圓中的最值問(wèn)題

1、圓中的最值問(wèn)題【考題展示】題1 （2012年武漢中考）在坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（3 , 0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) C是第一象限內(nèi) 一點(diǎn)，且 AC=2設(shè)tan / BOC=m貝U m的取值范圍是 .題2 （2013年武漢元調(diào)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊 OAB中，以邊AB為直徑作O D,以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作 O O, C為半圓弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A B兩點(diǎn)重合），射線AC交O O于點(diǎn)E, BC=a , AC=b，求a b 的最大值.（有修改）題3 （2013年武漢四調(diào)）如圖，/ BAC=60，半徑長(zhǎng)為1的圓O與/ BAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以 P 為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的

2、圓P交射線ABAC于DE兩點(diǎn)，連接DE,則線段DE長(zhǎng)度的最大值為 .題4 （2013年武漢五模）在厶ABC中，.A=120 , BC =6 .若 ABC的內(nèi)切圓半徑為 r，貝U r的最大值為 .（有修改）AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G,題5 （2013年武漢中考）如圖，E, F是正方形ABCD勺邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為 2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 題5圖【典題講練】 類型1 (相關(guān)題：題5)1.1如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊 ABC的頂點(diǎn)A, B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)C到原點(diǎn)0的距離的最大值是1.2在直角坐標(biāo)系中， ABC滿足，/ C=90,

3、AC=8 BC=6點(diǎn)A, B分別在x軸、y軸上，當(dāng)A點(diǎn)從原點(diǎn)開始 在正x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨著在正y軸上運(yùn)動(dòng)(下圖)，求原點(diǎn)0到點(diǎn)C的距離0C的最大值，并確定此時(shí)圖形 應(yīng)滿足什么條件.1.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰直角三角形 ABC / C=90, AC=BC=2點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng).(1) 當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)OA=OC寸，求原點(diǎn) 0到點(diǎn)B的距離0B(3) 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求原點(diǎn)0到點(diǎn)B的距離0B的最大值，并說(shuō)明理由.1.4邊長(zhǎng)為2的等邊 ABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn) B在射線0D上移

4、動(dòng)，/ AOD=45,則頂點(diǎn)C 到原點(diǎn)0的最大距離為.1.5如圖，O O的直徑為4, C為O O上一個(gè)定點(diǎn)，/ ABC=30 ,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧 AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn) C作CP的垂線CD交PB的延 長(zhǎng)線于D點(diǎn).（1） 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 CD長(zhǎng)度的取值范圍為 ;（2） 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 AD長(zhǎng)度的最大值為 .1.6如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的OO上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP丄AB于點(diǎn)P,若CD=3 AB=8貝U PM長(zhǎng)度的最大值是 .1.7 如圖，在 Rt AB

5、C中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AD=2 M為BD的中點(diǎn),在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 CM長(zhǎng)度的取值范圍是 .類型2 （相關(guān)題：題4）則厶ABC2.1如圖，已知 AB是O O的弦，C是O O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AC BC, / C=60,O O的半徑為2, 面積的最大值是.AC= OB22.2如圖，已知直線 MN經(jīng)過(guò)O O上的點(diǎn)A,點(diǎn)B在MN上，連0B交O O于C點(diǎn)，且點(diǎn)C是0B的中點(diǎn),若點(diǎn)P是O 0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) AB=2血時(shí)， APC的面積的最大值為 ABDPC面AB=5,則斜邊上的高的最大值為2.3如圖，半圓 0的半徑為1, AC丄AB, BD丄

6、AB,且AC=1, BD=3, P是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形積的最大值是2.5如圖，若Rt ABC的斜邊AB=2內(nèi)切圓的半徑為r，貝U r的最大值為2.6如圖，在 ABC中，AB=10, AC=8 BC=6經(jīng)過(guò)點(diǎn) C且與邊AB相切的動(dòng)圓與 CB, CA分別相交于點(diǎn) E, F, 則線段EF長(zhǎng)度的最小值是 .2.7如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（- 4, 0）、B（0, 4）, OO的半徑為1 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），PQ Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng) PQ的最小值為2.8如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,- 2） , O A的半徑為1, P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切O A于類型3 （

7、相關(guān)題：題3）3.1如圖， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2&, D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑畫O O分別交AB AC于E, F,連接EF.(1) 探究線段EF長(zhǎng)度為最小值時(shí)，點(diǎn) D的位置，請(qǐng)畫出圖形;(2) 求出該最小值.3.2如圖，在 ABC中，已知AB=5 BC=8 AC=7動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在邊AB AC上，使 APQ的外接圓與 BC相切，則線段PQ的最小值等于類型4 (相關(guān)題：題2)4.1如圖，點(diǎn) C在以AB為直徑的O O上，CDL AB于P,設(shè)AP=a PB=b.(1)求弦CD的長(zhǎng)；(2)如果a+b=1O,求ab的最大值,并求出此時(shí)a, b 的值.

8、(參考 2.4、2.5 )4.2如圖，半徑為2的OO有兩條互相垂直的弦AB和CD其交點(diǎn)E到圓心O的距離為1,則A$+CD=4.3如圖，O O的半徑為2，點(diǎn)P是OO內(nèi)一點(diǎn)，且OP=二，過(guò)P作互相垂直的兩條弦 AC BD則四邊形ABCD 面積的最大值為.A,過(guò)A引互相垂直的弦 PQ RS求PQ+RSX值范圍.4.5如圖，線段AB=4, C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則O 0半徑的最小值為以AC BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE O 0外接于 CDE匚4.6在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，2為半徑畫O O, P是O 0上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作O 0的切線與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸

9、相交于點(diǎn)B,線段AB長(zhǎng)度的最小值是類型5 （相關(guān)題：題1）5.1如圖，已知 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2 , 0）、（0, 1） , O C的圓心坐標(biāo)為（0, -1），半徑為1 , D是O C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AD與y軸交于點(diǎn)巳則厶ABE面積的最大值是5.2 如圖，Rt ABC中，/ C=90,Z A=30, AB=4,以AC上的一點(diǎn) 0為圓心 OA為半徑作O 0,若O O與邊BC始終有交點(diǎn)（包括 B C兩點(diǎn)），則線段AO的取值范圍是5.3如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6, BC=8 D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D作CD的垂線交直線 BC于點(diǎn)E,則線段CE長(zhǎng)度的最小值是5.4在

10、坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（3, 0）,點(diǎn)B是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且 AB=2,點(diǎn)C上直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，且 CB 丄AB于點(diǎn)B,則tan .ACB = m，則m的取值范圍是 .5.5如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 索：b a的最大值；-2 , 1）,以A為圓心的O A切x軸于點(diǎn)B, P（a, b）為O A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)分別探 b a的最小值；b - a的最大值；b - a的最大值；【拓展延伸】：b 2a的范圍；b_2a的范圍;類型66.1如圖，CD是O O的直徑，點(diǎn) A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧AD的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD=4時(shí)，求：(1)AP+BP的最小值.(2) AP- BP的最大

11、值.6.2如圖，已知圓 0的面積為3 n, AB為直徑，弧 AC的度數(shù)為80弧BD的度數(shù)為20點(diǎn)P為直徑AB上任 一點(diǎn)，貝U PC+PD勺最小值為 .6.3如圖，AB CD是半徑為5的OO的兩條弦，AB=8 CD=6 MN是直徑，AB丄MN于點(diǎn)E, CDL MN于點(diǎn)F, P 為EF上的任意一點(diǎn)，貝U PA+PQ的最小值為 .B 6.4如圖，AB是O O的直徑，弦 BC=2cm F是弦BC的中點(diǎn)，/ ABC=60.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從 A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t( s)，連接EF、CE當(dāng)t為秒時(shí)，CE+E撮小，其最小值是 6.5四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，已知 / ADC=9

12、0, CD=4 AC=8 AB=BC設(shè)O是AC的中點(diǎn).(1) 設(shè)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，求 OP+PC勺最小值；(2) 設(shè)Q, R分別是AB AD上的動(dòng)點(diǎn)，求 CQR的周長(zhǎng)的最小值.補(bǔ)充練習(xí)(與例題類型不完全對(duì)應(yīng))1. 如圖，已知直線I與O O相離，OAL I于點(diǎn)A, OA=5 OA與O O相交于點(diǎn)P, AB與O O相切于點(diǎn)B, BP的延長(zhǎng)線交直線I于點(diǎn)C,若在O O上存在點(diǎn)Q使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O O的半徑r的取值范 圍為.2. 已知：如圖， Rt ABC中，/ B=90o,Z A=30o, BC=6cm點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿 AB以每秒 込cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)了

13、 t秒(t 0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊 AC相切于點(diǎn)D,與邊AB相交于E、F兩 點(diǎn)，過(guò)E作EG丄DE交射線BC于 G.(1) 若點(diǎn)G在線段BC上，貝U t的取值范圍是 .(2) 若點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上，則t的取值范圍是 .3. 如圖，O M O N的半徑分別為 2cm, 4cm,圓心距MN=10cm P為O M上的任意一點(diǎn)，Q為O N上的任意一點(diǎn),直線PQ與連心線I所夾的銳角度數(shù)為 a,當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，tana的最大值為.Q4. 如圖，在矩形 ABCD中, AB=3, BC=4, O為矩形 ABCD的中心，以 D為圓心1為半徑作O D, P為O D上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AP

14、OP則厶AOF面積的最大值為 .5. 如圖，在Rt ABC中，/ C=90, AC=8, BC=6經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn) P、Q,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是.6. 如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合)，過(guò)A D、E三點(diǎn)作O 0, OO交AC于另一點(diǎn)F,在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，線段EF長(zhǎng)度的最小值為 .7. 如圖，A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2 , 0)、(0, 2) , O C的圓心的坐標(biāo)為(-1 , 0)，半徑為1,若D是O C上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 DA與y軸交于點(diǎn)丘，則厶ABE面積的最小值是 .&如圖，等腰 Rt ABC中，/ ACB=9C , AC=BC=4 O C的半徑為1,點(diǎn)P在斜邊 AB上, PQ切O O于點(diǎn) Q 則 切線長(zhǎng)PQ長(zhǎng)度的最小值為 .9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn)P ( m, n )是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2貝U m_n的范圍為10 .在平面直角坐標(biāo)系中，M( 3, 4) ,