立體幾何中的最值問題

1、立體幾何中的最值問題2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱指出，通過考試，讓學(xué)生提高多種能力，其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成。立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，查遍近幾年全國各省市的高考題中，與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現(xiàn)，并且成增長趨勢。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。策略一、公理與定義法SDCQBAPO例1、在正四棱錐S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面邊長為，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為（ ）A. B. C. 2

2、D. 1【解析】如圖1，由于點(diǎn)P、Q分別在線段BD、SC上移動，先讓點(diǎn)P在BD上固定，Q在SC上移動，當(dāng)OQ最小時，PQ最小。過O作OQSC，在RtSOC中，。又P在BD上運(yùn)動，且當(dāng)P運(yùn)動到點(diǎn)O時，PQ最小，等于OQ的長為，也就是異面直線BD和SC的公垂線段的長。故選B。 策略二 建立函數(shù)法 例2 正的邊長為，沿的平行線折疊，使平面平面，求四棱錐的棱取得最小值時，四棱錐的體積。BCPAQxyzo分析：棱的長是由點(diǎn)到的距離變化而變化，因此我們可建立棱與點(diǎn)到的距離的一個函數(shù)關(guān)系式，從而求出棱的最小值，進(jìn)而求出體積?！窘馕觥咳鐖D所示，取中點(diǎn)，顯然，即由平面平面，則平面，如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，因正的

3、邊長為，易知，得即當(dāng)時，評注：對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后不變的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；同時還要仔細(xì)觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。策略三；解不等式法例3 求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關(guān)系?！窘馕觥咳缬覉D所示，設(shè)正三棱錐高=h, 底面邊長為a由正三棱錐性質(zhì)可知=，又知OA=OB=R則在Rt中，V=(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號 ) 正三棱錐體積最大值為 策略四；變量分析法例4 如圖已知在中，PA平面ABC，AEP

4、B交PB于E，AFPC于F，當(dāng)AP=AB=2，當(dāng)變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值。分析：的變化是由與的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時，底面積最大，則體積最大?！窘馕觥縋A平面ABC， PABC 又 BCAC ， PA BC平面PAC， AF， BCAF ，又 AFPC， PC AF平面PBC，AFEF EF是AE在平面PBC上的射影， AEPB， EFPB PE平面AEF在三棱錐P-AEF中，AP=AB=2，AEPB， ， 當(dāng)時，取得最大值為。策略五：展開體圖法 ABDC圖5例5. 如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形

5、，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（ ）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c【解析】如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各AADBCDSSPRQ側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A、D與D在四面體中是同一點(diǎn)，且，A、C、A共線，D、B、D共線，。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€SPQRS，S與S在四面體中是同一點(diǎn)。因而當(dāng)P、Q、R在SS上時，最小，也就是四邊形PQRS周長最小。又，所以最小值。故選B。策略六 布列方程法例6、棱長為

6、2cm的正方形體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應(yīng)該為多大？【解析】：過正方形對角線的截面圖如圖所示， 設(shè)小球的半徑， 在，解得 （cm）為所求。策略七、 極限思想法【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長棱長均為1，探討其側(cè)棱否有最值。解析：如圖第1題：當(dāng)P-ABC為三棱錐時，x的最小極限是P、A重合，取值為0，若繞BC順時針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時，PA為菱形ABPC的對角線長度為第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，

7、側(cè)棱越小。故P、O重合時，側(cè)棱取最小極限值，PO無窮大時，側(cè)棱也無窮大?？芍獌深}所問均無最值。策略八、向量運(yùn)算法例8. 在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點(diǎn)，則GP+PB的最小值為_?！窘馕觥恳訟為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則，那么·PxHGCBAEDFyz式子可以看成x軸正半軸上一點(diǎn)（x，0，0）到xAy平面上兩點(diǎn)、的距離之和，其最小值為。所以GP+PB的最小值為。 規(guī)律小結(jié)建立函數(shù)法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是

8、把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法；二次數(shù)的配方法、公試法； 有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)法等。公理與定義法通常以公理與定義作依據(jù)，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點(diǎn)之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點(diǎn)的連線段中，以它們的公垂線段為短。球面上任意兩點(diǎn)間的連線中以過這兩點(diǎn)與球心的平面所得圓的劣弧長為最短等。如果直接建立函數(shù)關(guān)系求之比較困難，而運(yùn)用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷徑。解不等式法是解最值問題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變量的特殊不

9、等關(guān)系求解：如 最小角定理所建立的不等關(guān)系等等。展開體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易。變量分析法是我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點(diǎn)、線、面，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方法。除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達(dá)到求解最值問題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計算法等等其各法的特點(diǎn)與普遍性，大家可以通過前述實(shí)例感受其精彩內(nèi)涵與真理所在。 考點(diǎn)警示 在解題時，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分