牛吃草變形學(xué)案

1、“牛吃草問題”的變形【例1】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水，8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？答案：設(shè)1人1小時(shí)淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時(shí)淘完，要安排人淘水【鞏固】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？答案：設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：5人淘水需要(分鐘)把水淘完【例2】畫展8:30開門，但早有人來排隊(duì)入場，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，

2、若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場口，8點(diǎn)45分就沒有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間。答案：設(shè)每分鐘1個(gè)入口進(jìn)入的人數(shù)為1個(gè)單位。 8:30到9:00 共30分鐘 3個(gè)入口共進(jìn)入。8:30到8:45 共15分鐘，5個(gè)入口共進(jìn)入，15分鐘到來的人數(shù) ，每分鐘到來。8：30以前原有人。 所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個(gè)來人在7：30【鞏固】畫展9點(diǎn)開門，但早有人來排隊(duì)入場，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì)求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間答案：如果把入場口看作為“牛”，開門前原有

3、的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長速度”，那么本題就是一個(gè)“牛吃草”問題設(shè)每一個(gè)入場口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為，即1分鐘來的人為，原有的人為：這些人來到畫展，所用時(shí)間為(分)所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為8點(diǎn)15分【例3】在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面從站臺(tái)到地面有 級(jí)臺(tái)階答案：本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：“在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過20秒后到達(dá)地

4、面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過15秒到達(dá)地面問：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”采用牛吃草問題的方法，電梯秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長度為（階）。【鞏固】兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？答案：本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級(jí)總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動(dòng)扶梯運(yùn)行的速度則相當(dāng)于草的增長速度。并且上樓的速度要分成兩部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。自動(dòng)扶梯的速度（女孩每秒走的梯級(jí)女孩走的時(shí)間男孩每秒走

5、的梯級(jí)男孩走的時(shí)間）（女孩走的時(shí)間男孩走的時(shí)間），自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)女孩每秒走的梯級(jí)女孩走的時(shí)間自動(dòng)扶梯的速度女孩走的時(shí)間（級(jí)）所以自動(dòng)扶梯共有150級(jí)的梯級(jí)。【例4】小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時(shí)間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時(shí)行15千米，3小時(shí)可以追上；若騎摩托車，每小時(shí)行35千米，1小時(shí)可以追上；若開汽車，每小時(shí)行45千米，多長時(shí)間能追上。答案：本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結(jié)合小明在小時(shí)內(nèi)走了千米，那么小明的速度為(千米/時(shí))，追及距離為(千米)汽車去追的話需要：(小時(shí))(分鐘)【例5】快、中、慢三車同時(shí)從地出發(fā)沿同一公路開往地，途中有騎車人也在同方向行進(jìn)，這三輛

6、車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？答案：可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米分)【鞏固】有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時(shí)后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3倍追趕乙車，3小時(shí)后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問：幾個(gè)小時(shí)后甲車追上乙車？答案：分析知道甲車相當(dāng)于“?！?，甲追趕乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長的草”設(shè)甲車的速度為“1

7、”，那么乙車小時(shí)走的路程為，所以乙的速度為，追及路程為：如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時(shí)間為：(小時(shí))【例6】甲、乙、丙三車同時(shí)從地出發(fā)到地去甲、乙兩車的速度分別是每小時(shí)60千米和每小時(shí)48千米有一輛卡車同時(shí)從地迎面開來，分別在它們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度答案：相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時(shí)），全程：（千米），丙車速度為：（千米/時(shí)）【鞏固】小新、正南、妮妮三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到公園去小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米在他們出發(fā)的同時(shí)，風(fēng)間從公園迎面走來

8、，分別在他們出發(fā)后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度答案：當(dāng)小新和風(fēng)間相遇時(shí)，正南落后小新(米)，依題意知正南和風(fēng)間走這24 米需要(分鐘)，正南和風(fēng)間的速度和為：(米分)，風(fēng)間的速度為：(米分)，學(xué)校到公園的距離為：(米)所以妮妮的速度為：(米分)【例7】一個(gè)裝滿了水的水池有一個(gè)進(jìn)水閥及三個(gè)口徑相同的排水閥，如果同時(shí)打開進(jìn)水閥及一個(gè)排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時(shí)打開進(jìn)水閥及兩個(gè)排水閥，則分鐘把水池的水排完問：關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開三個(gè)排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？答案：設(shè)一個(gè)排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進(jìn)水閥1分鐘進(jìn)水量為，水池原有水量為關(guān)閉

9、進(jìn)水閥并且同時(shí)打開三個(gè)排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水【鞏固】一個(gè)蓄水池有1個(gè)進(jìn)水口和15個(gè)出水口，水從進(jìn)水口勻速流入當(dāng)池中有一半的水時(shí)，如果打開9個(gè)出水口，9小時(shí)可以把水排空如果打開7個(gè)出水口，18小時(shí)可以把水排空如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過 時(shí) 分水池剛好被排空答案：本題是牛吃草問題的變形設(shè)每個(gè)出水口每小時(shí)的出水量為1，則進(jìn)水口每小時(shí)的進(jìn)水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72如果打開全部15個(gè)出水口，排空水池所需要的時(shí)間為小時(shí)，即7小時(shí)12分鐘【例8】北京密云水庫建有個(gè)泄洪洞，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個(gè)不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪

10、的速度，假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)以后水位降至安全線；若同時(shí)打開兩個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)后水位降至安全線根據(jù)抗洪形勢，需要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，則至少需要同時(shí)打開泄洪閘的數(shù)目為多少個(gè)？答案：此題是牛吃草問題的變形，假設(shè)每個(gè)泄洪洞每小時(shí)泄洪的量為1，則水庫每小時(shí)增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有如果要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，至少需要開個(gè)泄洪閘【鞏固】有一個(gè)蓄水池裝了根相同的水管，其中一根是進(jìn)水管，其余根是出水管開始時(shí)，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光如果同時(shí)打開根出水管，則小時(shí)可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開根

11、出水管，則需小時(shí)才能排盡池內(nèi)的水若要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開多少根出水管？答案：設(shè)1根出水管1小時(shí)排水的量為“1”，那么進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水量為，池內(nèi)原有水量為要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開根出水管【鞏固】由于環(huán)境惡化、氣候變暖，官廳水庫的水在勻速減少，為了保證水庫的水量，政府決定從上游的壺流河水庫以及冊田水庫分別向官廳水庫進(jìn)行調(diào)水，已知這兩個(gè)水庫的每個(gè)閘門放水量是相同的，如果同時(shí)打開壺流河水庫的5個(gè)閘門30小時(shí)可以使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果同時(shí)打開冊田水庫的4個(gè)閘門40小時(shí)可以使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果24小時(shí)使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，問需同時(shí)打開兩個(gè)水庫

12、的幾個(gè)閘門?答案：設(shè)1個(gè)閘門1小時(shí)的放水量為“1”，那么每小時(shí)自然減少的水量為：，實(shí)際注入水量為：；24小時(shí)蓄水需要打開的閘門數(shù)是：(個(gè))【例9】甲、乙、丙三個(gè)倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和12個(gè)工人，5小時(shí)可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完；乙倉庫用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和28個(gè)工人，3小時(shí)可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時(shí)還要多少個(gè)工人？(每個(gè)工人每小時(shí)工效相同，每臺(tái)皮帶輸送機(jī)每小時(shí)工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運(yùn)面粉)答案：設(shè)1人1小時(shí)搬運(yùn)的份數(shù)為“1”，那么一臺(tái)皮帶運(yùn)輸機(jī)1小時(shí)的工作量為，每個(gè)倉庫存放的面粉總量為：那么,丙

13、倉庫現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，需要(人)【例10】小方用一個(gè)有洞的杯子從水缸里往三個(gè)同樣的容積的空桶中舀水。第一個(gè)桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個(gè)桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個(gè)桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）答案：小方裝第二個(gè)桶比第一個(gè)桶多用了一杯水，同時(shí)多走了米路，所以從杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三個(gè)桶裝滿?！纠?1】某建筑工地開工前運(yùn)進(jìn)一批磚，開工后每天運(yùn)進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果派250個(gè)工人砌磚墻，6天可以把磚用完，如果派160個(gè)工人，10天可以把磚用完，現(xiàn)在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？答案：開工前運(yùn)進(jìn)的磚相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運(yùn)進(jìn)相同的磚相當(dāng)于“新生長的草”，工人砌磚相當(dāng)于“牛在吃草”所以設(shè)1名工人1天砌磚數(shù)量為“1”，那么每天運(yùn)來的磚為，原有磚的數(shù)量為：如果120名工人砌10天，將會(huì)砌掉10天新運(yùn)來的磚以及950原有的磚，還剩的原有的磚未用，變成人來砌磚，還需要：(天)【例12】某建筑工地開工前運(yùn)進(jìn)一批磚，開工后每天運(yùn)進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果派15個(gè)工人砌磚墻，14天可以把磚用完，如果