幾種簡(jiǎn)單證明勾股定理的方法

1、圖1幾種簡(jiǎn)單證明勾股定理的方法拼圖法、定理法據(jù)說對(duì)社會(huì)有重大影響的10大科學(xué)發(fā)現(xiàn)，勾股定理就是其中之一。 早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來 測(cè)量?jī)傻氐牡貏?shì)差。迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合 的魅力。讓我們動(dòng)起手來，拼一拼，想一想，娛樂幾種，去感悟數(shù)學(xué) 的神奇和妙趣吧！一、拼圖法證明（舉例 12種）拼法一：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖2拼法。問題：你能用兩種方法表示左圖的面積嗎？對(duì)比兩種不同的表示 方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？2 2 1分析圖2: S正方形=（a+b） =

2、c + 4 x舟ab化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c2拼法二：做8個(gè)全等的直角三 角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b，斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分 別為a、b、c的正方形，把它們像左 圖那樣拼成兩個(gè)正方形。從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形 的邊長(zhǎng)都是a + b,所以面積相等.即整理得a2+b2 = c2拼法三：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖3拼法。問題：圖3是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為 周 髀算經(jīng)作注時(shí)給出的。在圖3中用同樣的辦法研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能驗(yàn)證a2+b2=c2嗎？分析圖 3： S 正方形=c2 = （a-b） 2+ 4x 4 ab 化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c

3、2觀察圖2、圖3與圖4的關(guān)系，并用一句話表示你的觀點(diǎn)。 圖4為圖2與圖3面積之和。拼法四：用兩個(gè)完全相同的直角三角形（直角邊為a、b,斜邊為c）按圖5拼法。背景：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛 頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就 是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德（Garfield ）.他發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在談?wù)撝裁?由于 好奇心的驅(qū)使，伽菲爾德向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么.只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形.于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁?？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分

4、別為3和4,那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？” 伽菲爾德答到：“是5呀.”小男孩又問道:“如果兩條直角邊分別為 5和7,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加 思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于 5的平方加上7的平方.”小男孩又說道：“先生， 你能說出其中的道理嗎？ ”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步， 立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。問題：圖5就是伽菲爾德總統(tǒng)的拼法，你知道他是如何驗(yàn)證的嗎？你能用兩種方法表示圖5的面積嗎？伽菲爾德總統(tǒng)是這樣分析的：1 2S 梯形 ABCD =

5、21 1 1 2 S 梯形 ABCD =S ABE + Sa ECD+ S AED = 2 ab+ 2 ab+ 2 c 貝V有： 壬(a+b)2= * ab+2 ab+舟 c2化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c2比較圖5與圖2,你有什么發(fā)現(xiàn)?2之半。拼法五：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b,斜邊為c）,拼成圖6,得邊長(zhǎng)分別為a、b、c正方形。問題：觀察圖6,你能發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c的正方形嗎？你能 通驗(yàn)證到：a2+b2 = c2嗎?分析：其實(shí)，圖6可以轉(zhuǎn)化為下面兩圖:圖a的面積可表示為：a2+b2+2 x -1 ab圖b的面積可表示為：c2+2x 2 ab 比較a、b兩圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

6、2 2 1 2 1a +b +2 x ab = c +2x ab化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c2ab2 ab2abAabBbaabbahoDbaC拼法六：設(shè)直角三角形兩直 角邊的長(zhǎng)分別為a、b,斜邊 的長(zhǎng)為c.作邊長(zhǎng)是a+b的正 方形ABCD把正方形ABCD 劃分成左圖所示的幾個(gè)部 分，則該正方形ABCD的面 積為(a+ b)2= a2 + b2+ 2ab; 再把正方形ABCD劃分成右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD 的面積為（a+ b） 2= c2+4 x 舟 ab由兩正方形面積相等得a2 + b2 + 2ab= c2+4 x ab 整理得a2+b2 = c2拼法七：用四個(gè)相同的直角三角形

7、(直角邊為a、 b,斜邊為c)拼成圖7。問題：你能把圖7轉(zhuǎn)化為圖c嗎？通過位置變換，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形嗎？能否驗(yàn)證到：a2+b2 = c2呢？分析：圖7的面積可表示為：c2+4 x gab圖c的面積可表示為：a2+b2+4 x 1 ab比較圖c、圖7,你發(fā)現(xiàn)了什么?圖8a2+b2 = c2呢？你還有其它的拼法嗎?化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c2拼法八、九、十、一、十二 ：制作一個(gè)五巧 板，如圖&方法：先作一個(gè)直角三角形，直角邊為 a、b, 斜邊為c,以斜邊為邊長(zhǎng)向內(nèi)作正方形， 并把正方形 按圖中實(shí)線分割為五個(gè)部分，這就是一個(gè)五巧板。問題：運(yùn)用五巧板，拼出圖

8、 d、圖e、圖f、圖 g,并仔細(xì)觀察、比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？能否驗(yàn)證到：圖f圖e 、定理法證明（舉例 3種）利用切割線定理證明在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a, AC = b ,斜邊AB =c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交 AB及AB的延 長(zhǎng)線分別于 D、E,貝U BD = BE = BC = a .因?yàn)? BCA = 90 o,點(diǎn)C在O B上，所以AC是O B的切線.由切割線定 理，得2 2 2 2 2 2AC =AE AD = (AB + BE) (AB BD) =( c+ a) (c a)= c - a從而可得a+b = cBDacAba /利用托勒密定理證明在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b ,斜邊AB = c（如圖）.過點(diǎn)A作AD / CB,過點(diǎn)B作BD / CA,則ACBD為矩形，矩形 ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓.根據(jù)托勒密定理，圓內(nèi) 接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有2 2 2AB DC = AD BC + AC BD 從而可得 a+b = c利用射影定理證明如圖，在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 AC、BC的長(zhǎng)度 分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過點(diǎn)C作CD丄AB , 垂足是D.根據(jù)射影定理，得AC2= ad AB ,BC2= BD BA即 AC2 + BC2= AD AB + BD BA = A