近世代數(shù)前兩章知識總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上近世代數(shù)論文師范學(xué)院14級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2班 景羨林 學(xué)號：一、 上半學(xué)期學(xué)習(xí)總結(jié)第一章 基本概念1、 集合的冪集：以集合A的一切子集為元素構(gòu)成的集合，記為A或2A。（含n個元素的集合的子集有2n個，即冪集中的元素共有2n個）2、 積（笛卡爾積）：A×B=（a，b）|aA，bB叫A與B的積。（A×BB×A）3、 A到B的對應(yīng)法則ø為A到B的映射xA，x有象 xA，x的象唯一 xA，x的象在B中。4、 若A是含n個元素的集合，則A的映射共有nn個，一一映射共有n！個。5、 代數(shù)運(yùn)算：一個A×B到D的映射叫做一個A

2、5;B到D的代數(shù)運(yùn)算。（o為A×B到D的代數(shù)運(yùn)算（a，b）A×B，aob有意義，且aob唯一，屬于D）。6、 滿射：yA，設(shè)y=（x），求出x（x為y的函數(shù)），若x存在且xA，則為滿射。（A中的每一個元素都有原象）；單射：a，bA，若ab，則（a）（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即單又滿。（一一映射都有逆映射，若A與B間是一一映射，則A、B有限且元素個數(shù)相同）7、 一個A到A的映射叫做A的一個變換；有限集A的一個一一變換，叫做A的一個置換。8、 一個A 到A的映射，叫做一個對于代數(shù)運(yùn)算o和o來說的，A 到A的同態(tài)映射，假如滿足：a,bA，aa，bb則aobaob（運(yùn)算

3、的象=象的運(yùn)算）；A與A同態(tài)A 與A存在同態(tài)滿射。9、 一個A 到A的一一映射，叫做一個對于代數(shù)運(yùn)算o和o來說的，A 到A的同構(gòu)映射。（同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射）。10、 若R為法則，若R滿足a，bA，要么aRb，要么aRb，唯一確定，則稱R為A的元間的一個關(guān)系；集合A 的元間的一個關(guān)系叫做一個等價關(guān)系，假如滿足反射律（aA，有aa）對稱律推移律11、 A 的一個分類即為A 的一些子集A1、A2、An滿足：A1A2An=A.AiAj=（ij）（不相交）。（集合A 的元間的一個等價關(guān)系決定A的一個分類）12、 模n的同余關(guān)系（ab（n）讀作a同余b模n）：若n（a-b）則ab（a與b同除n后

4、余數(shù)相同）。若a=b則ab（n）即n|a-b。第二章 群論1、 群的定義：一個非空集合G對于一個叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個群，假如：乘法封閉。結(jié)合律成立。存在單位元。逆元存在。2、 群的階：群中元素的個數(shù)；元素的階：使得am=e成立的最小正整數(shù)m，記為a，若這樣的m不存在，則說a是無限階的。（單位元的階為1）3、 元素的階的性質(zhì)：設(shè)a的階為m，若an=e則mn；任何元素與它的逆元同階；設(shè)G為一個群，aG，若a的階為2，則a=a-1；在一個有限群G中，階大于2的元素的個數(shù)一定是偶數(shù)。4、 交換群：a，bG，ab=ba5、 若一個有乘法的有限集滿足乘法封閉；結(jié)合律成立；消去律成立（若ax=ax

5、，那么x=x；若ya=ya則y=y）。則必能做成一個群。（無限集不適用）6、 群同態(tài)：假定G與G對于它們的乘法來說同態(tài)，若G是群，那么G也是一個群（具有相同的特性）。但是反之卻不成立。7、 設(shè)（G，·）和（G，·）是兩個群，如果存在G和G的同態(tài)滿射，則稱G和G同態(tài)，記為G G；如果存在G和G的同構(gòu)映射，則稱G和G同構(gòu)，記為G G。8、 A的一個變換就是一個A到A自己的映射。9、 一個集合A的所有一一變換作成一個變換群G。（變換群是非交換群）；變換群不唯一，變換做成群只有一一映射，10、 任何一個群都同一個變換群同構(gòu)。11、 一個有限集合的一個一一變換叫做一個置換；一個有限集

6、合的若干個置換做成的一個群叫做一個置換群。（置換群的表示不唯一，置換群是非交換群）12、 一個包含n個元的集合的全體置換作成的群叫做n次對稱群；n次對稱群Sn的階是n！。13、 每一個有限群都與一個置換群同構(gòu)。14、 循環(huán)群的每個元素都可以寫成生成元的方冪。（循環(huán)群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一個群）15、 假定G是一個由元a生成的循環(huán)群，那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來決定：a的階若是無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)；a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。16、 一個循環(huán)群一定是一個交換群。17、 設(shè)H為群G的非子集，如果H按G中的運(yùn)算作成一個群，則稱H為G 的一個子群，記為

7、HG。18、 子群的判法：定義法；一個群G的一個非空子集H作成G的一個子群的充要條件是乘法封閉；逆元成立（aHa-1H）；充要條件是：a、bHab-1H；充要條件是：a、bHabH。19、 群G中由等價關(guān)系abab-1H決定G 的一個分類，其中的每一個類，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。20、 群G中由等價關(guān)系abb-1aH決定G 的一個分類，其中的每一個類，叫做子群H的右陪集，用aH表示。21、 一個子群H的右陪集個數(shù)和左陪集個數(shù)相等。（一般的，aG，HaaH，a為單位元時才相等）22、 一個群G的一個子群H的右陪集（或左陪集）的個數(shù)叫做H在G里的指數(shù)，記為G:H。（陪集個數(shù)=H中元素個數(shù)）

8、23、 子群的階能整除大群的階；一個有限群G的任一個元a的階n都整除G的階。24、 一個群G的一個子群N叫做一個不變子群，假如對于G的每一個元a來說，都有Na=aN（指Na與aN這兩個集合一樣）。25、 一個交換群G的每一個子群H都是不變子群。26、 不變子群的判法：定義法：a，有Na=aN；aG，aNa-1=N；aG，nN ana-1N27、 一個群G的一個不變子群N的陪集所作成的群叫做一個商群，用G/N表示；G的階N的階=G/N的階。（每一個不變子群都可產(chǎn)生一個商群）28、 一個群G同它的每一個商群G/N同態(tài)。29、 假定G與G是兩個群，并且G與G同態(tài)，那么這個同態(tài)滿射的核N是G的一個不變

9、子群，并且G/NG30、 一個群G和它的每一個商群同態(tài)；群的同態(tài)滿射的核是一個不變子群。二、 下半學(xué)期學(xué)習(xí)計劃l時間安排問題(1)在學(xué)習(xí)前確定明確的目標(biāo)，比如要在多少時間里完成多少內(nèi)容。(2)按時完成作業(yè)。（3）充分利用課余時間來提高自己。2注意力問題上課專心聽講，做到注意力高度集中3學(xué)習(xí)興趣問題要想學(xué)好近世代數(shù)這門課程，首先必須要對這門學(xué)科有興趣，興趣是最好的老師。4.學(xué)習(xí)方法問題(1)多做題，在做題中體會做題的方法，思想，步驟。(2)敢于不恥下問，與同學(xué)們共同提高。（3）敢于向老師請教問題。(4)合理利用課余時間，多在圖書館看一些課外輔助讀物，提升自己的能力。（5）課前提前預(yù)習(xí)，課后及時復(fù)

10、習(xí)。（6）每隔一段時間就要復(fù)習(xí)一下以前學(xué)過的東西，做到溫故而知新。（7）多做一下以前的考試題，了解考試題型。5、學(xué)會總結(jié)知識將課本上的概念理論用便于自己理解的話總結(jié)起來，學(xué)會比較記憶，把相同類型的內(nèi)容總結(jié)到一起，一并理解記憶。三、 學(xué)習(xí)意見、建議希望老師能把之前發(fā)的那些題仔細(xì)講一下，近世代數(shù)這門課理論概念太多，這也是同學(xué)們上課聽著浮躁的主要原因，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生自然對計算之類的東西比較敏感，而像短篇小說一樣的概念理論，無疑是對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的煎熬，至少對我來說如此，我感覺這門課的概念理論不難記憶，但是不容易理解。為了能更好地學(xué)習(xí)近世代數(shù)這門課程，現(xiàn)提一點(diǎn)建議如下：1、 如果能把枯燥的理論概念融入到習(xí)題講解中，我感覺效果可能會更好。2、 在課堂上積極調(diào)