直線一級倒立擺機理建模

1、上海電力學院課程設(shè)計報告課名：自動控制原理應(yīng)用實踐 題目：倒立擺控制裝置 院系：自動化工程學院 專業(yè)：測控技術(shù)與儀器 班級：2011151班 姓名：馬玉林 學號：20112515 時間：2014年1月14日 倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自有連接（即無電動機或其他驅(qū)動設(shè)備）。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的

2、角度和速度。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。1.1 倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信號，與期望值進行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動直流電機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。直流電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平鐵軌運動。當沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動或者達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動。本次

3、設(shè)計中我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后通過開環(huán)響應(yīng)分析對該模型進行分析，并利用學習的古典控制理論和Matlab /Simulink仿真軟件對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，主要采用根軌跡法，頻域法以及PID（比例-積分-微分）控制器進行模擬控制矯正。2 直線倒立擺數(shù)學模型的建立直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一，直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，

4、激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學算法的研究等等內(nèi)容。鑒于小車倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。因此，本文通過機理建模方法建立小車倒立擺的實際數(shù)學模型，可根據(jù)微分方程求解傳遞函數(shù)。2.1 微分方程的推導(dǎo)（牛頓力學方法）微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)I 擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置F擺桿與垂直向上方向的夾角q擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置

5、為豎直向下）圖2-1 直線一級倒立擺模型系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖是圖2。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。圖2-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：(2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：(2-2)即： (2-3)把這個等式代入式(1)中，就得到小車運動方程（第一個運動方程）：(2-4)為了推出擺桿的運動方程（第二個運動方程），對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (2-5)(2-6)力矩平衡方

6、程如下： (2-7)注意：方程中力矩的方向，由于(6)和（3）代入(7)，約去P和N，得到擺桿運動方程（第二個運動方程）：(2-8)設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，則可以進行線性化近似處理：用來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下：進行拉氏變換，得：（2-9）由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到：，即：（2-10）（10）式稱為擺桿角度與小車位移的傳遞函數(shù)如令，則有：（2-11）（11）式稱為擺桿角度與小車加速度間的傳遞函數(shù)，由于伺服電機的速度控制易于實現(xiàn)在實驗中常采用此式。把（10）式代入（9）式的第二個方程中，得到：（2-12

7、）其中，（12）式稱為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數(shù)2.2 實際系統(tǒng)的模型參數(shù)M：小車質(zhì)量1.096kgm：擺桿質(zhì)量0.109kgb：小車摩擦系數(shù)0.1N/secl：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.25mI：擺桿慣量0.0034kgm2代入模型參數(shù)得3 開環(huán)系統(tǒng)的時域分析3.1 擺桿角度為輸出響應(yīng)的時域分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，此時的傳遞函數(shù)為當輸入為小車加速度時擺桿角度的單位階躍響應(yīng)在matlab中建立m文件oloop1.m 內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;step(m,n,t)axis(

8、0 4 0 100)圖3-1 擺桿角度的單位階躍響應(yīng)曲線圖當輸入為小車加速度時擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)在matlab中建立m文件命名為oloop2.m 內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;impulse(m,n,t)axis(0 4 0 100)圖3-2 擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)曲線圖3.2 小車位置為輸出響應(yīng)的時域分析采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，小車位置為響應(yīng)，則此時的傳遞函數(shù)為 (3-3)圖3-3 小車位置的單位脈沖響應(yīng)曲線圖圖 3-4 小車位置的單位階躍響應(yīng)曲線圖由于以上時域分析中所有的傳遞函數(shù)的響應(yīng)圖都是發(fā)散的，所以系統(tǒng)不

9、穩(wěn)定，需要校正。四根軌跡設(shè)計4.1 原系統(tǒng)的根軌跡分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，2、在matlab中輸入以下程序求出傳函clcclearA=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Sys=ss(A,B,C,D);sy=tf(Sys)結(jié)果為 1 #1: - S2 3 #2: - s2 - 8.882e-016 s - 29.4 則可知G1（s）=1/s2; 取近似值G2(s)=3/(s2-29.4)3、繪制原根軌跡圖num=1;den=1 0 0;rlocus(num,

10、den) 圖四：小車位移根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4;rlocus(num,den) 圖五：擺桿角度的根軌跡圖4、繪制系統(tǒng)伯德圖：num=3; den=1 0 -29.4;ss=tf(num,den); bode(ss) 圖六：擺桿角度的bode圖num=1; den=1 0 0;ss=tf(num,den);bode(ss) 圖七：小車位移的bode圖可以看出，系統(tǒng)無零點，有兩個極點，并且有一個極點為正。畫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味著無論增益如何變化，這

11、條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4.2 串聯(lián)超前校正裝置設(shè)計對此系統(tǒng)設(shè)計控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下：調(diào)整時間： ts=2s最大超調(diào)量： p=60%確定閉環(huán)期望極點的位置sigma=0.6;zeta=(log(1/sigma)2)/(pi)2+(log(1/sigma)2)0.5結(jié)果為zeta = 0.1605由于原系統(tǒng)存在兩個零點處極點，等幅振蕩，故取期望阻尼系數(shù)滿足zeta=0.6，另外，系統(tǒng)過渡過程時間與系統(tǒng)阻尼比和無阻尼自然頻率的關(guān)系，可選omiga=5。輸入：zeta=0.6;omiga=5;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)

12、結(jié)果為ans = -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i4.2.2 超前校正傳遞函數(shù)設(shè)計未校正系統(tǒng)的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環(huán)期望極點，因此需要對系統(tǒng)進行超前校正，設(shè)控制器為：4.2.3 校正參數(shù)計算輸入：n0=1;d0=1 0 0;s1=-3+4j;fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi結(jié)果為：fai0 = 73.7398將超前校正網(wǎng)絡(luò)的零點配置在期望主導(dǎo)極點的正下方，取z=3。再考慮從超前校正裝置的極點位置，由相角條件可知，期望極點與校正裝置極點的相角應(yīng)滿足：fai0+fai1=90，所以

13、fai1=16.2602。過s1，做角度為16.26度的直線，計算該直線的實軸的交點：s1=-3+4j;fai1=16.26;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)結(jié)果為p = 16.7145則超前校正為Gc1(s)=K1(s+3)/(s+16.7145)校正后的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K1(s+3)/(s2*(s+16.7145)4.2.5 matlab環(huán)境下串聯(lián)超前校正后的根軌跡圖num=1 3;den=1 16.7145 0 0;rlocus(num,den)圖4-2 串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的根軌跡圖由圖可知，系統(tǒng)的三條根軌跡都有位于

14、左半平面的部分，選取適當?shù)?K 就可以穩(wěn)定系統(tǒng)。K1=89.4系統(tǒng)校驗動態(tài)性能指標nopen=89.4 268.2;dopen=1 16.7145 89.4 268.2;ss=tf(nopen,dopen);step(ss)串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的單位階越響應(yīng)由圖可知ts<2s,sigma<60%;滿足要求4.3、對于G2(s)確定期望主導(dǎo)極點sigma=0.6;zeta=(log(1/sigma)2)/(pi)2+(log(1/sigma)2)0.5結(jié)果為zeta = 0.1605取期望阻尼系數(shù)滿足zeta=0.5，另外，系統(tǒng)過渡過程時間與系統(tǒng)阻尼比和無阻尼自然頻率的關(guān)系，可選omi

15、ga=4。輸入：zeta=0.5;omiga=4;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)結(jié)果為ans = -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i 繪制原根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4;rlocus(num,den)擺桿角度原根軌跡原系統(tǒng)根軌跡位于s平面的實軸。不通過期望主導(dǎo)極點，選擇超前校正。計算超前校正產(chǎn)生的超前相角輸入: n0=3;d0=1 0 -29.4;s1= -2.0000 + 3.4641i; fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi結(jié)果

16、為：fai0 = 20.3293 將超前校正網(wǎng)絡(luò)的零點配置在期望主導(dǎo)極點的正下方，取z=2。再考慮從超前校正裝置的極點位置，由相角條件可知，期望極點與校正裝置極點的相角應(yīng)滿足：fai0+fai1=90，所以fai1=69.6707。過s1，做角度為69.67度的直線，計算該直線的實軸的交點：輸入：s1=-2+3.4641j;fai1=69.67;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)結(jié)果為：p = 3.2835則超前校正為Gc2(s)=K2(s+2)/(s+3.2835)校正后的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K2(s+2)/( (s2 -29

17、.4)*(s+3.2835)繪制根軌跡圖nopen=1 2;dopen=conv(1 0 -29.4,1 3.2835);rlocus(nopen,dopen)擺趕角度原根軌跡圖由圖可知K2=43.2系統(tǒng)校驗動態(tài)性能指標nopen=43.2 86.4;dopen=1 3.2835 13.8 -10.1349;ss=tf(nopen,dopen);step(ss)擺趕角度原單位原單位階越響應(yīng)由圖可知ts<2s,sigma<60%;滿足要求。五頻域設(shè)計方案：原系統(tǒng)被控對象傳遞函數(shù)：該系統(tǒng)伯德圖（右圖）：num=3;den=1 0 -29.4;ss=tf(num,den);bode(ss)擺趕角度原伯德圖由圖可知，=180度 PM不存在系統(tǒng)要求為PM>，GM>10dB5.1、若使用超前矯正：=50-0+10= =13.925.2、求wG（j）=1/w2=3+29.4=40.59 w=6.375.3、求參數(shù)TT=1/(w*sqrt(a)=0.099 Gc(s)=Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)= 3*Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)(s2-29.4)取Kc=100用MATLAB進行仿真：num=110.79 300;den=conv(1 29.4,0.099 1);ss=tf(num,den);rltool(ss)得伯德