矩陣在圖像處理方面的應(yīng)用

1、矩陣大作業(yè) 一、 簡介 矩陣理論是數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十分廣泛，是數(shù)學(xué)和其他學(xué)科（如數(shù)值分析、概率統(tǒng)計、優(yōu)化理論以及電學(xué)等）的基礎(chǔ)，在科學(xué)與工程計算方面有著廣泛的應(yīng)用，例如在數(shù)字圖像處理中就運用到大量的矩陣知識。數(shù)字圖像處理(Digital Image Processing)是通過計算機對圖像進行去除噪聲、增強、復(fù)原、分割、提取特征等處理的方法和技術(shù)。而對于數(shù)字圖像我們都很熟悉，我們從計算機上看到的圖片，雷達圖像，以及人體MRI圖像等等都是數(shù)字圖像。二、 涉及的理論知識及應(yīng)用矩陣在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用：我們可以將一幅圖像定義為一個二維的函數(shù)f（x，y），其中x，y表示空間坐標(biāo)，在空間坐標(biāo)（

2、x，y）點上的幅值f表示該點圖像的強度或者灰度。對于數(shù)字圖像而言，空間坐標(biāo)x、y和幅值f都是有限的、離散的，這樣的話，一幅圖像就可用一個二維函數(shù)表示。對于模擬圖像不利于計算機進行處理，所以要將模擬圖像轉(zhuǎn)換成數(shù)字圖像，主要包括：取樣和量化。取樣就是講x，y坐標(biāo)值離散化，而量化就是將幅度值離散化，這樣取樣和量化的結(jié)果就是一個矩陣，可以表示為： 更一般的矩陣表達式為：圖像壓縮的目的是減少圖像遺留在數(shù)據(jù)中的多余信息，使之得到更高效格式存儲和數(shù)據(jù)傳輸，而數(shù)據(jù)可以壓縮的原因就在于數(shù)據(jù)中存在冗余信息。以數(shù)學(xué)的觀點來看，這一過程實際上就是將二維像素陣列變換為一個在統(tǒng)計上無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)集合，圖像壓縮是指以較少的比

3、特有損或無損地表示原來的像素矩陣的技術(shù)，也稱圖像編碼。圖像壓縮可以是有損數(shù)據(jù)壓縮也可以是無損數(shù)據(jù)壓縮。對于如繪制的技術(shù)圖、圖表或者漫畫優(yōu)先使用無損壓縮，這是因為有損壓縮方法，尤其是在低的位速條件下將會帶來壓縮失真。如醫(yī)療圖像或者用于存檔的掃描圖像等這些有價值的內(nèi)容的壓縮也盡量選擇無損壓縮方法。有損方法非常適合于自然的圖像，例如一些應(yīng)用中圖像的微小損失是可以接受的（有時是無法感知的），這樣就可以大幅度地減小位速。2.矩陣的奇異值分解理論在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用(1)矩陣的奇異值設(shè)，,是的特征值，是的特征值，都是實數(shù)，假設(shè)；則特征值與之間的關(guān)系為，（i=1,2，,r）則是A的正的奇異值，若A為正規(guī)矩

4、陣，則A的奇異值是A 的 特征向量的模長。（2）矩陣的奇異值分解（SVD）若，是A的r個正奇異值，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，滿足 其中，為奇異對角陣。U滿足為對角陣，V滿足為對角陣，U的第i列為A的對應(yīng)于奇異值的左奇異向量，V的第i列為A的對應(yīng)于奇異值的右奇異向量，它們的每一列均為單位向量，且各列之間互相正交。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法，是現(xiàn)代數(shù)值分析的最基本的方法之一（3）奇異值分解的圖像性質(zhì) 每一個矩陣的奇異值（）是唯一的，它將矩陣數(shù)據(jù)的特征和分布很明顯的算了出來。矩陣的奇異值分解可以這樣理解：將當(dāng)做一種線性變換，它將m維空間的點映射到了n維的空間。通過奇異值分解，

5、被分割成3部分，分別為U、和V。A為數(shù)字圖像，可視為二維時頻信息，可以將A的奇異值分解公式寫成其中和分別為U和V的列向量，為A的非零奇異值，因此上述公式所表示的數(shù)字圖像A可以看成是r個秩為1的子圖的相加的結(jié)果，奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時頻信息，對應(yīng)的和可分別視為頻率矢量和時間適量，則數(shù)字圖像A中的視頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論，奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣F-范數(shù)相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則有矩陣的奇異值分解可得綜上可知，數(shù)字圖像A的紋理和幾何意義上的信息大都集中在U、中，而中的奇異值通常代表了圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表了圖像的能量

6、信息，因此具有很高的穩(wěn)定性。設(shè)，,是矩陣A一個擾動矩陣，A和B的非零奇異值分別記為：和，且，是中最大的一個，則有通過上面闡述可知，圖像在被小的擾動所干擾的時候擾動矩陣的最大奇異值一般情況下都大于圖像矩陣奇異值的變換，因此圖像奇異值的穩(wěn)定性很強；性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性設(shè)，矩陣A的奇異值為（），矩陣kA的奇異值為（i=1,2，,r），則有。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性設(shè)，矩陣A的奇異值為（），。如果是酉矩陣，則矩陣A的奇異值與矩陣A的奇異值相同。性質(zhì)4：設(shè)，若，則所以可得由上式可以得出，在F-范數(shù)議意義下，是在空間中的將秩最佳逼近。那么，可以根據(jù)需要保留s個大于某個閾值而舍棄其余（）個小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似，而這就是奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮的理論基礎(chǔ)。三結(jié)論綜上可知，通過矩陣的奇異值分解來進行圖像壓縮的方法是有效的，具有很好的實用價值，除此之外，矩陣知識在圖像加密、圖像變換中都有大量的應(yīng)用。事實上