數(shù)列基礎(chǔ)必備修正版

1、數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough數(shù)列基礎(chǔ)必備(修正版)-tobeenough.即： an - an-1 = d(1)其中， d 是. (1) 式稱為“”.： an = a1 + (n - 1)d( 2)= (a1 + an )n： S(3)n2： an = Sn - Sn-1(4 )：求得 Sn等差數(shù)列的求和： Sn = a1 + a2 + . + an正序列： Sn = a1 + a2 + . + an倒序列： Sn = an + an-1 + . + a1上兩式相加得： 2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an-1 ) + . + (an + a1 )上式中，每個圓括號內(nèi)的

2、值都是a2 + an-1 = (a1 + d ) + (an - d ) = a1 + an ，共有n 個.= (a1 + an )n則： 2S = (a + a )n ，即： Sn1nn2等差數(shù)列的求和公式同梯形的：數(shù)列首項a1 相當(dāng)于梯形的上底a ；數(shù)列末項an 相當(dāng)于梯形的下底b ；數(shù)列項數(shù)n 相當(dāng)于梯形的高h(yuǎn) . 那么梯形的面積公式：梯形面積=（上底+下底）´高，即： S = (a + b)h22與等差數(shù)列的求和公式 S = (a1 + an )n 完全一樣，便于記憶.n2第1 頁面積公式倒序相加法注解技巧公式等差數(shù)列的求和公式等差數(shù)列通等差數(shù)列的定義式公差相鄰兩項的數(shù)值之差

3、總相等的數(shù)列稱等差數(shù)列一、等差數(shù)列與倒序相加法數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough：在等差數(shù)列中，由于各項相差是公差d 的倍數(shù)，當(dāng)把求和各項倒序時，與正序的對應(yīng)項相加的和值都相等，等于首項加末項，這樣的處理方法就是“”.an即：= q(5)an-1 其中， q 是. (5) 式稱為“”.： an = a1qn-1(6 )1 - qn： Sn = a1（ q ¹ 1 ）(7 )1 - qSn = nc1（ q = 1 ）： an = Sn - Sn-1(8)：求得 Sn ：等比數(shù)列的求和： S = a+ . + a = a (1 + q + q2 + . + qn-1 )n12n1正位數(shù)

4、列： S =+ a (q + q2 + . + qn-1 )n1錯位數(shù)列： qSa (q + q2 + . + qn-1 ) + a qnn111 - qn1 - q兩式相減得：(1 - q)S = a - a q ，即： S = ann11n1前面的(1) 到(8) 式是最基本的數(shù)列公式，必須熟記.：在數(shù)列求和項中，由于等比數(shù)列的相鄰項之比為公比q ，當(dāng)求和項乘除q 時，除首尾項外的其他項變成與原來項的部分“”，相減可以抵消，這就是“”.第2 頁三、分式數(shù)列與裂項相消法錯位相減法錯位重合小結(jié)錯位相減法注解技巧公式等比數(shù)列的求和公式等比數(shù)列通等比數(shù)列的定義式公比相鄰兩項的數(shù)值之比總相等的數(shù)列稱

5、等比數(shù)列二、等比數(shù)列與錯位相減法倒序相加法小結(jié)數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough1對于數(shù)列： a =，求其前n 項的和 S .nnn + 1 +n采用1由于： a =n + 1 -nnn + 1 +n所以： a1 =a2 =2 -1 ；1 + 1 -1 =2 + 1 -2 =3 -2 ；n .an =n + 1 -上述各項相加，正負(fù)項相消后得：Sn = a1 + a2 + . + an =n + 1 - 11將單項為n + 1 -n ，在求和時大部分相抵，從而得到結(jié)果.n + 1 +n這就是.1再比如，數(shù)列： a =，求其前n 項的和 S.nn(n + 1)n采用11 -1由于： a =nn(

6、n + 1)nn + 1所以： a = 1 -1= 1 - 1 ；111 + 12a = 1 -1= 1 - 1 ；222 + 123；1 -1.a =nnn + 1上述各項相加，正負(fù)項相消后得：第3 頁裂項相消法裂項相消法裂項相消法數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough1S = a + a + . + a = 1 -n12nn + 11為 1 -1將單項，在求和時大部分相抵，從而得到結(jié)果.n(n + 1)nn + 1這就是.：綜上，是將數(shù)列中一項稱為一正一負(fù)兩項，同時相鄰兩項中的一正一負(fù)剛好可以抵消，這樣在計算求和時可以大大簡化的方法稱為“”.= bn： ancn其中bn 為等差數(shù)列，通： bn

7、 = b1 + (n - 1)d ；cn 為等比數(shù)列，通： cn = c1q.n-11é qnb - bd（qn-1 - 1）ùa 的求和公式為： S( q ¹ 1 ) (9)=ê1n +únnq - 1cc - cënnn-1 û：采用“”（ q ¹ 1 ）= b1 + b2+ . + bn數(shù)列： S = a + a + . + an12nccc12n錯位數(shù)列： qSq b1 + q b2 + . + q bn= qb1 + b2 + b3bn cn-1+ . +c1c2cnc1c1c2= qb1 + ( b2

8、- b1 + b3 - b2+ . + bn - bn-1 ) - bn兩式相減得：(q - 1)Snccccc112n-1n即：(q - 1)S = qb1 + ( d + . +) - bnddncccccn-1112n11 -qn-1 qn-1 - 1- 1)而： d + . +ddd+ 1121dd=(1+ . +=×=×qn- 2 )1qcccccc1 -n-111211第4 頁錯位相減法注解數(shù)列通項四、差比組合數(shù)列 1 與錯位相減法裂項相消法小結(jié)裂項相消法數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough1é qbù1é qbùqn-1

9、- 1d（qn-1 - 1）bbd故： S =+×- n ú =+-núê1ê1nq - 1cc qn- 2 q - 1cq - 1cc qn-1 - c qn- 2c qn-1ë 111ûn û111é qnb - bd（qn-1 - 1）ù1即： S =ê1n +únq - 1cc - cënnn-1 û： an = bncn其中bn 為等差數(shù)列，通： bn = b1 + (n - 1)d ；cn 為等比數(shù)列，通： cn = c1q.n-1b c (1

10、 - qn )dc q1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn a 的求和公式為： S= 1 1+1nn1 - q(1 - q)2：采用“”（ q ¹ 1 ）數(shù)列： a = b c = b + (n - 1)dc qn-1 = b c qn-1 + dc (n - 1)qn-1nn n111 11nåk =1令：(k - 1)q = Tk -1n即： T = q + 2q2 + 3q3 + . + (n - 1)qn-1n則： qT = q2 + 2q3 + 3q4 + . + (n - 1)qnn上面兩式相減得：(1 - q(q + q2 + q3 + .

11、+ qn-1 ) - (n - 1)qn= q 1 -q即：(1 - q)T- (n - 1)qn =×1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn n1 - q1 - qq1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn (1 - q)2故： Tn =n而： åi =11 - qb c (1 - qn )dc q1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn 于是： S= 1 1+1n1 - q(1 - q)2第5 頁錯位相減法注解數(shù)列通項五、差比組合數(shù)列 2 與錯位相減法數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenoughb c (1 - qn )dqc - (n

12、 - 1)c + (n - 2)c= 1 1+1nn+1 1 - q(1 - q)2： an = f (n)an-1用an = f (n)an-1 公式進(jìn)行遞推得： an = a1 f (2) f (3). f (n)：一般方法：在保證正值的條件下，兩邊取對數(shù).得： ln an = ln f (n) + ln an-1 ，即： ln an - ln an-1 = ln f (n)則： ln an - ln an-1 = ln f (n) ；ln an-1 - ln an-2 = ln f (n - 1) ；ln a2 - ln a1 = ln f (2)上面各式相加得：ln an - ln a

13、1 = ln f (2) + ln f (3) + . + ln f (n) = ln f (2) f (3). f (n)即： ln an = ln f (2) f (3). f (n)，即： an = f (2) f (3). f (n)a1a1這和用an = f (n)an-1 遞推出來的公式是一樣的.關(guān)鍵是看ln f (k ) （ k Î2, n）或ln f (2) f (3). f (n) 能否化簡，如果 f (2) f (3). f (n) 能夠化簡，直接用 an = f (n)an-1 遞推，并將遞推進(jìn)行到底. 如果ln f (k ) （ k Î2, n ）或

14、ln f (2) f (3). f (n) 可以化簡，則用對數(shù)進(jìn)行化簡.：一般情況下，求連乘(累乘)的遞推數(shù)列最好采用取對數(shù)的方法. 因為對數(shù)將連乘(累乘)變換為連加(累加)，可使問題簡化，這就是“”.： an = Aan-1 + f (n)第6 頁數(shù)列通項七、遞推數(shù)列 2 與待定系數(shù)法連乘對數(shù)法小結(jié)注解數(shù)列通項六、遞推數(shù)列 1 與對數(shù)法數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough即令： an + l f (n) + c = Aan-1 + l f (n - 1) + cbn這樣，記： b = a + l f (n) + c ，則上式化為： b = Ab，即：= An-1nnnbn-1 故，依據(jù)定義式，

15、構(gòu)造的數(shù)列bn 是公比為 A 的等比數(shù)列.：對于包含相鄰項關(guān)系式的這類數(shù)列，一般采用“待定系數(shù)法”將它們設(shè)成，相當(dāng)于采用得到一個新的數(shù)列，新數(shù)列一般就是.線性遞推數(shù)列通項： an+ 2 = Aan+1 + Ban一般可采用，或.：將遞推式化為： an+ 2 + l1an+1 + c1 = c1an+1 + l1an + c1 記： bn+1 = an+ 2 + l1an+1 + c1 ，則上式化為： bn+1 = c1bn ； 即：數(shù)列bn 是公比為c1 的等比數(shù)列.這樣解出的數(shù)列： an+1 = Dan + E再用一次待定系數(shù)法，解出an .由an+1 = Dan + E 化為： an+1

16、+ c2 = c2 (an + c2 )記： dn = an+1 + c2 ，則上式化為： dn+1 = c2dn ；即：數(shù)列dn 是公比為c2 的等比數(shù)列.于是解出an .對于線性遞推數(shù)列，可采用.對于線性遞推數(shù)列an+ 2 = Aan+1 + Ban 的特征方程為： x - Ax - B = 02第7 頁特征方程法特征方程法待定系數(shù)法注解特征方程法二次待定系數(shù)法八、遞推數(shù)列 3 特征方程法等比數(shù)列換元法等比數(shù)列小結(jié)一般方法是用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列.數(shù)列基礎(chǔ)必備-tobeenough方程若有，即 x , x ，則： a = c xn + c x .n12n1 12 2最后由已知的前幾項的數(shù)列元素來確定系數(shù)c1 和c2 .：對于包含相兩個鄰項關(guān)系式的這類數(shù)列，一般采用二次“待定系數(shù)法”，每次都將它們設(shè)成，相當(dāng)于采用二次得到新數(shù)列一般就是. 也可以采用“”求特征根，然后套用公式.“”是在對這列數(shù)列的總結(jié)的基礎(chǔ)上歸納出的一套簡潔方法.= Aan + B ，可以采用不動點法.對于分式遞推數(shù)列： an+ 1 Ca + Dn所謂，即：不動點方程 f ( x0 ) = x0 的解法.對于這類數(shù)列，其不動點方程為： Ax + B = xCx + D可以看出，這也是二次方程.11方程若有，即，則：-= c ；0- xa - xan+10