相交線與平行線全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識講解

1、相交線與平行線全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 熟練掌握對頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2. 區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；3. 了解平移的概念及性質(zhì).【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、相交線1.對頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角121與2有公共頂點1的兩邊與2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即12鄰補(bǔ)角有公共頂點3與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即3+4180°要點詮釋：（1）對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角

2、.對頂角的特征:有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.（2）如果與是對頂角，那么一定有；反之如果，那么與不一定是對頂角.（3）如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+180°；反之如果+180°，則與不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線（4）兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，對頂角有一個.2.垂線及性質(zhì)、距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作： ABCD，垂足為O.要點詮釋：要判斷兩條直線是否垂直，

3、只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，如圖2：POAB，點P到直線AB的距離是垂線段PO的長.要點詮釋：垂線段PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條.要點二、平行線1平行線判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行要點詮釋：

4、根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條

5、直線垂直，那么它必與另一條直線垂直3兩條平行線間的距離如圖3，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.要點詮釋：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度, 平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解 “垂線段”與 “距離”的關(guān)系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.要點三、圖形

6、的平移1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項.2.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移要點詮釋：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等；（2）平移后，對應(yīng)角相等；（3）平移后，對應(yīng)點所連線段平行(或共線)且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.【典型例題】類型一、相交線1. (1)如圖（1）已知直線AB，CD相交于點0(2)如圖（2）已知直線AE，BD相交于點C分別指出兩圖中哪些角是鄰補(bǔ)角? 哪些角是對頂角? 【答案與解析】解： (1)鄰補(bǔ)角是DOA與A

7、OC，AOE與EOB，BOC與COA，COE與DOE，DOA與DOB，DOB與BOC；對頂角是AOD與COB，AOC與DOB.(2)鄰補(bǔ)角是ACB與ACD，ECD與DCA，DCE與ECB，ECB與ACB；對頂角是ACB與DCE，BCE與ACD【總結(jié)升華】當(dāng)需要寫出的角較多時，寫完后再計算一下個數(shù)，可以檢驗是否寫全.2.直線AB、CD相交于點O，OEAB于點O，COE40°，求BOD的度數(shù).【答案與解析】解：分兩種情況.第一種：如圖1，直線AB，CD相交后，BOD是銳角，OEAB, AOE90°，即AOC+COE90°.COE40°, AOC50°

8、;.BODAOC BOD50°第二種：如圖2，直線AB、CD相交后，BOD是鈍角，OEAB, AOE90°.COE40°, AOC90°+40°130°，BODAOC130°.【總計升華】本題屬于無圖題，首先應(yīng)根據(jù)題意，畫出圖形，畫圖時要考慮兩種情況：一種情況為BOD是銳角，第二種情況是BOD是鈍角.此外關(guān)于兩條直線相交，應(yīng)想到鄰補(bǔ)角、對頂角的定義及性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖所示，O是直線AB上一點，射線OC、OD在AB的兩側(cè)，且AOCBOD，試證明AOC與BOD是對頂角【答案】 證明：因為AOC+COB180°

9、(平角定義)， 又因為AOCBOD(已知)， 所以BOD+COB180°，即COD180° 所以C、O、D三點在一條直線上(平角定義)， 即直線AB、CD相交于點O， 所以AOC與BOD是對頂角(對頂角定義) 提示：證三點共線的方法，通常采用證這三點組成的角為平角，即COD180°類型二、平行線的性質(zhì)與判定3.如圖所示，ABCD，1B，2D，試說明BEDE【思路點撥】這是初學(xué)幾何時較為復(fù)雜的題目，通常是過“拐點”(拐角處的頂點)作平行線為輔助線，把一個大角分成兩個角，分別與兩個已知角建立起了聯(lián)系【答案與解析】 解：過E點作EFAB， 因為ABCD(已知)， 所以E

10、FCD 所以4D(兩直線平行，內(nèi)錯角相等) 又因為D2(已知)， 所以42(等量代換) 同理，由EFAB，1B，可得31 因為1+2+3+4180°(平角定義)， 所以1+23+490°， 即BED90°故BEDE【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造平行關(guān)系，即過哪一點作哪條直線的平行線，只有通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能逐步達(dá)到熟練解題的目的舉一反三：【變式1】已知直線ABCD，當(dāng)點E在直線AB與CD之間時，有BEDABE+CDE成立；而當(dāng)點E在直線AB與CD之外時，下列關(guān)系式成立的是( ).ABEDABE+CDE或BEDABE-CDE BBEDABE-CDE CBEDCDE

11、-ABE或BEDABE-CDE DBEDCDE-ABE【答案】C （提示：過點E作EFAB）【變式2】如圖，兩直線AB、CD平行，則123456 .【答案】900°4.如圖，已知CDEF，12ABC，求證：ABGF.【答案與解析】證明：如圖，過點C做CKFG，并延長GF、CD交于點H， CDEF （已知）， CHG1(兩直線平行，同位角相等）.又 CKFG， CHG2BCK180°（(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）. 12BCK180°（等量代換）. 12ABC（已知）， ABCBCK180°（等量代換）. CKAB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）. ABGF（

12、平行的傳遞性）.【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見到角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想到判斷直線是否平行，見到直線平行就應(yīng)聯(lián)想到角相等或互補(bǔ).類型三、圖形的平移5.（吉林）如圖所示，把邊長為2的正方形的局部進(jìn)行圖的變換，組成圖，則圖的面積是( )A18 B16 C12 D8【思路點撥】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，即圖形平移后面積不變，則面積可求【答案】B 【解析】圖到圖是將一個等腰三角形由下方平移到上方圖到圖是將右邊的小長方形平移到左側(cè)，所以圖中陰影部分的面積與邊長為2的正方形的面積是相等的，圖是由4個圖組成的，所以圖的面積是4×416【總結(jié)升華】平移是由平移的方向和

13、距離決定的平移的性質(zhì)是平移前后，圖形的形狀、大小不變. 類型四、實際應(yīng)用6.手工制作課上，老師先將一張長方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角EFB30°，你能說出EGF的度數(shù)嗎？【思路點撥】長方形的對邊是平行的，所以ADBC，可得DEFEFG30°，又因為折后重合部分相等，所以GEFDEF30°，所以DEG2DEF60°，又因為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以EGC180°DEG，問題可解.【答案與解析】解：因為ADBC（已知），所以DEFEFG30°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.因為GEFDEF30°（對折后重合部分相等），所以DEG2DEF60°.所以EGC180°DEG1