知識點(diǎn)223歐拉公式解答

1、1、（2009涼山州）觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整觀察上表中的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)a、b、c之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式考點(diǎn)：歐拉公式。專題：圖表型。分析：三棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：3×2=6，棱數(shù)為：3×3=9，面數(shù)為：2+3=5；四棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：4×2=8，棱數(shù)為：4×3=12，面數(shù)為：2+4=6；五棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：5×2=10，棱數(shù)為：5×3=15，面數(shù)為：2+5=7；六棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：6×2=12，棱數(shù)為：6×3=18，面數(shù)為：2+6=8a+cb=2解答：解：規(guī)律為a+cb=2點(diǎn)評：可先由簡單圖形得到解決問題的方

2、法2、（2006煙臺）下列圖形中，圖（a）是正方體木塊，把它切去一塊，得到如圖（b）（c）（d）（e）的木塊圖號頂點(diǎn)數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z（a）8126（b）（c）（d）（e）（1）我們知道，圖（a）的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、6個(gè)面，請你將圖（b）、（c）、（d）、（e）中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填入下表；（2）上表，各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系可以歸納出一定的規(guī)律，請你試寫出頂點(diǎn)數(shù)x、棱數(shù)y、面數(shù)z之間的數(shù)量關(guān)系式考點(diǎn)：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）小題，只要將圖（b）、（c）、（d）、（e）各個(gè)木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)數(shù)一下就行；數(shù)的時(shí)候要注意：圖中不能直接看到的那一

3、部分不要遺漏，也不要重復(fù)，可通過想象計(jì)數(shù)，正確填入表內(nèi)；（2）通過觀察找出每個(gè)圖中“頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)”之間隱藏著的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系用公式表示出來即可解答：解：（1）見表：圖號頂點(diǎn)數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z（a）8126（b）695（c）8126（d）8137（e）10157（2）規(guī)律：x+z2=y點(diǎn)評：命題立意：考查平均數(shù)的求法，搜集信息的能力（讀表），作圖能力及用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想3、（1）圖是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖、的木塊我們知道，圖的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，請你將圖、中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：（2）觀察此表，請你歸納上述各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)

4、、面數(shù)之間的數(shù)雖關(guān)系是：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2（3）圖是用虛線畫出的正方體木塊，請你想象一種與圖不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實(shí)線，則該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為8，棱數(shù)為6，面數(shù)為3考點(diǎn)：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）只要將圖（b）、（c）、（d）、（e）各個(gè)木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)數(shù)一下就行；數(shù)的時(shí)候要注意：圖中不能直接看到的那一部分不要遺漏，也不要重復(fù)，可通過想象計(jì)數(shù)，正確填入表內(nèi)；（2）通過觀察找出每個(gè)圖中“頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)”之間隱藏著的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系用公式表示出來即可（3）按要求做出圖形，注意是與圖不同的切法，然后數(shù)出該木塊的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)即可解答：解：（

5、1）見表：（2）觀察上表，即可歸納上述各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)的關(guān)系是：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2（3）如切過之后為一長方體，所畫圖形如下所示：則該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為8，棱數(shù)為6，面數(shù)為3故答案為：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2；8，6，3點(diǎn)評：本題考查了歐拉公式的知識，同時(shí)考查了平均數(shù)的求法，搜集信息的能力（讀表），作圖能力及用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想4、如圖，左面的幾何體叫三棱柱，它有五個(gè)面，9條棱，6個(gè)頂點(diǎn)，中間和右邊的幾何體分別是四棱柱和五棱柱（1）四棱柱有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面；（2）五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，15條棱，7個(gè)面；（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱，幾個(gè)面嗎？（

6、4）n棱柱有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱，幾個(gè)面嗎？考點(diǎn)：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：結(jié)合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特點(diǎn)，可知n棱柱一定有（n+2）個(gè)面，2n個(gè)頂點(diǎn)和3n條棱解答：解：（1）四棱柱有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面；（2）五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，15條棱，7個(gè)面；（3）六棱柱有12個(gè)頂點(diǎn)，18條棱，8個(gè)面；七棱柱有14個(gè)頂點(diǎn)，21條棱，9個(gè)面；（4）n棱柱有（n+2）個(gè)面，2n個(gè)頂點(diǎn)和3n條棱點(diǎn)評：熟記常見棱柱的特征，可以總結(jié)一般規(guī)律：n棱柱有（n+2）個(gè)面，2n個(gè)頂點(diǎn)和3n條棱5、是否存在一個(gè)有10個(gè)面、24條棱和18個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的棱柱？若存在，請指出是幾棱柱；如果不存在，請說明理由考點(diǎn)：歐拉公

7、式。分析：一個(gè)直棱柱有18個(gè)頂點(diǎn)，說明它的上下底面是兩個(gè)九邊形，從而可以確定它的面的個(gè)數(shù)解答：解：由棱柱的特性可知：不存在一個(gè)有10個(gè)面、24條棱和18個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的棱柱因?yàn)橛?8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的棱柱是九棱柱，它有9+2=11個(gè)面、3×9=27條棱點(diǎn)評：本題主要考查n棱柱的構(gòu)造特點(diǎn)：（n+2）個(gè)面，3n條棱，2n個(gè)頂點(diǎn)6、每四年一次的世界杯足球賽吸引了眾多的球迷，實(shí)際上國際足聯(lián)規(guī)定的足球是由一塊塊正五邊形、正六邊形的皮縫制而成的若將之視作一個(gè)多面體，則它的面數(shù)f、棱數(shù)e、頂點(diǎn)v之間存在著一個(gè)關(guān)系式f+ve=2，若已知棱數(shù)為48，頂點(diǎn)數(shù)為24，則面數(shù)必為多少？考點(diǎn)：歐拉公式。分析：把e=48

8、，v=24直接代入所給關(guān)系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面數(shù)必為26面點(diǎn)評：本題考查幾何體面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系7、已知一個(gè)多面體的各個(gè)面都是五邊形，你能運(yùn)用歐拉公式證明這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F之間有2V=3F+4的關(guān)系嗎？試試看吧!考點(diǎn)：歐拉公式。專題：探究型。分析：根據(jù)各個(gè)面都是五邊形的多面體的構(gòu)造特點(diǎn)及歐拉公式V+FE=2可證解答：解：一個(gè)多面體的各個(gè)面都是五邊形，這個(gè)多面體E=F+F=F，V+FE=2，V+FF=2，2V=3F+4點(diǎn)評：本題考查幾何體面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系8、“每四年一次的世界杯足球賽吸引了

9、眾多的球迷，今年的世界杯西班牙隊(duì)奪冠，不僅僅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事自1998年以來，12年里，世界足壇再沒有迎來新的霸主此前，奪取過世界杯冠軍的球隊(duì)只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次稱雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德國三次登頂（1954年、1974年、1990年），阿根廷兩次掄元（1978年、1986年），烏拉圭兩次奪冠（1930年、1950年），法國（1998年）、英格蘭（1966年）各自奪冠一次如今，西班牙光榮的成為歷史上第八支世界杯冠軍球隊(duì)這意味著，世界杯的歷史已被突破！”實(shí)際上

10、國際足聯(lián)規(guī)定的足球是由一塊塊正五邊形、正六邊形的皮縫制而成的若將之視作一個(gè)多面體，則它的面數(shù)f、棱數(shù)e、頂點(diǎn)v之間存在著一個(gè)關(guān)系式f+ve=2，若已知棱數(shù)為48，頂點(diǎn)數(shù)為24，則面數(shù)必為多少？考點(diǎn)：歐拉公式。分析：把e=48，v=24直接代入所給關(guān)系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面數(shù)必為26面點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求未知字母的解對于任一凸多面體均滿足f+ve=2這一關(guān)系式9、仔細(xì)觀察下面的正四面體、正六面體、正八面體，解決下列問題：（1）填空：正四面體的頂點(diǎn)數(shù)V=4，面數(shù)F=4，棱數(shù)E=6正六面體的頂點(diǎn)數(shù)V=8，面數(shù)F=6，棱數(shù)E=1

11、2正八面體的頂點(diǎn)數(shù)V=6，面數(shù)F=8，棱數(shù)E=12（2）若將多面體的頂點(diǎn)數(shù)用V表示，面數(shù)用F表示，棱數(shù)用E表示，則V、F、E之間的數(shù)量關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，這就是著名的歐拉公式，請寫出歐拉公式：V+FE=2（3）如果一個(gè)多面體的棱數(shù)為30，頂點(diǎn)數(shù)為20，那么它有多少個(gè)面？考點(diǎn)：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）觀察圖形，結(jié)合多面體的頂點(diǎn)、面和棱的定義進(jìn)行填空即可（2）根據(jù)（1）中，多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)，總結(jié)規(guī)律可得V、F、E之間的數(shù)量關(guān)系式（3）根據(jù)（2）中，頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)之間的關(guān)系式，代入求解即可解答：解：（1）4，4，6；8，6，12；6，8，12；（2）V、F、E之間的數(shù)量

12、關(guān)系是：V+FE=2；（3）解：設(shè)面數(shù)為F，則20+F30=2解得F=12答：它有12個(gè)面點(diǎn)評：本題考查的是多面體的定義，關(guān)鍵點(diǎn)在于：多面體指四個(gè)或四個(gè)以上多邊形所圍成的立體10、（1）三棱錐有6條棱，4個(gè)面，四棱錐有8條棱，5個(gè)面；（2）十五棱錐有30條棱；（3）有沒有一個(gè)多棱錐，其棱數(shù)是2006，若有求出有多少個(gè)面；若沒有，說明理由考點(diǎn)：歐拉公式。專題：幾何圖形問題。分析：（1）四棱錐側(cè)面有4條棱，底面有4條棱，共有8條棱；側(cè)面有4個(gè)面，底面有1個(gè)面，共有5個(gè)面；（2）共有30條棱，那么底面有15條棱，是十五棱錐；（3）棱數(shù)是2006，只能分為側(cè)面為1003條棱，底面為1003條棱，這個(gè)幾

13、何體共有1004個(gè)面解答：解：（1）四棱錐有8條棱，5個(gè)面；（2）十五棱錐有30條棱；（3）一個(gè)多棱錐的棱數(shù)是2006，則這個(gè)多面體的面數(shù)是2006÷2+1=1004故有1004個(gè)面故答案為：8，5；十五點(diǎn)評：本題考查有規(guī)律的尋找多面體的棱及面的特點(diǎn)熟記棱錐圖形的特征是解決此類問題的關(guān)鍵11、根據(jù)多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的關(guān)系（V+FE=2），判斷是否存在滿足以下條件的多面體（1）4個(gè)頂點(diǎn)，4個(gè)面，8條棱；（2）14個(gè)頂點(diǎn)，9個(gè)面，21個(gè)棱考點(diǎn)：歐拉公式。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的關(guān)系（V+FE=2），即可得出答案解

14、答：解：（1）V+FE=4+48=02，所以不存在滿足條件（1）的多面體（2）V+FE=14+921=2，所以存在滿足條件（2）的多面體點(diǎn)評：本題考查了歐拉公式的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意對歐拉公式的熟練掌握12、多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體20123018世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格，你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+FE=2（2）一

15、個(gè)多面體的面數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)相等，有12條棱，這個(gè)多面體是七面體考點(diǎn)：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）觀察圖形，結(jié)合多面體的頂點(diǎn)、面和棱的定義進(jìn)行填空即可根據(jù)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)，總結(jié)規(guī)律可得V、F、E之間的數(shù)量關(guān)系式（2）根據(jù)（1）中，頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)之間的關(guān)系式，代入求解即可解答：解：（1）四面體的棱數(shù)為6；長方體的面數(shù)為6；正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6；關(guān)系式為：V+FE=2；（2）由題意得：F+F12=2，解得F=7故答案為：V+FE=2；7點(diǎn)評：本題考查多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系及靈活運(yùn)用13、新年晚會，是我們最歡樂的時(shí)候會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形（1）數(shù)一下每一個(gè)多面體具有的頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F），并且把結(jié)果記入表中多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）正四面體446正方體正八面體正十二面體正二十面體122030（2）觀察表中數(shù)據(jù)，猜想多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F）之間的關(guān)系（3）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（Euler 17071783）證明了這一令人驚嘆的關(guān)系式，即歐拉公式若已知一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=196，棱的條數(shù)E=294請你用歐拉公式求這個(gè)多面體的面數(shù)考點(diǎn)：歐拉公式。專題：常規(guī)題型。分析：（1）根據(jù)圖形數(shù)出頂點(diǎn)