各個側(cè)面都是三角形；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面；棱錐的各

23、側(cè)棱長相等A B C D2. 下列說法錯誤的是()A一個三棱錐可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成B一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成C一個圓錐可以由兩個圓錐拼合而成D一個四棱臺可以由兩個四棱臺拼合而成3. 若某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖完全相同，則該幾何體的正視圖不可能是()4. 已知ABC，選定的投影面與ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后得到的ABC與ABC()A全等B相似C不相似 D以上都不對答案與解析1.【答案】B【解析】由棱錐的定義可知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故錯；四面體就是由

24、四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故錯2.【答案】C【解析】用一個平行于底面的平面去截臺體，就會得到兩個臺體，因此一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成，一個四棱臺也可以由兩個四棱臺拼合而成，故B，D選項說法是正確的若在三棱錐的底面兩邊上任找兩點，過這兩點和三棱錐的頂點的截面，就會把三棱錐分成一個三棱錐和一個四棱錐，因此一個三棱錐可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成，故選項A的說法正確3.【答案】D【解析】滿足選項A的有三棱錐，滿足選項B的有球，滿足選項C的有正方體，故選D.4.【答案】B【解析】本題主要考查對中心投影

25、的理解，根據(jù)題意畫出圖形如圖所示由圖易得，則ABCABC.鞏固1. 在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有()A1個 B2個 C3個 D4個2. 如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達點A1，則爬行的最短路程為_3. 甲、乙、丙、丁四人分別面對面坐在一個四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫著數(shù)字“9”，甲說他看到的是“6”，乙說他看到的是“6”，丙說他看到的是“6”，丁說他看到的是“9”，則下列說法正確的是()A甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙C甲在乙的對面，甲的右邊是丙，左邊是丁D甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊4. 如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次是_答案與解析1.【答案】D【解析】如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中取四棱錐A1ABCD，則此四棱錐的四個側(cè)面