生活中的優(yōu)化問題舉例2

1、§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用2 提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最

2、值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三典例分析例1海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、

3、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。例2飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是 分，

4、其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問題：（）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？ （）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤最小？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為cm 時(shí)，利潤最小，這時(shí)，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤是負(fù)值（2）半徑為cm時(shí)，利潤最大換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時(shí)，即瓶

5、子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤才為正值當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時(shí)，利潤最小例3磁盤的最大存儲量問題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的

6、比特?cái)?shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域（1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2） 為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲量× （1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大（2）為求的最大值，計(jì)算令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此時(shí)，

7、磁盤具有最大存儲量。此時(shí)最大存儲量為例4汽油的使用效率何時(shí)最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題 通過大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車

8、在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題 解：因?yàn)?這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值從圖象上看，表示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車速約為9

9、0從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L_x_x_60_60xx例5在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當(dāng)x過?。ń咏?）或過大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面

10、同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，從而h=2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑

11、應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最?。?提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 例6在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。（1）、如果C(x)，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x10000，產(chǎn)品的單價(jià)P1000.01x，那么怎樣定價(jià)，可使利潤最大？變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入

12、R等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤解：收入，利潤令，即，求得唯一的極值點(diǎn)答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤L最大例7一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí)，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=bAD=h+b, S= CD=,AB=CD.l=×2+b由得b=h,代入,l=l=0,h=, 當(dāng)h<時(shí)，l<0,h>時(shí)，l>0.h=時(shí)，l取最小值，此時(shí)b=例

13、8已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y 4x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x，y），且x 0，y 0，則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（x，y），在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（x，0）、（x，0），其中0 x 2設(shè)矩形的面積為S，則S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的極值點(diǎn)，即是最大值點(diǎn)，所以這種矩形中面積最大者的邊長為和【點(diǎn)評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值練習(xí)：1：一書店預(yù)計(jì)一年

14、內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊書存放一年要耗庫費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少？【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊，手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y ×30×40，y20，令y0，得x 15，且y，f(15)0，所以當(dāng)x 15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一，故 當(dāng)x 15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為10（次）即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少2：有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城

15、離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最省？【解】設(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米，總費(fèi)用為y元，則CD y 500（50x）70025000500 x 700，y500700 · (x 21600)· 2 x500，令y0，解得x 答：水廠距甲距離為50千米時(shí)，總費(fèi)用最省【點(diǎn)評】當(dāng)要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個(gè)變量相關(guān)時(shí)，我們總是先設(shè)幾個(gè)變量中的一個(gè)為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達(dá)式f（x）四課堂練習(xí)1用總長為14.8m