第1章應(yīng)用時間序列分析

1、Applied Econometric Time Series應(yīng)用時間序列分析王雪標(biāo)東北財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院第一章 引 言對某些隨機變量來說，在任一時刻都可以對其進行觀測，并得到一系列數(shù)據(jù)。這時稱為連續(xù)隨機過程，記。然而，在經(jīng)濟學(xué)中，大多數(shù)數(shù)據(jù)都是經(jīng)過等時間長度做觀測而得到的。如，每小時，每天，每周，每月，每季度，每年。這時稱為離散時間序列，記。一個時間序列是按照時間參數(shù)而排列的數(shù)值序列。如，每日某種股票的收盤價、每月失業(yè)人數(shù)，每年GDP，等等。對一個隨機過程進行觀測而得到的時間序列可稱做為這個隨機過程的一個實現(xiàn)。時間序列分析的基本目的是利用隨機過程的觀測序列（實現(xiàn)），對這個隨機過程的

2、基本特征、性質(zhì)做推斷。在分析中的第一步通常是形成一個統(tǒng)計量，分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，根據(jù)統(tǒng)計特征，利用數(shù)據(jù)構(gòu)造模型，這個模型與隨機過程的生成機制有類似的性質(zhì)。因而，時間序列經(jīng)濟學(xué)家的主要任務(wù)是利用經(jīng)濟數(shù)據(jù)，建立相對簡單的模型，也可以建立一系列分析方法，將序列分解為趨勢性部分、周期性部分和不規(guī)則性部分，對經(jīng)濟現(xiàn)象進行解釋、假設(shè)檢驗和預(yù)測。 趨勢性方程： 季節(jié)性方程： 無規(guī)則性方程：，為期隨機擾動項。這三個方程是典型的差分方程。一般來說，差分方程是指一個變量的值表示成這個變量滯后值、時間和其它變量的函數(shù)。趨勢和季節(jié)項是時間的函數(shù)，不規(guī)則項是它本身滯后項和隨機擾動的函數(shù)。時間序列分析主要處理、估計含有隨

3、機元素的差分方程，估計單個序列或向量（包含許多相關(guān)的序列）的一些性質(zhì)。最簡單的時間序列是白噪聲（white noise）白噪聲是最基本的時間序列，滿足下面條件：1）處所有信息2）3）處所有信息前兩個條件說明，不存在序列相關(guān)(serial correlation)，第三個條件說明是條件同方差（conditional homoskedasticity）。階自回歸過程在經(jīng)濟系統(tǒng)中通常有大量的時間序列有下面形式：處值=處值的期望+誤差項如果將處值的期望取為期值的固定比例，誤差項取為白噪聲序列。這時就是1階自回歸。如果將處值的期望取為過去值的加權(quán)平均，這時就是高階自回歸。 階自回歸過程（也叫線性差分方程

4、） 或 定義滯后算子B 如下：, , 上述階自回歸過程可寫成, 其中這個自回歸過程的一般解是 這里是齊次方程的解，是特解。這里的滯后算子表示為：，方程 稱為的特征方程。對于一階齊次方程解為， 是依賴于初值的常量。對于二階齊次方程則，可能的解的形式為代回方程得 ，如果是方程的根，則確實是方程的解。可利用初值的條件，確定。 對于一般的p階方程有解這里是方程的根（假設(shè)沒有重根）。如果是復(fù)根，則有共軛對應(yīng)，形為，對于充分大的，解的形式將由所控制，。 如果，解是平穩(wěn)的。如果，解是（發(fā)散的）爆炸性的。 解是平穩(wěn)的充分必要條件是：的根在單位園之外，把它稱為平穩(wěn)性條件。本課程將介紹一維和多維時間序列的建模方法

5、，包括預(yù)測方法；介紹如何估計時間序列的不規(guī)則部分；當(dāng)數(shù)據(jù)顯示波動和相對平滑時，方差如何估計；趨勢的估計（趨勢是確定性的還是隨機性的）；多維向量差分方程的特征性質(zhì)；多維模型中趨勢的估計。雖然時間序列分析的主要內(nèi)容是預(yù)測，由于大量經(jīng)濟變量的動態(tài)變化特征，使我們可以利用時間序列（隨機差分方程）來分析驗證有關(guān)經(jīng)濟理論?？聪旅嫒齻€例子：1 隨機游動假說：隨機游動模型解釋了股票每天價格的變化應(yīng)該是不相關(guān)的、有零均值。如果已知在t天買一份股票，在下一天賣掉可以得到預(yù)期的利潤的話，那么大量投機就會驅(qū)使現(xiàn)價上漲。同樣，如果一份股票預(yù)期要貶值，沒人會想持有這個股票。這個模型認為：股票價格應(yīng)當(dāng)滿足隨機差分方程或 這

6、里 在t天一份股票的價格，有零均值、不相關(guān)的隨機擾動項。 現(xiàn)在考慮更一般的隨機差分方程檢驗隨機游動假設(shè)就是檢驗限制條件，拒絕這個限制等價于拒絕隨機游動假說。2導(dǎo)出（reduced）型方程和結(jié)構(gòu)方程：將一個差分方程組分解成幾個單方程模型是有用的。為了說明這個重要問題，考慮Samuelson (1939)的經(jīng)典模型： （1.1） (1.2)(1.3)這里和表示在t期實際GDP、消費和投資。在這個Keynesian模型中，和是內(nèi)生變量。前一期GDP 和前一期消費被稱為前定的或滯后的內(nèi)生變量。稱為消費和投資的零均值擾動項，是要估計的參數(shù)。第一個方程說明：總產(chǎn)出（GDP）等于消費與投資之和。第二個方程說

7、明：消費等于前一期的GDP的比例加上隨機擾動項。第三個方程是加速原理：投資和消費變化成比例，消費的增長促使了新的投資。誤差項代表了這個方程不能解釋的消費和投資部分。方程（1.1）是結(jié)構(gòu)方程（內(nèi)生變量與其它內(nèi)生變量當(dāng)期之間的關(guān)系），內(nèi)生變量依賴于其它內(nèi)生變量、的現(xiàn)期值。導(dǎo)出型方程是將一個內(nèi)生變量表示成它的滯后值、其它內(nèi)生變量的滯后值、外生變量的現(xiàn)值和滯后值及擾動項的方程。按此說法，消費函數(shù)（1.2）是導(dǎo)出型：現(xiàn)期消費只依賴于滯后收入和隨機擾動項的現(xiàn)期值。投資方程（1.3）不是導(dǎo)出型，因為它依賴于現(xiàn)期消費。為了得到投資的導(dǎo)出型方程，將（1.2）代人投資方程中，得注意，這是投資的導(dǎo)出型方程，但不是唯

8、一的?？梢詫ⅲ?.2）滯后一期獲得，利用這個表達式，導(dǎo)出型投資方程可寫成（1.4）同樣，對于GDP的導(dǎo)出型方程可通過將（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得（1.5）方程（1.5）是導(dǎo)出型方程（一維情況）；可表示成本身的滯后項和擾動項的函數(shù)。一維模型對于預(yù)測是非常有用的，因為，你可以用現(xiàn)值和過去值進行預(yù)測。利用一維時間序列的技術(shù)可以估計（1.5）。一旦你獲得了和的估計，利用到的觀測值，可以預(yù)測序列的所有將來值（本課程也考慮多維模型（所有變量被認為是聯(lián)合內(nèi)生的），也討論由導(dǎo)出模型推出結(jié)構(gòu)型模型的限制條件（可識別條件）。3、誤差修正：遠期和現(xiàn)期交易價格某種商品或金融產(chǎn)品在現(xiàn)期市場中或?qū)淼哪骋?/p>

9、時刻能被買和賣，例如，假設(shè)在現(xiàn)期（t期）市場某種外匯的價格是美元，遠期價格是美元。到t+1期，投機者付美元。因為現(xiàn)期匯率可以的價格賣，投機者能掙的利潤是無偏的遠期利率(UFR)假說認為：投機行為的預(yù)期利潤為零。遠期、現(xiàn)期匯率有下面關(guān)系：(1.6)這里有零均值。在（1.6）中，t期的遠期匯率是t+1期現(xiàn)期匯率的無偏估計。因此，假如你收集到了這兩種數(shù)據(jù)，并估計了回歸方程如果能斷定，且()=0，則UFR假設(shè)成立。當(dāng)=0時，遠期和現(xiàn)期市場被說成是長期均衡。只要偏離時，在下一期將會有一些必要的調(diào)整，以恢復(fù)均衡?？紤]調(diào)整過程：（1.7）（1.8）這里，均值都為零。這兩個方程說明了聯(lián)立調(diào)整機制，這個動態(tài)模型

10、被稱為誤差修正模型。因為，變量與前一期偏離長期均衡的偏差有關(guān)。如果現(xiàn)期匯率等于遠期匯率，現(xiàn)期匯率與遠期匯率預(yù)期不變。如果現(xiàn)期匯率與遠期匯率之間有正偏差，則現(xiàn)期匯率將下降，遠期匯率將上升。4 蛛網(wǎng)模型1確定性蛛網(wǎng)模型：這里t期小麥的需求，t期小麥的供給，t期小麥的市場價格，農(nóng)民對t期小麥的預(yù)期價格。參數(shù)保證均衡價格為正），蛛網(wǎng)模型的關(guān)鍵是農(nóng)民使用上期價格作為市場價格的預(yù)期可得一階常系數(shù)差分方程 初始條件條件收斂性類型收斂不收斂發(fā)散阻尼振蕩交錯振蕩發(fā)散振蕩這個穩(wěn)定條件的經(jīng)濟解釋是：供給曲線的斜率（，需求曲線斜率的絕對值。如果供給曲線比需求曲線更陡峭，即時， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2帶有隨機供給沖擊的蛛網(wǎng)模

11、型下面用具有隨機供給沖擊的蛛網(wǎng)模型來說明農(nóng)產(chǎn)品價格的波動性。如小麥價格由下面供需決定：這里t期小麥的需求t期小麥的供給t期小麥的市場價格農(nóng)民對t期小麥的預(yù)期價格零均值的供給沖擊。參數(shù)保證均衡價格為正）假設(shè)消費者可按市場價任意購買小麥。在種植期，農(nóng)民不知道小麥在收割時的價格，他們的供給依賴于預(yù)期價格，與實際小麥?zhǔn)袌霾煌?，這里不允許有囤積。蛛網(wǎng)模型的關(guān)鍵是農(nóng)民使用上期價格作為市場價格的預(yù)期 點E代表價格和小麥數(shù)量達到長期均衡。在這個隨機模型中的均衡概念不同于傳統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型。如果這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，價格會趨于E點。隨機均衡是指供給沖擊會使系統(tǒng)經(jīng)常偏離E點。長期均衡價格是容易解出的。如果令都為0，且令供

12、給=需求，則可得長期均衡價格為均衡供給量、需求量為 為了分析這個系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)，我們假設(shè)農(nóng)民在t期生產(chǎn)小麥數(shù)量s。但是，有一個負的供給沖擊，使實際生產(chǎn)量為，點1，為了簡單，假設(shè)這供給沖擊的后續(xù)值都為零。（。在t+1期時，。他們生產(chǎn)，點2。但，當(dāng)價格降到時，消費者愿意買，點3。重復(fù)這個過程，一直到達點E。數(shù)量 價格sd 但這個均衡不一定對所有供給、需求曲線都能達到。為了求出穩(wěn)定條件， 或 這是一階線性差分方程。為了得到一般解：如果我們知道在某個初始期的價格，則我們可確定A。因為一般解對每期都成立，所以因而可求出A，可得 （1.9）由此可看出，將振蕩在長期均衡價格上下。如果收斂到零。如果將發(fā)散。這個穩(wěn)定條件的經(jīng)濟解釋是：供給曲線的斜率（，需求曲線斜率的絕對值。如果供給曲線比需求曲線更陡峭，即時， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3 供給沖擊效應(yīng)供給沖擊對小麥價格的當(dāng)期影響效應(yīng)是的偏導(dǎo)