第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)09330

1、第九章重積分第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的:理解并掌握二重積分的概念;幾何意義; 二重積分存在的條件.熟練掌握二重積分的性質(zhì);能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷、計(jì)算與證明.重點(diǎn): 二重積分的性質(zhì)的運(yùn)用.難點(diǎn): 運(yùn)用性質(zhì)判斷與計(jì)算.教學(xué)方法:直觀教學(xué),講練結(jié)合.教學(xué)過程:一、 二重積分的概念與幾何意義1、【定義】:設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域，其中表示第個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和，如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值時(shí)，這和式的極限存在，且此極限與小區(qū)間的分法以及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記為，即.其中：稱為被積函數(shù),

2、 稱為被積表達(dá)式,稱為積分變量, 稱為面積元素, 稱為積分區(qū)域, 稱為積分和.2、面積元素在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域,則面積元素為 故二重積分可寫為 .3、【二重積分存在定理】 設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則二重積分存在.4、二重積分的幾何意義(1)當(dāng)被積函數(shù)時(shí),二重積分表示以為頂,以為底面的曲頂柱體的體積(2)當(dāng)被積函數(shù)時(shí),二重積分表示曲頂柱體體積的相反數(shù)二、二重積分的性質(zhì)假設(shè)被積函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù).1, 為常數(shù).2.二重積分的線性性：設(shè)為常數(shù)則上述兩式合并為.3(二重積分對(duì)區(qū)域可加性),.4, 為的面積.5(積分不等式)若,則.注意：若在上但等號(hào)不是恒成立，則有.推

3、論: .6.【積分估值定理】設(shè)、分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值，則 .其中為的面積.7.【積分中值定理】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)使得.為的面積.8設(shè)區(qū)域，且與關(guān)于軸對(duì)稱；（1） 當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)即 時(shí)，有 .當(dāng)關(guān)于是奇函數(shù)時(shí)即時(shí)，有.(2) 類似有設(shè)區(qū)域，且與關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)即時(shí)，有 .當(dāng)關(guān)于是奇函數(shù)時(shí)即時(shí)，有 .三、應(yīng)用舉例例1比較與的大小,其中.解：如圖,由于點(diǎn)在上,過點(diǎn)的切線為,那么在上有 ,所以.例2(05.4) 設(shè),其中,則(A)(B)(C)(D)答(A).因?yàn)樵趨^(qū)域上，,且為減函數(shù)，所以 ,從而 ,故 .例3設(shè),當(dāng)( )時(shí),.(a)(b)(c)(d)答

4、(b).根據(jù)二重積分的幾何意義,此積分表示半徑為的上半球體的體積.由得選(b).例4 當(dāng)是由( )圍成的區(qū)域時(shí),.(a)軸,軸及(b),及,(c),(d),答(a,b,c).因?yàn)楸硎痉e分區(qū)域的面積為,故只需考察哪些選項(xiàng)積分區(qū)域的面積為.例5 判斷的正負(fù).解：在區(qū)域上有且等號(hào)不恒成立，所以且等號(hào)不能恒成立， 故 .例6估計(jì)積分值.解：.（注意：積分區(qū)域?yàn)榫匦危├?.試用適當(dāng)符號(hào)連接 .解：在上有,在上.又由 ，由 ，故 .例8 設(shè)，證明 .證明 因?yàn)?，又因?yàn)?，由積分的估值性質(zhì)得 .例9設(shè)（1）若在上有界且可積，則.（2）若在上連續(xù)，則.（1）證明：設(shè)分別為函數(shù)在上的最小值與最大值，則，由積分估值定理知又所以，由夾逼定理得 .（2）解：由積分中值定理知在上連續(xù)，所以 .小結(jié)：1.定義為二重積