積分因子的求法及簡單應(yīng)用

1、積分因子的求法及簡單應(yīng)用1. 恰當(dāng)微分方程的概念及判定1.1 恰當(dāng)微分方程的概念我們可以將一階方程寫成微分形式或把x,y平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程 這里假設(shè)M(x,y)，N(x,y)在某矩形域內(nèi)是x，y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，如果方程的左端恰好是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分.即則稱方程為恰當(dāng)微分方程. 1.2 恰當(dāng)微分方程的判定定理1 假設(shè)函數(shù)M(x,y)和N(x,y)在某矩形域內(nèi)是x，y的連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則方程是恰當(dāng)微分方程的充分必要條件是在此區(qū)域內(nèi)恒有.利用定理1我們就可以判定出一個微分方程是否是恰當(dāng)微分方程.2. 積分因子如果對于方程在某

2、矩形域內(nèi)，此時方程就稱為非恰當(dāng)微分方程。對于非恰當(dāng)微分方程，如果存在某個連續(xù)可微的函數(shù)u(x,y)0,使得為恰當(dāng)微分方程，則稱u(x,y)為方程的1個積分因子.注 可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的.定理2 函數(shù)u(x,y)是方程的積分因子的充要條件是3. 積分因子求法舉例3.1 觀察法對于一些簡單的微分方程，用觀察法就可以得出積分因子如: 有積分因子 有積分因子，例1 找出微分方程的一個積分因子.解 將原方程各項重新組合可以寫成由于是的積分因子，也是的積分因子，從而原方程有積分因子.觀察法只運用于求解簡單的微分方程的積分因子，有的可以直接看出，有的需要先將原方程重

3、新組合，再運用觀察法得出.3.2 公式法引理1 微分方程存在形如：，的積分因子的充要條件有： 方程存在僅與x有關(guān)的積分因子的充要條件： ，是僅與x有關(guān)的函數(shù)； 方程存在僅與y有關(guān)的積分因子的充要條件： ，是僅與y有關(guān)的函數(shù)； 方程有形如的積分因子的充要條件： ，是僅與x+y有關(guān)的函數(shù)， ，是僅與x-y有關(guān)的函數(shù)； 方程有形如的積分因子的充要條件： ，是僅與xy有關(guān)的函數(shù)； 方程有形如的積分因子的充要條件： ，是僅與有關(guān)的函數(shù)， ，是僅與有關(guān)的函數(shù)； 方程有形如的積分因子的充要條件： ，是僅與有關(guān)的函數(shù)。若方程中的M(x,y)，N(x,y)以及，的關(guān)系滿足以上6個充要條件之一時，則方程的積分因子u(x,y)都可由一階線性齊次微分方程求得（其中是的函數(shù)）.可以取，由此可得.我們將上述引理歸結(jié)為求積分因子的公式法.例2 求解微分方程的積分因子.解 由于，觀察可得：是關(guān)于xy的函數(shù)故原方程有積分因子：.3.3 分組求積分因子法定理3 若u為方程的一個積分因子，且，則也是方程的積分因子，其中是v的任一連續(xù)可微函數(shù).也可以說微分方程是第一部分的積分因子，即是第二部分的積分因子，即從，中選擇滿足的和，其中，是分別關(guān)于，的連續(xù)可微函數(shù)，這樣是原方程的積分因子.例3 求解微分方程的積分因子.解 將原方程各項重新組合 是第一