音樂(lè)背后的數(shù)學(xué)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上音樂(lè)背后的數(shù)學(xué)張慧芳(教育部北師大課程中心數(shù)學(xué)工作室)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）說(shuō):“音樂(lè)是一種隱藏的算術(shù)練習(xí)，透過(guò)潛意識(shí)的心靈跟數(shù)目在打交道。” 近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky，1882-1971)說(shuō)：“音樂(lè)的形式較近于數(shù)學(xué)而不是文學(xué)，音樂(lè)確實(shí)很像數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)關(guān)系?！彼匾鈱ⅰ跋駭?shù)學(xué)思想的東西”溶入他的音樂(lè)作品之中。音樂(lè)為何悅耳、調(diào)和、美呢？可否說(shuō)出一些道理？田野中昆蟲(chóng)啁啾的鳴叫，枝頭鳥(niǎo)兒清脆的叫聲，牧笛優(yōu)美動(dòng)聽(tīng)的旋律，貝多芬令人振奮的交響曲當(dāng)沉浸在這些美妙的音樂(lè)中時(shí),你是否想到了它們與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系？人們對(duì)數(shù)學(xué)與音樂(lè)

2、之間聯(lián)系的研究和認(rèn)識(shí)，可以說(shuō)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。相信音樂(lè)的背后有數(shù)學(xué)規(guī)律可循，并且努力去追尋出音律，這在歷史上最早且最著名的當(dāng)推畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（約公元前5-6世紀(jì)）。而中國(guó)古代的 “三分損益法” 就是通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算研究音律的方法。人們常用的樂(lè)譜也是數(shù)學(xué)在音樂(lè)上應(yīng)用得最為顯著的地方之一。一 音律背后的比例和分?jǐn)?shù)乘法音的高低由弦振動(dòng)的頻率決定。如何定出音律，即定出音階：的頻率比？這是音樂(lè)的根本問(wèn)題。1畢達(dá)哥拉斯琴弦律畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)音律有一段美麗的故事。有一天畢達(dá)哥拉斯偶然經(jīng)過(guò)一家打鐵店門(mén)口，被鐵錘打鐵的有節(jié)奏的悅耳聲音所吸引（筆者在家鄉(xiāng)小城鎮(zhèn)曾見(jiàn)識(shí)過(guò)打鐵店，現(xiàn)在已不多見(jiàn)了）。他感到很驚奇，于是走入店中觀察研究

3、，參見(jiàn)圖1。他發(fā)現(xiàn)有四個(gè)鐵錘的重量比恰為12：9：8：6，將兩個(gè)兩個(gè)一組來(lái)敲打都發(fā)出和諧的聲音，分別是：12:6=2:1的一組，12:8=9:6=3:2的一組，12:9=8:6=4:3的一組。畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步用單弦琴做實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，參見(jiàn)圖2。對(duì)于固定張力的弦，利用可自由滑動(dòng)的琴馬來(lái)調(diào)節(jié)弦的長(zhǎng)度，一面彈，一面聽(tīng)。畢達(dá)哥拉斯經(jīng)過(guò)反復(fù)的試驗(yàn)，終于初步發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)的奧秘，歸結(jié)出畢達(dá)哥拉斯的琴弦律：（1） 當(dāng)兩個(gè)音的弦長(zhǎng)成為簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，同時(shí)或連續(xù)彈奏，所發(fā)出的聲音是和諧悅耳的；（2） 兩音弦長(zhǎng)之比為4:3，3:2及2:1時(shí)，是和諧的，并且音程分別為四度、五度及八度。也就是說(shuō)，如果兩根繃得一樣緊的弦的長(zhǎng)度

4、之比是 2 : 1, 同時(shí)或連續(xù)彈奏，就會(huì)發(fā)出相差八度的諧音; 而如果兩條弦的長(zhǎng)度的比是 3 : 2時(shí), 就會(huì)發(fā)出另一種諧音，短弦發(fā)出的音比長(zhǎng)弦發(fā)出的音高五度; 等等。物理學(xué)家伽利略(1564-1642)發(fā)現(xiàn)弦振動(dòng)的頻率跟弦長(zhǎng)成反比。因此，我們可以將畢達(dá)哥拉斯所采用的“弦長(zhǎng)”改為“頻率”來(lái)定一個(gè)音的高低。從而畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)就是：兩音的頻率比為1:2，2:3及3:4時(shí)，分別相差八度、五度及四度音。例如，頻率為200與300的兩音恰好相差五度音。圖1圖2 單弦琴畢達(dá)哥拉斯音律是弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)單整數(shù)比。聲音透過(guò)一些簡(jiǎn)單而固定的比例，形成令人喜悅的和諧音樂(lè)，這就是一種特別的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。不僅如此，和諧的比例還

5、貫穿于整個(gè)藝術(shù)、大自然和人生之中。畢達(dá)哥拉斯的門(mén)徒們相信星球距離地球也成簡(jiǎn)單整數(shù)比，它們繞地球運(yùn)行時(shí)會(huì)發(fā)出美妙的球體音樂(lè)。開(kāi)普勒（1571-1630）從音樂(lè)長(zhǎng)久為人所尊敬的神奇比例中，發(fā)現(xiàn)天上行星運(yùn)行的規(guī)則：從太陽(yáng)的位置觀察，土星在近日點(diǎn)時(shí)，是以每天 135 秒速度移動(dòng)一個(gè)弧度距離，在遠(yuǎn)日點(diǎn)則只需 106 秒，這兩個(gè)數(shù)字之比約為 5：4，恰等于產(chǎn)生大三度音程的兩根弦的振動(dòng)比例；而木星會(huì)產(chǎn)生一個(gè)小三度音程；火星則是完全五度音程。這樣，每個(gè)星球似乎都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)音樂(lè)上的比例數(shù)字。博伊西斯（475-524）則將和諧分為三個(gè)等級(jí)：最初級(jí)的是樂(lè)器的音樂(lè)，包括歌唱及樂(lè)器演奏出來(lái)的音樂(lè)；其次是人類(lèi)的音樂(lè)，講究

6、身體與靈魂的調(diào)和、平衡與恰當(dāng)?shù)谋壤蛔钔昝赖恼{(diào)和是世界的音樂(lè)，包括行星的井然有序之運(yùn)行、元素的適當(dāng)比例混合、四季的循環(huán)以及大自然、宇宙的和諧。2、“三分損益法”定音階定音階的頻率比就是要在1與2之間插入六個(gè)簡(jiǎn)單整數(shù)比：，并使其中含有四度音及五度音。畢達(dá)哥拉斯通過(guò)單弦琴的實(shí)驗(yàn)，調(diào)整弦的長(zhǎng)度成特定整數(shù)比，就能夠產(chǎn)生全部的音階，即畢達(dá)哥拉斯音律的頻率比如下：事實(shí)上，畢達(dá)哥拉斯音律可以采用“三分損益法”（又叫 “管子法”）。公元前4世紀(jì)，管子一書(shū)的地圓篇記載有此法。所謂“三分損益法”就是交互使用了“三分損一法”（即去掉三分之一的長(zhǎng)）以及“三分益一法”（即將所剩在增加三分之一的長(zhǎng)）。即為：由一個(gè)音出發(fā)，

7、其頻率為1，“三分損一法”就是1乘以（長(zhǎng)度之比的倒數(shù)），“三分益一法”就是將乘以，如此交互相生，得到由小排到大就得到所謂的“五聲音階”再補(bǔ)上及第四音就得到畢達(dá)哥拉斯音階(或叫七音音階)：二 樂(lè)譜上的分?jǐn)?shù)在樂(lè)譜中, 我們可以找到拍號(hào)、 單純音符、附點(diǎn)音符等，莫不與分?jǐn)?shù)息息相關(guān)。譜寫(xiě)樂(lè)曲要使音符適合于每音節(jié)的拍子數(shù),這實(shí)質(zhì)是分?jǐn)?shù)求和的過(guò)程在一個(gè)固定的拍子里,不同時(shí)值的音符必須使它湊成一個(gè)特定的節(jié)拍。在每一首樂(lè)曲的開(kāi)頭部分,我們總能看到一個(gè)分?jǐn)?shù),比如 ,或等, 這些分?jǐn)?shù)是用來(lái)表示不同拍子的符號(hào)，即拍號(hào)。其中分?jǐn)?shù)的分子表示每小節(jié)中單位拍的數(shù)目,分母表示以幾分音符為一拍。如，4/4表示以四分音符為一拍，

8、每小節(jié)4拍。拍號(hào)一旦確定,那么每小節(jié)內(nèi)的音符就要遵循由拍號(hào)所確定的拍數(shù),這可以通過(guò)數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)加法法則來(lái)檢驗(yàn)。比如和就符合由拍號(hào)4/4和3/4分別所確定的拍數(shù)。因?yàn)?/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;而和不符合由拍號(hào)4/4和3/4分別所確定的拍數(shù)，因?yàn)?/16+1/2+(1/4+1/8)=15/164/4,1/8+1/2=5/83/4。這些看似簡(jiǎn)單的要求正是音樂(lè)作曲的基礎(chǔ)。（劉衛(wèi)鋒、王尚志，2005：20）關(guān)于識(shí)讀樂(lè)譜，義務(wù)教育音樂(lè)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中3-6年級(jí)的教學(xué)目標(biāo)提出：“結(jié)合所學(xué)歌曲認(rèn)識(shí)音名、音符、休止符及一些常用記號(hào)?！辈⑶以诮虒W(xué)建議中提到“樂(lè)譜是記載音樂(lè)的符號(hào)，是學(xué)習(xí)音樂(lè)的基本工具。要求學(xué)生具有一定的識(shí)譜能力，有利于進(jìn)行音樂(lè)表演和創(chuàng)造等教學(xué)活動(dòng)?！币虼?，學(xué)生學(xué)習(xí)了一定的樂(lè)譜基礎(chǔ)知識(shí)，那么其背后的數(shù)學(xué)也是能夠引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略到的。事實(shí)上，隨著對(duì)數(shù)學(xué)與音樂(lè)關(guān)系之認(rèn)識(shí)的不斷加深，以數(shù)學(xué)計(jì)算代替作曲，已成為現(xiàn)代作曲家的一種創(chuàng)作方式。創(chuàng)作樂(lè)曲乃是將作曲的過(guò)程公式化，把音程、節(jié)奏、音色等素材都編成數(shù)碼，然后按照需求發(fā)出指令，以計(jì)算器的功能進(jìn)行選擇，再將其結(jié)果編寫(xiě)成樂(lè)曲并演奏出來(lái)。除了上述數(shù)學(xué)與音律、樂(lè)譜的明顯聯(lián)系外, 音樂(lè)還與指數(shù)、 曲線、