第十一屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽 決賽試卷(初一組)答案及詳細(xì)解析

1、第十一屆全國"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷(初一組) (時間2006年4月22日10:00l l :30)一、.填空1、計算：（ ）解析： 2、當(dāng)時，多項式的值是0，則多項式（ 5 ）解析：,則,故,3、將若干本書分給幾名小朋友,如果每人分4本書,就還余下20本書,如果每人分8本書,就剩有1名小朋友雖然分到了一些書,但是不足8本,則共有( 6 )名小朋友解析：設(shè)小朋友有x名，則書有4x+20本，若每人分8本則有一人分不足8本書，可得：0<4x+20-8(x-1)<8,x為正整數(shù)，則滿足要求的只有x=6，故共有6名小朋友。4、圖l中的長方形ABCD是由四個等

2、腰直角三角形和一個正方形EFGH拼成.己知長方形ABCD的面積為120平方厘米,則正方形EFGH的面積等于( 10 )平方厘米解析：方法一：設(shè)AB=a，BC=b，則長方形ABCD的面積S=ab 由ADE，AFB，EHC和BGC都是等腰直角三角形，知 又因四邊形EFGH是正方形，故，即有， 方法二：設(shè)小正方形的邊長是a，則GC的長度是2a，F(xiàn)B的長度是3a，AD的長度是，所以 ，從而因為S=120，故正方形EFGH的面積為10.5、滿足方程|x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和為( 4012 )解析：| | | x-2006|-1| +8|=| | x-2006|

3、-1| +8=2006，即| |x-2006|-1|=1998,而|x-2006|0, |x-2006|-1-1, 所以| x-2006|-1=1998，| x-2006|=1999，則x1=4005，x2=7，故x1+x2=4005+7=40126、一個存有一些水的水池,有一個進水口和若干個口徑相同的出水口,進水口每分鐘進水3立方米.若同時打開進水口和三個出水口,池中水16分鐘放完;若同時 打開進水口與五個出水口,池中水9分鐘放完.池中原有水( 288 )立方米解析：設(shè)原有X立方米水,且每個出水口每分鐘出水立方米,則X+16*3=16*3*Y，X+9*3=9*5*Y，解得X=288,Y=7,

4、所以池中原有288立方米水7、已知，則小于S的最大的整數(shù)是( 0 )解析：，（1），（2）（1）+（2）得0<3S<,即0<S<,則小于S的最大整數(shù)為0.8.如圖2,數(shù)軸上標(biāo)有2n+1個點,它們對應(yīng)的整數(shù)是:,為了確保從這些點中可以取出2006個,其中任何兩個點之間的距離都不等于4,則n的最小值是( 2005 )解析：假設(shè)已取出2006個符合要求的點,顯然對于任意整數(shù)k,以下結(jié)論成立:k和k+4對應(yīng)的點不可能同時被取出;k+1和k+5對應(yīng)的點不可能同時被取出;k+2和k+6對應(yīng)的點不可能同時被取出;k+3和k+7對應(yīng)的點不可能同時被取出。也就是說,任意8個連續(xù)整數(shù)對應(yīng)的

5、點中被取出的點不超過4個。若n=2004,則數(shù)軸上標(biāo)出的點有2004×2+1=4009(個)，由于4009=501×8+1,因此,當(dāng)取出若干個點后,如果這些點符合題意,則這些點的個數(shù)不超過501×4+1=2005，與題意矛盾。若n=2005,按以下方式取點即可:取出形如8k+4,8k+5,8k+6,8k+7，(k為整數(shù),-251k249)的數(shù)和2004、2005兩個數(shù),這些數(shù)有501×4+2=2006(個)，且顯然這些數(shù)符合題意。綜上所述,n的最小值是2005。二.解答下列各題,要求寫出簡要過程9、如圖3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,

6、AC和BD是對角線.圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周,則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米?(z取3.14)解析: 設(shè)三角形BCO以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是S,S等于高為10厘米,底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米,底面半徑是3厘米的圓錐的體積.即:S=××10×-2×××5×=90, 2S=180=565.2(立方厘米). 答:體積是565.2立方厘米.10、將21個整數(shù)分為個數(shù)不相等的六組數(shù),分別計算各組的平均值,那么這六個平均值的和最大是多少?解析:分為個數(shù)不相等的6組,整數(shù)的個數(shù)分別為1、

7、2、3、4、5、6. 應(yīng)當(dāng)將數(shù)值大的分在整數(shù)個數(shù)少的組中.所以,可以如下分組:第一組10第二組98第三組765第四組4321第五組0-1-2-3-4第六組-5-6-7-8-9-10計算它們的平均值的和:答:最大的和是。11、當(dāng)m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000時,從等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10個關(guān)于x和y的二元一次方程,問這10個方程有沒有公共解?如果 有,求出這些公共解.解析：分別取m =0和m =1,得到兩個方程:先求兩個方程的公共解,把它們看作二元一次方程組,解得:x =1,y =-1. 把x=1,y =-1代入(2m+l)

8、x+(2-3m)y+1-5m,值恒為0.此即意味著: 當(dāng)m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000時,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是對應(yīng)的10個方程的的公共解. 答:這些方程的公共解是x=1,y =-1.12、平面上有5條直線,其中任意兩條都不平行,那么在這5條直線兩兩相交所成的角中,至少有一個角不超過36度,請說明理由.解析:在平面上任取一點。,過O點作已知的5條直線的平行線將O為中心的周角分為10個彼此依次相鄰的小的角,這10個小角的和恰等于3600,所以,至少有一個小角不超過360。三.解答下列各題,要求寫出詳細(xì)過程13

9、.如圖4,A、B和C是圓周的三等分點,甲、乙、丙 三只螞蟻分別從A、B 、C三個點同時出發(fā),甲和乙 沿圓周逆時針爬行,丙順時針爬行.己知甲、乙、 丙三只螞蟻爬行的速度之比是8:6:5,求出三只螞蟻 所有的會合地點.解析: 設(shè)圓周周長為3L,甲、乙、丙的速度分別為8、6、5;甲第一次追上乙時爬行的時間=，甲第一次追上乙時爬行的路程=甲第k+1次追上乙時爬行的時間=,甲第k+1次追上乙時爬行的路程=因為3×(l+4k)L是圓周周長的整數(shù)倍,所以,甲總在B點追上乙在時刻,丙爬行的路程=當(dāng)k=1時,上式是。因為丙是從C出發(fā)順時針爬行，所以丙爬行至B處,意味甲、乙、丙能夠在B點會合. 答:甲、乙、丙僅僅在B處或合.14、己知m，n都是正整數(shù),并且， 證明:， 若，求m和n的值.解析:同樣,由題設(shè), ，, 所以,， 即13+n是13×13的因數(shù),13×13只有3個因數(shù):1，13，132所以,13+n=132, n=132-1