知識(shí)講解空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系基礎(chǔ)

1、空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系【考綱要求】（1）理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義；（2）了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；（3）能運(yùn)用公理、定理和已經(jīng)獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】空間點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系三個(gè)公理、三個(gè)推論平面平行直線(xiàn)異面直線(xiàn)相交直線(xiàn)公理4及等角定理異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)間的距離直線(xiàn)在平面內(nèi)直線(xiàn)與平面平行直線(xiàn)與平面相交空間兩條直線(xiàn)概念垂直斜交空間直線(xiàn)與平面空間兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交三垂線(xiàn)定理直線(xiàn)與平面所成的角【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面的基本性質(zhì)1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用（1）公理1：可用來(lái)證明點(diǎn)在平面內(nèi)或直線(xiàn)在平面內(nèi)；（2）公理2：可用來(lái)確定一個(gè)平面，為平

2、面化作準(zhǔn)備或用來(lái)證明點(diǎn)線(xiàn)共面；（3）公理3：可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線(xiàn)，或證明三點(diǎn)共線(xiàn)，三線(xiàn)共點(diǎn)。2、平行公理主要用來(lái)證明空間中線(xiàn)線(xiàn)平行。3、公理2的推論：（1）經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面；（3）經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。4、點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)、點(diǎn)線(xiàn)共面（1）點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題證明空間點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上。（2）線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題證明空間三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，先證兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線(xiàn)上。要點(diǎn)詮釋?zhuān)鹤C明點(diǎn)線(xiàn)共面的常用方法納入平面法：先

3、確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線(xiàn)確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合?？键c(diǎn)二、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類(lèi)（2）異面直線(xiàn)所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線(xiàn)aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角（或夾角）.范圍：要點(diǎn)詮釋?zhuān)鹤C明兩直線(xiàn)為異面直線(xiàn)的方法：1、定義法（不易操作）2、反證法：先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩直線(xiàn)平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線(xiàn)異面。此法在異面直線(xiàn)的判定中經(jīng)常用到。3、客觀(guān)題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一

4、點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，如圖：考點(diǎn)三、直線(xiàn)和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系1、直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線(xiàn)a 在平面內(nèi)直線(xiàn)a與平面相交直線(xiàn)a與平面平行公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示圖形表示2、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行0兩平面相交斜交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線(xiàn)上垂直有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線(xiàn)上考點(diǎn)四、平行公理、等角定理平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。（但垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)的位置關(guān)系可能平行，可能相交，也可能異面）空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）以空間幾何體為載

5、體，考查邏輯推理能力；（2）通過(guò)判斷位置關(guān)系，考查空間想象能力；（3）應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共面等問(wèn)題；（4）多以選擇、填空的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中。【典型例題】類(lèi)型一、異面直線(xiàn)的判定例1如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)。問(wèn)：（1）AM和CN是否是異面直線(xiàn)？說(shuō)明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線(xiàn)？說(shuō)明理由?！窘馕觥浚?）不是異面直線(xiàn)。理由：連接MN、A1C1、AC。M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MN/ A1C1，又A1A CC1，A1ACC1為平行四邊形。A1C1/AC，得到MN/AC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故

6、AM和CN不是異面直線(xiàn)。（2）是異面直線(xiàn)。證明如下：ABCD-A1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面。假設(shè)D1B與CC1不是異面直線(xiàn)，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾。假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線(xiàn)?！军c(diǎn)評(píng)】（1）易證MN/AC，AM與CN不異面。（2）由圖易判斷D1B和CC1是異面直線(xiàn)，證明時(shí)常用反證法。舉一反三：【變式】已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形【證明】由可以證得所以 又可以由正方體的性質(zhì)證明所以四邊形是平行四邊形類(lèi)型二、平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用例2如圖，四邊

7、形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)。（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如圖，延長(zhǎng)FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，BEAF，B為MA中點(diǎn)。BCAD，B為中點(diǎn)，M與重合，即FE與DC交于點(diǎn)M（），C、D、F、E四點(diǎn)共面?！军c(diǎn)評(píng)】（1）G、H為中點(diǎn)GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：證明D點(diǎn)在EF、GJ確定的平面內(nèi)。方法二：延長(zhǎng)FE、DC分別與AB交于M，可證M與 重合，從而FE與DC相交。類(lèi)型三、異面直線(xiàn)所成的角例3空間四邊形ABCD中

8、，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小?！敬鸢浮咳C的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG/AB，GF/CD，且由AB=CD知EG=FG，GEF（或它的補(bǔ)角）為EF與AB所成的角，（或它的補(bǔ)角）為與所成的角。與CD所成的角為300，=300或1500。由EG=FG知EFG為等腰三角形，當(dāng)=300時(shí)，GEF=750；當(dāng)=1500時(shí)，GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750?！窘馕觥恳驟F與AB所成的角，可經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)作兩條直線(xiàn)的平行線(xiàn)，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過(guò)E或F作AB的平行線(xiàn)。取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角

9、在一個(gè)三角形中求解?！军c(diǎn)評(píng)】（1）求異面直線(xiàn)所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線(xiàn)平移到某個(gè)位置使其與另一條直線(xiàn)相交，或?qū)蓷l直線(xiàn)同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交。平移直線(xiàn)的方法有：直接平移中位線(xiàn)平移補(bǔ)形平移；（2）求異面直線(xiàn)所成角的步驟：作：通過(guò)作平行線(xiàn)，得到相交直線(xiàn)；證：證明相交直線(xiàn)所成的角為異面直線(xiàn)所成的角；求：通過(guò)解三角形，求出該角。類(lèi)型四、點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線(xiàn)A1C與平面BDC1交于O，AC、BD交于點(diǎn)M求證：點(diǎn)C1、O、M共線(xiàn)CODABMB1C1D1A1【證明】A1ACC1確定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直線(xiàn)A1CO O面BC1DO在面A1C與平面BC1D的交線(xiàn)C1M上C1、O、M共線(xiàn)舉一反三：【變式】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若