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1、第 十 章 壓桿穩(wěn)定§101 壓桿穩(wěn)定的概念一、 壓桿穩(wěn)定性的概念1、下面先以小球為例介紹平衡的的三種狀態(tài):如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置,當(dāng)干擾消除以后,它能夠回到原有的平衡位置,這種平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài),如圖101a 所示;如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置,當(dāng)干擾消除以后,它不能夠回到原有的平衡位置,但能夠在附近新的位置維持平衡,原有的平衡狀態(tài)稱為隨遇平衡狀態(tài),如圖101b 所示;如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置,當(dāng)干擾消除以后,它不但不能回到原有的平衡位置,而且繼續(xù)離去,那么原有的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài),如圖101c 所示。圖

2、 101 (a)(b)(c)2、壓桿穩(wěn)定性的概念細(xì)長直桿兩端受軸向壓力作用,其平衡也有穩(wěn)定性的問題。設(shè)有一等截面直桿,受有軸向壓力作用,桿件處于直線形狀下的平衡。為判斷平衡的穩(wěn)定性,可以加一橫向干擾力,使桿件發(fā)生微小的彎曲變形(圖102a),然后撤消此橫向干擾力。當(dāng)軸向壓力較小時,撤消橫向干擾力后桿件能夠恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)(圖102b),則原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài);當(dāng)軸向壓力增大到一定值時,撤消橫向干擾力后桿件不能再恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)(圖102c),則原有的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。壓桿由穩(wěn)定平衡過度到不穩(wěn)定平衡時所受軸向壓力的臨界值稱為臨界壓力,或簡稱臨界力,用Fcr表示。當(dāng)

3、F=Fcr時,壓桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài),稱為臨界平衡狀態(tài),這種狀態(tài)的特點是:不受橫向干擾時,壓桿可在直線位置保持平衡;若受微小橫向干擾并將干擾撤消后,壓桿又可在微彎位置維持平衡,因此臨界平衡狀態(tài)具有兩重性。壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時,稱為喪失穩(wěn)定性,簡稱為失穩(wěn)。顯然結(jié)構(gòu)中的受壓桿件絕不允許失穩(wěn)。F1FF(a)F<FcrF<Fcr(b)F>FcrF>Fcr(c)圖102除壓桿外,還有很多其它形式的工程構(gòu)件同樣存在穩(wěn)定性問題,例如薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)與彎曲、薄壁容器承受外壓以及薄拱等問題都存在穩(wěn)定性問題,在圖103中列舉了幾種薄壁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象。本章只討論壓桿的穩(wěn)定性

4、問題。(c)q(b)q(a)F圖103§102 兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式下面以兩端球形鉸支、長度為l的等截面細(xì)長壓桿為例,推導(dǎo)其臨界力的計算公式。選取坐標(biāo)系如圖104a所示,當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力Fcr時,壓桿既可保持直線形態(tài)的平衡,又可保持微彎形態(tài)的平衡。假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)的平衡,在臨界力Fcr作用下壓桿件的軸線如圖所示。此時壓桿距原點為x的任一截面m-m的撓度為y=f(x),取隔離體如圖104b 所示,截面m-m上的軸力為Fcr,彎矩為M(x)= Fcry (a)彎矩的正負(fù)號仍按§9-2的規(guī)定,F(xiàn)cr取正值,撓度以y軸正方向為正。將彎矩方程(a)代入撓曲線的近似

5、微分方程 (b)xmmM(x)= FcryyFcryFcrxyFcryFcrmm圖104 (a) (b) 令(c)則式(b)可寫成(d)這是一個二階常系數(shù)線性微分方程,其通解為 y=Asinkx+Bcoskx (e)式中A和B是積分常數(shù),可由壓桿兩端的邊界條件確定。此桿的邊界條件為在x=0處,y=0在x=l處,y=0由邊界條件的第一式得B=0于是式(e)成為 y= Asinkx (f)由邊界條件的第二式得 Asinkl=0由于壓桿處于微彎狀態(tài)的平衡,因此A0,所以 sinkl=0由此得 kl=n(n=0,1,2,3,···) 所以 將上式代入式(c),得由于臨界力

6、是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力,因此n應(yīng)取不為零的最小值,即取n=1,所以 (101)上式即為兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸支)細(xì)長壓桿臨界力Fcr的計算公式,由歐拉(L.Euler)于1744年首先導(dǎo)出,所以通常稱為歐拉公式。應(yīng)該注意,壓桿的彎曲在其最小的剛度平面內(nèi)發(fā)生,因此歐拉公式中的I應(yīng)該是截面的最小形心主慣性矩。在臨界荷載Fcr作用下,因此式(f)可寫成由此可以看出,在臨界荷載Fcr作用下,桿的撓曲線是一條半個波長的正弦曲線。在x=l/2處,撓度達(dá)最大值,即 因此積分常數(shù)A即為桿中點處的撓度,以表示,則桿的撓曲線方程為(g)此處撓曲線中點處的撓度是個無法確定的值,即無論為任何微小值,上述平衡條件都能

7、成立,似乎壓桿受臨界力作用時可以處于微彎的隨遇平衡狀態(tài)。實際上這種隨遇平衡狀態(tài)是不成立的,之所以值無法確定,是因為在推導(dǎo)過程中使用了撓曲線的近似微分方程。如果采用撓曲線的精確微分方程進(jìn)行推導(dǎo),所得到的F曲線如圖105 a所示,當(dāng)FFcr時,壓桿在微彎平衡狀態(tài)下,壓力F與撓度間為一一對應(yīng)的關(guān)系,所謂的不確定性并不存在;而由撓曲線近似微分方程得到的F曲線如圖105 b所示,當(dāng)F=Fcr時,壓桿在微彎狀態(tài)下呈隨遇平衡狀態(tài)。FFcrOAB(a)FFcrOAB(b)圖105 §103 不同支承條件下細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式對于桿端支承為其它形式的細(xì)長壓桿,也可以用類似的方法推導(dǎo)其臨界力的計算公

8、式。這里不一一推導(dǎo),只介紹其結(jié)果。 對于各種支承情況的壓桿,其臨界力的歐拉公式可寫成統(tǒng)一的形式: (102)式中稱為長度系數(shù),與桿端的約束情況有關(guān),l稱為壓桿的計算長度,其物理意義可從細(xì)長壓桿失穩(wěn)時撓曲線形狀的比擬來說明:由于壓桿失穩(wěn)時撓曲線上拐點處的彎矩為零,故可設(shè)想拐點處有一鉸,而將壓桿撓曲線上兩拐點之間的一段看作為兩端鉸支壓桿,并利用兩端鉸支壓桿的歐拉公式(101)得到原支承條件下壓桿的臨界力Fcr。這兩拐點之間的長度即為原壓桿的計算長度。應(yīng)該注意,利用歐拉公式計算細(xì)長壓桿臨界力時,如果桿端在各個方向的約束情況相同(如球形鉸等),則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩;如果桿端在不同方向的約束情況不

9、同(如柱形鉸等),則I應(yīng)取撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。§104 歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖一、 歐拉公式的適用范圍將壓桿的臨界力Fcr除以橫截面面積A,即得壓桿的臨界應(yīng)力 (103)式中為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑。令 (10 4)這是一個無量綱的參數(shù),稱為壓桿的長細(xì)比或柔度。于是式(103)可寫成 (105) 圖106Oppcr上式是臨界應(yīng)力的計算公式,實際上是歐拉公式的另一種形式。根據(jù)該式壓桿的臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系可用曲線表示,如圖106所示,稱為歐拉臨界應(yīng)力曲線。但是在推導(dǎo)歐拉公式過程中,曾用到了撓曲線的近似微分方程,而撓曲線的近似微分方程又是建立

10、在胡克定律基礎(chǔ)上的,因此只有材料在線彈性范圍內(nèi)工作時,即只有在crp時,歐拉公式才能適用。于是歐拉公式的適用范圍為或?qū)懗?106)式中p為能夠應(yīng)用歐拉公式的壓桿柔度界限值。通常稱p的壓桿為大柔度桿,或細(xì)長壓桿;而對于<p的壓桿,就不能應(yīng)用歐拉公式。壓桿的p值取決于材料的力學(xué)性能。例如對于Q235鋼,E=206GPa,p=200MPa,則由式(156)可得因而用Q235鋼制成的壓桿,只有當(dāng)柔度100時才能應(yīng)用歐拉公式計算臨界力或臨界應(yīng)力。一些常用材料的p值見表102。例題101 圖示各桿均為圓截面細(xì)長壓桿(>p),已知各桿所用的材料和截面均相同,各桿的長度如圖所示,問哪根桿能夠承受的

11、壓力最大,哪根最小?F(a)F(b)F(c)F(d)例題101圖解:比較各桿的承載能力只需比較各桿的臨界力,因為各桿均為細(xì)長桿,因此都都可以用歐拉公式計算臨界力由于各桿的材料和截面都相同,所以只需比較各桿的計算長度l即可桿a:l=2×a=2a桿b:l=1×1.3a=1.3a桿c:l=0.7×1.6a=1.12a桿d:l=0.5×2a=a臨界力與l的平方成反比,所以桿d能夠承受的壓力最大,桿a能夠承受的壓力最小。例題102圖示壓桿用30×30×4等邊角鋼制成,已知桿長l=0.5m,材料為Q235鋼,試求該壓桿的臨界力。F例題102圖 y

12、0x0xxx0y0解:首先計算壓桿的柔度,要注意截面的最小慣性半徑應(yīng)取對y0軸的慣性半徑,即 iy0=0.58cm,由此可以算出其柔度可見該壓桿屬于大柔度桿,可以使用歐拉公式計算其臨界力,仍要注意截面的最小慣性矩應(yīng)取對y0軸的慣性矩,即Iy0=0.77cm4,由此可以算出該壓桿的臨界力例題 10-3 圖示一矩形截面的細(xì)長壓桿,其兩端用柱形鉸與其它構(gòu)件相連接。壓桿的材料為Q235鋼,E=210GPa1. 若l=2.3m,b=40mm,h=60mm,試求其臨界力;2. 試確定截面尺寸b和h的合理關(guān)系。blhFFyx例題103圖FFzx解:1. 若壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn),則桿端約束條件為兩端鉸支,長度

13、系數(shù)1=1,慣性半徑若壓桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn),則桿端約束條件為兩端固定,長度系數(shù)2=0.5,慣性半徑由于1>2,因此該桿失穩(wěn)時將在xy平面內(nèi)彎曲。該桿屬于細(xì)長桿,可用歐拉公式計算其臨界力2. 若壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn),其臨界力為若壓桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn),其臨界力為截面的合理尺寸應(yīng)使壓桿在xy和xz兩個平面內(nèi)具有相同的穩(wěn)定性,即由此可得h=2b二、中、小柔度桿的臨界應(yīng)力如果壓桿的柔度<p,則臨界應(yīng)力cr就大于材料的比例極限p,這時歐拉公式已不適用。對于這類壓桿通常采用以試驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式。常用的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式兩種。1. 直線公式(107)式中的a和b是與材料力學(xué)性能有

14、關(guān)的常數(shù),一些常用材料a和b的值見書中的表102。顯然臨界應(yīng)力不能大于極限應(yīng)力(塑性材料為屈服極限,脆性材料為強(qiáng)度極限),因此直線型經(jīng)驗公式也有其適用范圍。應(yīng)用式(157)時柔度應(yīng)有一個最低界限,對于塑性材料 s<p的壓桿可使用直線型經(jīng)驗公式(157)計算其臨界應(yīng)力,這樣的壓桿稱為中柔度桿或中長壓桿,一些常用材料的s值可在表152中查到。對于脆性材料可用b代替s而得到b。<s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿,對于小柔度桿不會因失穩(wěn)而破壞,只會因壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力而破壞,屬于強(qiáng)度破壞,因此小柔度桿的臨界應(yīng)力即為極限應(yīng)力。2. 拋物線公式 (108)式中的a是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。在我國

15、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中,對以為極限應(yīng)力的材料制成的中長桿提出了如下的拋物線型經(jīng)驗公式 (109)式(159)的適用范圍是<c,對于Q235鋼和16錳鋼,式中的系數(shù)為0.43,c為,c值取決于材料的力學(xué)性能。例如對于Q235鋼,c=123。三、壓桿的臨界應(yīng)力總圖由上述討論可知,壓桿的臨界應(yīng)力cr的計算與柔度有關(guān),在不同的范圍內(nèi)計算方法也不相同。壓桿的臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系曲線稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。圖107是直線型經(jīng)驗公式的臨界應(yīng)力總圖。p的壓桿為細(xì)長桿或大柔度桿,其臨界應(yīng)力crp,可用歐拉公式計算;s<p的壓桿為中長桿或中柔度桿,其臨界應(yīng)力cr>p,可用經(jīng)驗公式(107)計算

16、;<s的壓桿為短粗桿或小柔度桿,其臨界應(yīng)力cr=u,應(yīng)按強(qiáng)度問題處理。Oppcr圖107 直線型經(jīng)驗公式的壓桿臨界應(yīng)力總圖su圖108是拋物線型經(jīng)驗公式的臨界應(yīng)力總圖。在工程實際中,并不一定用p來分界,而是用c=0.57s來分界,即當(dāng)c時,壓桿的臨界應(yīng)力crc,可用歐拉公式計算;當(dāng)<c時,壓桿的臨界應(yīng)力按經(jīng)驗公式(158)或(159)計算。 圖108 拋物線型經(jīng)驗公式的壓桿臨界應(yīng)力總圖Occcrs§105 壓桿的穩(wěn)定計算一、壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力 折減系數(shù)與壓桿的強(qiáng)度計算相似,在對壓桿進(jìn)行穩(wěn)定計算時,不能使壓桿的實際工作應(yīng)力達(dá)到臨界應(yīng)力cr,需要確定一個適當(dāng)?shù)陀谂R界應(yīng)力的穩(wěn)定

17、許用應(yīng)力cr式中nst為穩(wěn)定安全系數(shù),其值隨壓桿的柔度而變化,一般來說nst隨著柔度的增大而增大。工程實際中的壓桿都不同程度地存在著某些缺陷,嚴(yán)重地影響了壓桿的穩(wěn)定性,因此穩(wěn)定安全系數(shù)一般規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)要大些。例如對于一般鋼構(gòu)件,其強(qiáng)度安全系數(shù)規(guī)定為1.41.7,而穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為1.52.2,甚至更大。為了計算方便,將穩(wěn)定許用應(yīng)力cr與強(qiáng)度許用應(yīng)力之比用來表示,即或式中稱為折減系數(shù)或穩(wěn)定系數(shù),因cr和nst均隨壓桿的柔度而變化,因此是的函數(shù),即,其值在01之間。二、壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件是使壓桿的實際工作壓應(yīng)力不能超過穩(wěn)定許用應(yīng)力cr,即引用折減系數(shù),壓桿的穩(wěn)定條件可寫為 (1

18、0-10a)或 (10-10b)與強(qiáng)度計算類似,穩(wěn)定性計算主要解決三方面的問題:1. 穩(wěn)定性校核2. 選擇截面3. 確定許用荷載需要說明,截面的局部削弱對整個桿件的穩(wěn)定性影響不大,因此在穩(wěn)定計算中橫截面面積一般按毛面積進(jìn)行穩(wěn)定計算,但需要對該處進(jìn)行強(qiáng)度校核。再者,因為壓桿的折減系數(shù)(或柔度)受截面形狀和尺寸的影響,因此在壓桿的截面設(shè)計過程中,不能通過穩(wěn)定條件求得兩個未知量,通常采用試算法,如后面的例題所示。例題 104 圖示結(jié)構(gòu)由兩根材料和直徑均相同的圓桿組成,桿的材料為Q235鋼,已知h=0.4m,直徑d=20mm,材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力=170MPa,荷載F=15kN,試校核兩桿的穩(wěn)定性。FABC45°30°(a)12yAxFFN1FN2(b)例題104圖解:為校核兩桿的穩(wěn)定性,首先需要計算每個桿所承受的壓力,為此考慮結(jié)點A的平衡,其平衡方程為由此解得兩桿所受的壓力分別為FN1=0.896F=13.44kNFN2=0.732F=10.98kN兩桿的長度分別為l1=h/sin45°=0.566ml2=h/sin30°=0.8m兩桿的柔度分別為查表153,并插值可得兩桿的折減系數(shù)分別為對兩桿分別進(jìn)行穩(wěn)定性校核:兩桿均滿足

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