空氣中聲音傳播方程的推導(dǎo)

1、 空氣中聲音傳播方程的推導(dǎo) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011級(jí) 作者： 王鍇豐，王保山，王冬羽1. 問題提出：由物理性質(zhì)可知聲音的本質(zhì)是介質(zhì)的機(jī)械震動(dòng)，由波動(dòng)方程與震動(dòng)現(xiàn)象的聯(lián)系，物理屬性的時(shí)空分布可以由波動(dòng)方程導(dǎo)出，弦的波動(dòng)方程也是聲音發(fā)生的一種情況之一，現(xiàn)討論聲音在空氣中的傳播，由聲學(xué)基礎(chǔ)可知聲場的的物理特征可由密度，壓強(qiáng)，速度刻畫，根據(jù)模型所滿足的基本假設(shè)和遵循的物理規(guī)律，從而導(dǎo)出聲波方程，并求解出普通聲源產(chǎn)生聲波在均勻空間中的傳播的狀態(tài)方程。2.理想假設(shè)： 1.空氣在壓強(qiáng)為101.325kPa、溫度為20的條件下，空氣動(dòng)力粘度和運(yùn)動(dòng)粘度為： 空氣 ， 可以近似為理想流體，所謂理想流體介質(zhì)，就是介

2、質(zhì)在運(yùn)動(dòng)過程中沒有能量的損耗，即介質(zhì)是無粘的不考慮切向力。 2.還必須假設(shè)介質(zhì)是連續(xù)、靜態(tài)和均勻的流體因此媒質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)速度為零，靜態(tài)壓強(qiáng) ，靜態(tài)密度 都是常數(shù)。 3.由理想氣體的狀態(tài)方程溫度變化會(huì)影響壓強(qiáng)，未排除這種干擾，將聲音在空氣中傳播的過程視為等熵絕熱過程，介質(zhì)之間不會(huì)產(chǎn)生熱交換。 4.討論的都是小振幅聲波即各類聲學(xué)變量都是一級(jí)微量，（ 4 ）媒質(zhì)中傳播的是小振幅聲波，各聲學(xué)參量都是一級(jí)微量，聲壓甚小于媒質(zhì)中靜態(tài)壓強(qiáng) ；質(zhì)點(diǎn)速度 甚小于聲速 ；質(zhì)點(diǎn)位移 甚小于聲波波長 ；媒質(zhì)密度增量甚小于靜態(tài)密度；或密度的相對(duì)增量 小于 1。 5.聲源相對(duì)于傳播空間來說很小，可視為一個(gè)半徑非常小的球體，故

3、由對(duì)稱性聲音在空間中的各點(diǎn)的特征（聲壓，質(zhì)點(diǎn)速度，以及密度）相對(duì)于聲源來說球?qū)ΨQ，.只與半徑r有關(guān)。3.模型建立即方程推導(dǎo)理想介質(zhì)中聲波傳播的基本規(guī)律可以通過三個(gè)方程表示，即：連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和狀態(tài)方程。下面給出所用到的物理參數(shù)，連續(xù)性方程：聲場中任意一點(diǎn) ，以 點(diǎn)為中心選取一邊長分別為的體積元，則體積元的體積為。假設(shè)某一瞬時(shí)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流過 點(diǎn)的速度向量為 ， 點(diǎn)的密度為 ，則單位時(shí)間內(nèi)從各方向流入體積元的質(zhì)量為， (1.1)式中 為 點(diǎn)的速度向量 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。流入體積元的質(zhì)量必然引起體積元內(nèi)密度的增加，單位時(shí)間內(nèi)體積元內(nèi)介質(zhì)密度的增量為 ，則， (1.2)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，得到

4、， (1.3)即為： (1)狀態(tài)方程：在聲波作用下介質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生了變化。由假設(shè)2，根據(jù)熱力學(xué)關(guān)系，一定質(zhì)量的氣體介質(zhì)的壓強(qiáng)是密度和熵的函數(shù)，即 ，這里 表示熵。由于壓力和密度變化很小，因此由泰勒級(jí)數(shù)展開得到， (2.1)式中下標(biāo) 代表等熵絕熱過程。系數(shù) ， 就是氣體介質(zhì)中小振幅聲波的傳播速度，故理想介質(zhì)的 狀態(tài)方程為， (2)運(yùn)動(dòng)方程:假設(shè)微小質(zhì)團(tuán)中心坐標(biāo)為 ，體積為 ，介質(zhì)原處于靜止?fàn)顟B(tài) ，當(dāng)聲波通過時(shí)，由假設(shè)一，不考慮切向力，只考慮壓力，質(zhì)團(tuán)在各個(gè)方向上的受力都不均衡，假設(shè)壓力分布為 ，則作用在 和 面上的總壓力分別為， (3.1) (3.2)因而沿軸正方向的合力為， (3.3）同樣可以得

5、到質(zhì)團(tuán)沿軸和軸正方向的合力，介質(zhì)受到的總的合力為， (3.4)由于靜壓強(qiáng) 為常數(shù)，因此壓強(qiáng)的微小變化也就是聲壓的微小變化，即 ，所以上式可以改寫為， (3.5)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得到， (3.6)由以上兩式可以得到歐拉方程， (3.7)式中 是質(zhì)點(diǎn) 的加速度，它包括本地加速度和遷移加速度兩部分， (3.8)由假設(shè)4振動(dòng)速度遠(yuǎn)小于聲傳播的速度，所以 項(xiàng)可以忽略，結(jié)合以上兩式，得到小振幅聲場中的 運(yùn)動(dòng)方程為， (3)最后，將（1）式對(duì)t求偏導(dǎo)，再用（2）（3）式中的變量替換就可以獲得理想流體介質(zhì)中小振幅波傳播的 聲波方程如下， （4）通過以上推導(dǎo)終于得出聲壓滿足波動(dòng)方程，這是該問題的核心。4. 定

6、解條件提出由假設(shè)5相對(duì)于較大的空間，聲波以球面波形式傳播時(shí)，可看作半徑非常小的球體，半徑為，聲源，聲壓 只與球面坐標(biāo) 有關(guān)，而與角度無關(guān)，因此球面波的波動(dòng)方程可以簡化為， (4.1)初始條件為：，其中 時(shí)其中在即問題為柯西問題求解5. 問題求解由三維問題的柯西問題的解法用到球平均法，這里不多贅述，用泊松公式可以得到原問題的解： （5） 其中 故壓強(qiáng)場為： （6）由公式（2）可知密度場為： （7）由牛頓運(yùn)動(dòng)定理可知質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度場為： （8）6. 結(jié)論：本小組通過流體力學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)證明出了聲波在空氣中傳播滿足波動(dòng)方程，并且對(duì)聲波在空間中一點(diǎn)擴(kuò)散模型的解析解進(jìn)行了求解，在求解過程中由數(shù)學(xué)物理方程可知，三維問題的柯西問題，用到泊松積分公式，求出了空間中的壓強(qiáng)場，密度場，與速度場。參考文獻(xiàn)：數(shù)學(xué)物理方程，谷超豪，李大潛，