破解直線與圓中的定的問題

1、破解直線與圓中的“定”的問題直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考必考考點(diǎn)之一，考題中往往涉及定點(diǎn)、定直線、定圓等“定”的問題，其本質(zhì)就是曲線系，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等。在解答此類問題的探索過程中，學(xué)生常常找不到解題的切入點(diǎn)，為此，我們須弄清此類問題，切實(shí)掌握其解決的方法。一、定點(diǎn)問題我們對(duì)于過定點(diǎn)的直線系并不陌生，如是過定點(diǎn)的直線系，是常數(shù)）是過定點(diǎn)的直線系，是常數(shù)）是過定點(diǎn)的直線系，等等，那么，如何迅捷地找到直線所過的定點(diǎn)呢？例1 平面直角坐標(biāo)系中，直線恒過一定點(diǎn)，而直線也過點(diǎn)，則 。解法1：直線，整理得，令，解得，所以，代入直線，得，答案：2.解法2：令，則；令，則

2、；所以直線必過直線與直線的交點(diǎn)，顯然，代入直線，得。點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)時(shí)，只需將含有參數(shù)的部分整理到一起，不含參數(shù)的部分整理到一起，令系數(shù)均為0即可解方程得直線所過的定點(diǎn)。變式1：（2014四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A. B. C. D.答案 B。例2 已知圓，則圓過定點(diǎn) 。解法1：圓的方程可變形為，所以圓必過兩曲線與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得，所以圓過定點(diǎn)。答案為。解法2：令，則，令，則，圓所過的定點(diǎn)必是曲線與的交點(diǎn)；而聯(lián)立方程，解得，所以圓過定點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：直線與圓的定點(diǎn)問題要善于從運(yùn)動(dòng)中尋求不變的特性，挖掘曲線方程與哪些參數(shù)無關(guān)。常見的方法有兩種：其一

3、，直接按參數(shù)分離變量，進(jìn)而解出定點(diǎn)坐標(biāo)；其二，從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證這個(gè)定點(diǎn)與參數(shù)取值無關(guān)。變式2：若圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，則（ ）A. B. C. D. 答案：A。二、定直線問題定直線問題往往是動(dòng)點(diǎn)所在的定直線、動(dòng)圓的定切線，含有多個(gè)參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時(shí)常常不知從何入手，此時(shí)，須緊扣等量關(guān)系恒成立，應(yīng)用待定系數(shù)法來處理。例3 平面直角坐標(biāo)系中，已知半徑為的的圓心在直線上，且在軸右側(cè)，被軸軸截得的弦長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）當(dāng)變化時(shí)，是否存在定直線與均相切？如果存在，求出定直線的方程；如果不存在，說明理由。解析：（1）設(shè)，則的方程為，設(shè)到軸的距離為，即，由被軸軸截得的弦長(zhǎng)

4、為，所以，得，故的方程為。（2）假設(shè)存在定直線與均相切，定直線的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意；設(shè)直線的方程為，則對(duì)于恒成立，由，得，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，解得或，所以存在兩條定直線和與動(dòng)圓均相切。點(diǎn)評(píng)：本題動(dòng)圓的圓心與半徑都在變化，其幾何特征不明顯，故采取直接論證恒成立。解決含有多個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系恒成立時(shí)，必須緊扣等式的成立與的取值無關(guān)這一特點(diǎn)。變式3：已知圓，直線的方程，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為。（1）證明：當(dāng)變化時(shí)，的圓心在一條定直線上；（2）求所表示的一系列圓的公切線方程。提示：（1）關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，在一條定直線上.（2）設(shè)公切線方程為，則對(duì)于恒成立，整理得，所以，解之得，所以所表示的一系列圓的公切線方程為，即。三、定圓問題動(dòng)直線與定圓相切，是研究恒成立，或者聯(lián)立方程恒成立，再按參數(shù)整理，令參數(shù)的系數(shù)為0，得到方程組，最后解方程組求出圓心與半徑。例4 已知點(diǎn)在上，縱坐標(biāo)為，求證：直線恒與一個(gè)圓心在軸上的圓相切，并求出圓的方程。解析：由題意知，所以直線的方程為，即，設(shè)圓的方程為，則恒成立，整理得，或，所以，或恒成立，故，或，解得，因此直線恒與一個(gè)圓心在軸上的圓相切，圓的方程為。點(diǎn)評(píng)：解答題解題步驟是：設(shè)圓的方程-化簡(jiǎn)或恒成立變量分離求圓心與半徑寫出定圓方程，如果是客觀題，用特例法比較方便。變式4：已知直線總與一個(gè)定圓相切