積分中值定理的應(yīng)用

1、略談積分中值定理及其應(yīng)用 白永麗 張建中 (平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院)積分中值定理是定積分的一個(gè)重要性質(zhì)，它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關(guān)系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究積分的性質(zhì)，有較高的理論價(jià)值和廣泛的應(yīng)用。本文就其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行討論。一、積分中值定理的內(nèi)容：定理1（積分第一中值定理） 若在上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)使得 （1）定理2（推廣的積分第一中值定理） 若在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則在至少存在一點(diǎn)，使得 （2）證明：（推廣的積分第一中值定理）不妨設(shè)在上則在有其中m,M分別為在上的最小值與最大值，則有：若，則由上式知，從而對(duì)上任何一點(diǎn)，定理都成立。若則由上式得： 則在

2、上至少有一點(diǎn)，使得即：顯然，當(dāng)時(shí)，（2）式即為（1）式二、積分中值定理的應(yīng)用由于該定理可以使積分號(hào)去掉，從而使問題簡(jiǎn)化，對(duì)于證明包含函數(shù)積分和某個(gè)函數(shù)值之間關(guān)系的等式或不等式，?？梢钥紤]使用積分中值定理，在應(yīng)用積分中值定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件，否則，結(jié)論不一定成立。例如：顯然在處間斷。由于但在上，所以，對(duì)任何都不能使.（2）定理中的在上不變號(hào)這個(gè)條件也不能去掉.例如：令：所以，不存在，使(3) 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必須是的內(nèi)點(diǎn)。都有：這也說明了未必是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)。下面就其應(yīng)用進(jìn)行討論。1、估計(jì)定積分的值例1、估計(jì)的值解：由推廣的積

3、分第一中值定理：，其中 即：2、求含有定積分的極限例2、求解：若直接用中值定理 因?yàn)槎荒車?yán)格斷定。其癥結(jié)在于沒有排除，故采取下列措施：，其中為任意小的正數(shù)。對(duì)第一個(gè)積分使用推廣的積分第一中值定理，有：而第二個(gè)積分：由于的任意性知其可任意小。注：求解此類問題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號(hào)。在應(yīng)用該定理時(shí)，要注意中值不僅依賴于積分區(qū)間，而且還依賴于限式中自變量的趨近方式。3、證明中值的存在性命題例3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：由積分中值定理得： 注：在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時(shí)，一般應(yīng)用按積分中值定理。4、證明積分不等式例4、求證證明: 其中,于是由即可獲證.注：由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì),故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí)，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)，若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理。5證明函數(shù)的單調(diào)性例5、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， ,試證：在內(nèi),若為非減函數(shù)，則為非增函數(shù).證明：對(duì)上式求導(dǎo)，得： 利用積分中值定理，得：若為非減函數(shù)，則，故為非增函數(shù)。參考文獻(xiàn)：1、數(shù)學(xué)分析劉玉璉,傅沛仁編，高等教育出版社，上海 1988年出版。2、高等數(shù)學(xué)解題方法指導(dǎo)，馬玲主編，大連理工大學(xué)出版社，大連 1996年出版。3、高等數(shù)學(xué)題庫(kù)精編，薛嘉慶主編，東北大