第六章計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

1、第六章 虛擬變量的回歸模型第一部分 學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求 本章主要介紹虛擬變量的基本概念及其應(yīng)用。需要掌握并理解以下內(nèi)容：（1） 虛擬變量的基本概念、虛擬變量分別作為解釋變量和被解釋變量的情形、虛擬變量回歸模型的類型和解釋變量個(gè)數(shù)選取規(guī)則；（2） 定量變量與不同數(shù)量定性變量（一對(duì)一、一對(duì)多和多對(duì)多）虛擬變量模型；（3） 應(yīng)用虛擬變量改變回歸直線的截距或斜率；（4） 分段線性回歸；（5） 應(yīng)用虛擬變量檢驗(yàn)回歸模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、傳統(tǒng)判別結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的方法及存在的缺陷、虛擬變量法比較兩個(gè)回歸方程的結(jié)構(gòu)方法。第二部分 練習(xí)題一、解釋下列概念：1虛擬變量2方差分析模型（ANOVA）3協(xié)方差模型（ANOCVA）4

2、基底5級(jí)差截距系數(shù)6虛擬變量陷阱二、簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題：1虛擬變量在線性回歸模型中的作用是什么？舉例說(shuō)明。2回歸模型中虛擬變量個(gè)數(shù)的選取原則是什么？為什么？3如果現(xiàn)在有月度數(shù)據(jù)，在對(duì)下面的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，你將引入幾個(gè)虛擬變量？ A) 一年中的每月均呈現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)趨勢(shì)； B) 只有雙數(shù)月份呈現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)趨勢(shì)。4如果現(xiàn)在讓你著手檢驗(yàn)上海和深圳兩個(gè)股票市場(chǎng)在過(guò)去5年內(nèi)的收益率是否有顯著差異，如何使用虛擬變量進(jìn)行？三、考慮如下模型： 其中，對(duì)前20個(gè)觀察值取0，對(duì)后30個(gè)觀察值取1。已知。（1） 如何解釋和？（2） 這兩組的均值分別是多少？（3） 已知。如何計(jì)算的方差？四、考慮如下模型： 其中代表一位大

3、學(xué)教授的年薪；為從教年限；為性別虛擬變量。 考慮定義虛擬變量的三種方式： （1）對(duì)男性取值1，對(duì)女性取值0； （2）對(duì)女性取值1，對(duì)男性取值2； （3）對(duì)女性取值1，對(duì)男性取值1； 對(duì)每種虛擬變量定義解釋上述回歸模型。是否有某個(gè)方法比另外的更好？說(shuō)明你的理由。五、下表給出了1983年至1986年期間服裝季度銷售額的原始數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元）：年度季度123419834190492768436912198445215522535072041985490259125972798719865458635965018607考慮如下兩個(gè)模型： （A） （B） 其中，：第一季度：第二季度：第三季度：第四季度

4、 回答以下問(wèn)題：（1） 估計(jì)模型（A）；（2） 解釋，；（3） 如何消除模型（A）中的季節(jié)性？（4） 模型（B）與模型（A）有什么區(qū)別？（5） 估計(jì)模型（B）；（6） 比較兩個(gè)模型的結(jié)果。六、考慮如下關(guān)于期望工作時(shí)間的對(duì)1543對(duì)夫婦調(diào)查后的回歸結(jié)果（比率放在括號(hào)內(nèi)）： 其中為妻子希望每年花在工作上的小時(shí)數(shù)，以每年工作的小時(shí)數(shù)加上花在找工作上的時(shí)間之和計(jì)算；：妻子稅后真實(shí)時(shí)薪；：丈夫在上一年度稅后真實(shí)收入；：妻子的年齡；：妻子的受教育年數(shù)；：態(tài)度變量。若被調(diào)查者愿意工作而且其丈夫也同意其工作則取值1，否則為0；：態(tài)度變量。若被調(diào)查者的丈夫支持其工作則取值1，否則為0；：年齡低于6歲的子女?dāng)?shù)；：

5、年齡在613歲的子女?dāng)?shù)；回答以下問(wèn)題：（1） 各非虛擬回歸元系數(shù)的符號(hào)有經(jīng)濟(jì)含義嗎？說(shuō)明你的觀點(diǎn)。（2） 如何解釋虛擬變量和？這些虛擬變量統(tǒng)計(jì)顯著嗎？（3） 在這項(xiàng)研究中，一位婦女的年齡和受教育程度不是影響其勞動(dòng)力參與決策的顯著因素，你認(rèn)為這是為什么？七、設(shè)有個(gè)高中畢業(yè)生和個(gè)大學(xué)畢業(yè)生構(gòu)成總數(shù)為的總樣本?？紤]如下回歸模型： 其中，表示以美元度量的小時(shí)工資；為虛擬變量，對(duì)大學(xué)畢業(yè)生取值為1，對(duì)高中畢業(yè)生取值為0。試?yán)霉剑C明和。其中下標(biāo)具有如下含義：表示高中畢業(yè)生，表示大學(xué)畢業(yè)生。八、在51個(gè)學(xué)生（其中男生36人，女生15人）的體重（W）對(duì)身高（H）的回歸分析中，得到下面的結(jié)果： 1 2 3

6、其中體重的單位為磅，身高的單位為英寸，為乘積或差別斜率虛擬變量，為性別虛擬變量：參考下面的相關(guān)矩陣，回答問(wèn)題（1）（6）。解釋：例如，身高和性別的相關(guān)系數(shù)是，性別和交互虛擬變量的相關(guān)系數(shù)是（1） 你將選擇哪個(gè)回歸？1還是2，為什么？在模型2與3中呢？（2） 如果實(shí)際較為理想的回歸是2，那么選擇1說(shuō)明犯了什么錯(cuò)誤？（3） 回歸2中的性別虛擬變量說(shuō)明了什么？（4） 回歸模型2中差別截距是統(tǒng)計(jì)顯著的，但在模型3中差別斜率卻是統(tǒng)計(jì)不顯著的。如何解釋這種變化？（5） 在模型2與3中，變量身高的系數(shù)幾乎相等，但性別虛擬變量的系數(shù)相差很大。對(duì)此你有什么想法？九、Paul W. Bauer 和Thomas J

7、. Zlatoper在研究決定開往Cleveland的直接機(jī)票的因素中得到下面的回歸結(jié)果(表的形式)用以解釋單程頭等艙、二等艙和經(jīng)濟(jì)艙機(jī)票（因變量是單程機(jī)票）的價(jià)格。解釋變量頭等艙二等艙經(jīng)濟(jì)艙Carriers19.5023.0017.50=(0.878)(1.99)(3.67)Carriers2.794.002.19(0.632)(1.83)(2.42)Miles0.2230.2770.0791(5.13)(12.00)(8.24)Miles0.00000970.0000520.000014(0.495)(4.98)(3.23)POP0.005980.001140.000868(1.67)(4

8、.98)(1.05)INC0.001950.001870.00411(0.686)(1.06)(6.05)Corp3.621.221.06(3.45)(2.51)(5.22)Pass0.0008180.0002750.853(0.771)(0.527)(3.93)Stop12.507.643.58(1.36)(2.13)(2.60)Slot7.130.74617.70(0.299)(0.067)(3.82)Hub11.304.183.500.90(1.81)(1.62)Meal11.200.9451.80(1.07)(0.177)(0.813)EA18.305.8010.60(1.60)(0.

9、775)(3.49)CO66.4056.504.17(5.72)(7.61)(1.35)常數(shù)項(xiàng)212.00126.00113.00(5.21)(5.75)(12.40)0.8630.8710.799觀察值個(gè)數(shù)163323323數(shù)據(jù)來(lái)源：Paul W. Bauer 和Thomas J. Zlatoper經(jīng)濟(jì)評(píng)論（Economic Review）, Cleveland聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行，第25卷，第一期，1989年，表2、3、4，第67頁(yè)。解釋變量定義如下：Carriers 飛機(jī)數(shù)量 Pass 總乘客人數(shù) Miles 從出發(fā)地到Cleveland的距離 Pop 出發(fā)地人口INC 出發(fā)地人均收入 Corp

10、 潛在商業(yè)交通代理 Slot Stop 中轉(zhuǎn)站數(shù) Meal Hub EA CO （1） 在這個(gè)模型中，引入變量載客人數(shù)和載客人數(shù)的平方為解釋變量的理論依據(jù)是什么？載客人數(shù)符號(hào)為負(fù)和載客人數(shù)平方符號(hào)為正表明了什么？（2） 引入距離和距離的平方為解釋變量的理論依據(jù)是什么？觀察到的這些變量的符號(hào)有經(jīng)濟(jì)意義嗎？（3） 觀察到的人口變量符號(hào)為負(fù)，這有什么含義？（4） 為什么在所有的回歸結(jié)果中人均收入變量符號(hào)都是負(fù)的？（5） 為什么“Stop”變量在“頭等艙”和“二等艙”回歸方程中的符號(hào)為正？而在“經(jīng)濟(jì)艙”回歸方程中符號(hào)為負(fù)？（6） 虛擬變量“洲際航線”的符號(hào)始終為負(fù)。這表明了什么？（7） 估計(jì)每個(gè)回歸系

11、數(shù)的顯著性，分別用單邊和雙邊檢驗(yàn)。（8） 為什么虛擬變量“Slot”僅僅在“經(jīng)濟(jì)艙”回歸方程中是統(tǒng)計(jì)顯著的？（9） 由于“頭等艙”和“經(jīng)濟(jì)艙”的觀察值的個(gè)數(shù)相同，能否將他們加總起來(lái)（646個(gè)）作一個(gè)回歸方程？如果可以，如何區(qū)別“二等艙”和“經(jīng)濟(jì)艙”的觀察值？（10） 對(duì)上表中的回歸結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。十、1966年的第四季度，當(dāng)時(shí)的英國(guó)勞工黨政府放松了國(guó)民保險(xiǎn)法案的原則，以統(tǒng)一收費(fèi)率和救濟(jì)金與先前收入相關(guān)相結(jié)合的混合體系取代原來(lái)短期失業(yè)救濟(jì)金的統(tǒng)一收費(fèi)率體系，從而提高了失業(yè)救濟(jì)金水平。根據(jù)以下數(shù)據(jù)：年份和季度失業(yè)率，崗位空缺率，年份和季度失業(yè)率，崗位空缺率，19581.1950.5100019651

12、.2010.9970019591.8760.541001.1921.035001.8420.541001.2591.040001.7500.690001.1921.086001.6480.7710019661.0891.1010019601.4500.836001.1011.058001.3930.908001.2430.987001.3220.968001.6230.81900.8191.2600.9980019671.8210.74010.74019611.1710.968001.9900.66110.6611.1820.964002.1140.66010.6601.2210.952002

13、.1150.69810.6981.3400.8490019682.1500.69510.69519621.4110.748002.1410.73210.7321.6000.658002.1670.74910.7491.7800.562002.1070.80010.8001.9410.5100019692.1040.78310.78319632.1780.510002.0560.80010.8002.0670.544002.1700.79410.7941.9420.568002.1610.79010.7901.7640.6770019702.2250.75710.75719641.5320.79

14、4002.2410.74610.7461.4550.838002.3660.73910.7391.4090.885002.3240.70710.7071.2960.9780019712.5160.58310.5832.9090.52410.524說(shuō)明：上表中1971年數(shù)據(jù)為初步估計(jì)值。資料來(lái)源：Damodar Gujarati, “The Behavior of Unemployment and Unfilled Vacancies: Great Britain, 1958-1971,” The Economic Journal, vol. 82, March 1972, p. 202.考慮如

15、下的回歸結(jié)果： 其中失業(yè)率，崗位空缺率，時(shí)間，以季度度量（1） 失業(yè)率和崗位空缺率的關(guān)系有何先驗(yàn)預(yù)期？（2） 保持崗位空缺率不變，在從1966年第4季度開始的期間內(nèi)，平均失業(yè)率為多少？它與1966年第4季度之前的期間有顯著差異嗎？（3） 1966年第4季度之前和之后的斜率在統(tǒng)計(jì)上不同嗎？（4） 根據(jù)這項(xiàng)研究，能斷定慷慨的失業(yè)救濟(jì)金導(dǎo)致更高的失業(yè)率嗎？經(jīng)濟(jì)上是否講得通？（5） 根據(jù)表中得數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)1958至1966和1966至1971兩個(gè)子區(qū)間誤差方差相同的假設(shè)。十一、下表是美國(guó)1985年第1季度至1991年第4季度給出的稅后公司利潤(rùn)和凈利潤(rùn)（億美元）的季度數(shù)據(jù)。年份和季度紅利稅后利潤(rùn)年份和季度

16、紅利稅后利潤(rùn)198587.2125.31988117.5213.4198590.8124.81988121.0226.0198594.1129.81989124.6221.3198597.4134.21989127.1206.21986105.1109.21989129.1195.71986110.7106.01989130.7203.01986112.3110.01990132.3199.11986111.0119.21990132.5193.71987108.0140.21990133.8196.31987105.5157.91990136.2199.01987105.1169.11991

17、137.8189.71987106.3176.01991136.7182.71988109.6195.51991138.1189.61988113.3207.21991138.5190.3資料來(lái)源：U.S. Department of Commerce, Bureau of Economic Analysis, Business Statistics, 1963-1991, dividend and after-tax profits are in billions of dollars and are obtained from p.A-110.（1） 做紅利對(duì)稅后利潤(rùn)的回歸。二者之間是否相

18、關(guān)？（2） 如果紅利支付呈現(xiàn)出季節(jié)變動(dòng)的趨勢(shì)，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)奶摂M變量并對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。在建立的模型當(dāng)中，如何考慮截距和斜率會(huì)隨季節(jié)的不同而變化？（3） 在不考慮季節(jié)因素時(shí)，何時(shí)作對(duì)的回歸？第三部分 參考答案一、解釋概念：1虛擬變量：虛擬變量、定性變量、指標(biāo)變量、名義變量和二分變量都指的是一種取值為0或1的變量。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，有一類變量如季節(jié)、民族、性別等都可能成為影響某個(gè)因變量的重要因素，但這些變量反映的并不是數(shù)量，而是某種性質(zhì)或?qū)傩裕{入定量性質(zhì)的回歸模型，必須先定量化。因此我們可以構(gòu)造一種特殊變量，只有1和0兩種取值，并且規(guī)定當(dāng)變量值取1是，表明具有某種性質(zhì)或?qū)傩?，?時(shí)則表明不存在。

19、由于這種變量是人為虛構(gòu)出來(lái)的，所以稱為虛擬變量。2方差分析模型（ANOVA）：一個(gè)只含有虛擬變量或定性解釋變量的回歸模型稱為方差分析模型（Analysis-of-Variance，簡(jiǎn)記為ANOVA）。例如，在研究性別與收入關(guān)系時(shí)，可以定義虛擬變量，線性回歸模型 （）就是一個(gè)方差分析模型。3協(xié)方差模型（ANOCVA）：同時(shí)包含定量和定性解釋變量的回歸模型叫做協(xié)方差分析模型（Analysis-of-co-Variance，簡(jiǎn)記為ANCOVA）。例如，將上例更改為如下形式：其中表示工齡，其他含義不變。該協(xié)方差模型含有一個(gè)定量變量和一個(gè)定性變量。4基底：虛擬變量被富裕0值的那個(gè)類別通常被稱為基底，主要

20、是因?yàn)樗怯靡院推渌悇e做比較的基礎(chǔ)。例如，上述模型中，女性就是被用來(lái)做基底的，截距項(xiàng)就是基底類的截距。這是因?yàn)閷?duì)進(jìn)行回歸時(shí)，截距是。需要注意的是，不管用哪一類作為基底，都不過(guò)是一種選擇的結(jié)果，這種選擇有時(shí)是根據(jù)某種事先考慮而做出的。5級(jí)差截距系數(shù)：附著于虛擬變量的系數(shù)，稱為級(jí)差截距系數(shù)，表示取值為1的類別的截距值和基底類的截距值相比有多少差別。6虛擬變量陷阱：引入的虛擬變量個(gè)數(shù)應(yīng)該比研究的類別少一個(gè),否則就會(huì)造成完全多重共線,就是通常說(shuō)的虛擬變量陷阱。二、簡(jiǎn)答題：1考慮到回歸分析中定性變量的作用，引入虛擬變量后可以讓線性回歸模型成為一種極其靈活的工具。例如，在研究性別與收入關(guān)系時(shí)，可以定義虛

21、擬變量，對(duì)于線性回歸模型 （）若假設(shè)成立，則說(shuō)明收入與性別關(guān)系不大，否則說(shuō)明收入與性別相關(guān)。虛擬變量不僅可以作為解釋變量，也可以作為被解釋變量。例如，銀行在研究是否給企業(yè)貸款時(shí)，結(jié)果只有貸或者不貸。這種情況就可以用一個(gè)虛擬變量作為被解釋變量來(lái)表示。2虛擬變量個(gè)數(shù)的選取的一般原則是：如果一個(gè)定性變量有個(gè)類別，則只需引入個(gè)變量。例如：為了區(qū)分兩個(gè)類別（如男和女），我們只需要引入一個(gè)虛擬變量。這是由于性別只有兩種可能，如果指男性，則我們可以知道指女性。如果不遵從這個(gè)原則，就將掉進(jìn)虛擬變量陷阱，并陷入完全多重共線性的境地。3在一年中每月均呈現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)趨勢(shì)的情況下，引入11個(gè)虛擬變量；在只有雙數(shù)月份呈

22、現(xiàn)季節(jié)性波動(dòng)趨勢(shì)的情況下，引入5個(gè)虛擬變量。 4分別建立如下回歸方程：上海：；深圳：。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)是否顯著不為0。建立如下含有虛擬變量的回歸方程：。其中是一個(gè)解釋變量，也是虛擬變量。對(duì)復(fù)合方程進(jìn)行回歸，直接對(duì)解釋變量實(shí)施t檢驗(yàn)即可。三、（1）和（2）給出了前20次觀測(cè)中的期望值，給出了后30次觀測(cè)中的期望值的變化量，而后30次觀測(cè)中的實(shí)際期望值為。 （3）根據(jù)隨機(jī)變量之和的方差計(jì)算公式，我們有 首先計(jì)算得，然后利用有關(guān)雙變量模型的公式，可以得到： 這兩個(gè)變量之間得協(xié)方差為15，綜上可得四、（1）男教授： 女教授： 保持不變，男性平均薪水高出（2）男教授： 女教授： 保持不變，男性平均薪水高出

23、（3）男教授： 女教授： 保持不變，男性平均薪水高出由于虛擬變量的度量是任意的，所以沒有哪一種方法會(huì)比其他方法更好。對(duì)于給定的數(shù)據(jù)，答案不會(huì)隨著虛擬變量尺度的變化而變化。五、（1） （2）：第一季度的平均銷售額為4767.8萬(wàn)元；：第二季度比第一季度的銷售額平均高出912.25萬(wàn)元；：第三季度比第一季度的銷售額平均高出1398.8萬(wàn)元；：第二季度比第一季度的銷售額平均高出2909.8萬(wàn)元； （3）為了消除數(shù)據(jù)的季節(jié)性，只需將每季度的原始數(shù)據(jù)減去相應(yīng)季度虛擬變量的系數(shù)估計(jì)值即可。 （4）模型（B）對(duì)每一季度都使用了虛擬變量，但為了避免虛擬變量陷阱問(wèn)題而抑制了常數(shù)項(xiàng)。 （5）（6）對(duì)各季度的平均銷

24、售額的估計(jì)值一樣。六、（1）根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，預(yù)期和的系數(shù)為正；、和的系數(shù)為負(fù)；的系數(shù)可正可負(fù)，取決于妻子的年齡和子女?dāng)?shù)量?？赡苣挲g與6歲以下子女?dāng)?shù)或613歲子女?dāng)?shù)之間的交互項(xiàng)更有助于闡明年齡與意愿工作小時(shí)數(shù)之間的關(guān)系。（2）保持所有其他因素不變，預(yù)計(jì)意愿工作小時(shí)數(shù)會(huì)高于（共同的）截距1286小時(shí)。但這個(gè)系數(shù)的符號(hào)為負(fù)，不過(guò)由于它在統(tǒng)計(jì)上不顯著，所以我們就對(duì)（平均）的影響也無(wú)話可說(shuō)。至于，其符號(hào)預(yù)期為正，結(jié)果也的確如此。不僅如此，它還是統(tǒng)計(jì)顯著的，因?yàn)橹迪喈?dāng)高。（3）可能是由于年齡和受教育程度之間以及它們與子女?dāng)?shù)之間的共線性所致。還要注意的是這個(gè)模型并不包括丈夫完成的受教育年限。七、根據(jù)公式，我們

25、知道： 現(xiàn)在很容易驗(yàn)證；若，則，若，則。方程中的分母可以寫成： 方程中的分子可以寫成： 所以有，代入截距公式即可得到。八、（1） 在1和2中選擇2。因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，不同性別的體重會(huì)有較明顯的差異，因而需要把性別考慮進(jìn)來(lái)；（2） 在2和3中選擇2，因?yàn)槟Ｐ?中、都不是顯著的；（3） 模型設(shè)定偏差；（4） 說(shuō)明了性別因素對(duì)體重的影響；（5） 說(shuō)明性別因素會(huì)影響體重，但不一定會(huì)對(duì)斜率產(chǎn)生影響；（6） 模型2認(rèn)為身高系數(shù)不受性別不同的影響，但不同性別的截距是不同的；模型3則認(rèn)為性別不同不但影響截距，對(duì)身高系數(shù)也有影響。九、（1） 理論依據(jù)：飛機(jī)數(shù)量的增多，會(huì)使總體機(jī)票價(jià)格下降，但下降的幅度并不是線性

26、的，而是曲線的。飛機(jī)數(shù)量系數(shù)為負(fù)表明其與機(jī)票價(jià)格負(fù)相關(guān)，平方的系數(shù)為負(fù)表明其與價(jià)格之間的關(guān)系不是線性的。（2） 理論依據(jù)：機(jī)票價(jià)格隨距離加長(zhǎng)而上升，但并不是線性上升，上升趨勢(shì)是逐漸變緩的。（3） 機(jī)票價(jià)格隨乘客人數(shù)增多而下降。（4） 人均收入高，乘坐飛機(jī)人數(shù)會(huì)更多，有助于攤低成本，從而機(jī)票價(jià)格會(huì)下降。（5） 中轉(zhuǎn)站數(shù)多表明短途旅客多。由于路程短，經(jīng)濟(jì)艙機(jī)票就賣的較多，而頭等艙和二等艙則相反。（6） 表明洲際航線價(jià)格較低。（7） 提示：由于觀察值的個(gè)數(shù)足夠大，因此在5的顯著水平下，可以用正態(tài)分布近似t分布。（8） 說(shuō)明此項(xiàng)服務(wù)只對(duì)經(jīng)濟(jì)艙有影響。（9） 可以。設(shè)即可。（10） 從表中的回歸結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于頭等艙機(jī)票的價(jià)格，只有從出發(fā)地到Cleveland的距離（Miles）、潛在商業(yè)交通代理（Corp）、是否為洲際航線（CO）3個(gè)因素對(duì)其有明顯的影響，而其他因素我們均不能拒絕其偏