133函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

1、 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(2 課時)教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué) 生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可 導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間la,bl上所有點(包括端點a,b)處的函數(shù)中的最大(或最小)值必有的充分條件；2使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟.教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.教學(xué)難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系. 教學(xué)過程：一.創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi) 的性質(zhì).也就是說，如果X。是函數(shù)y = f x的極大(小)值點，那么在點X。附近找不到 比f x。更大(小)的值但是，在解決

2、實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小.如果X。是函數(shù)的最大(小)值，那么f X。不小(大)于函數(shù)y二f x在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值. 二新課講授觀察圖中一個定義在閉區(qū)間a,b 1上的函數(shù)f(x)的圖象.圖中f(xj與f(X3)是極小值，f(X2)是極大 值函數(shù)f(x)在a,b 1上的最大值是f (b)，最小值是f (X3).i.結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間 a,b上函數(shù)y二f (x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函 數(shù)y = f (x)在 a,b 1上必有最大值與最小值.說明：如果在某一區(qū)間上函數(shù)y = f (x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)y =

3、 f (x)在這個區(qū)間上連續(xù).(可以不給學(xué)生講)給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值1與最小值.如函數(shù)f(x)在(0,：)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；x在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b】上連續(xù)，是f(x)在閉區(qū)間a,b上有最大值與最小值的充分 條件而非必要條件.(可以不給學(xué)生講)2“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是 個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性.從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；函數(shù)在

4、其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也 可能沒有一個.極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值， 有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值.3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了.一般地，求函數(shù)f(X)在a,b i上的最大值與最小值的步驟如下：求f (x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f (x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值，得出函數(shù)f (x)在a,

5、b 1上的最值.三.典例分析例 1.(課本例 5)求f x =1x4x 4在0,3丨的最大值與最小值，3解：由例 4 可知，在1.0,31上，當(dāng)x =2時，f (x)有極小值，并且極小值為4f (2)，又由于f 0 =4,f 3 =13因此，函數(shù)f 1x4x 4在0,3 1的最大值是 4，最小值是-彳.33上述結(jié)論可以從函數(shù)f 1x4x 4在1.0,3上的圖象得到直觀驗證.3例 2.求函數(shù)y=x4-2x25在區(qū)間-2,2 1上的最大值與最小值解：先求導(dǎo)數(shù)，得y=4x3-4x令y= 0 即4x -4x =0解得XI = -1, x2= 0, x3=1導(dǎo)數(shù)yZ的正負以及f (-2),f (2)如下

6、表X-2(-2,-1 )-1(-1,0 )0(0,1 )1(1,2 )2y一0+0一0+y134/54/13從 上 表 知 ， 當(dāng)x二2時 ， 函 數(shù) 有 最 大 值 1 3 , 當(dāng)x二1時 ， 函 數(shù) 有 最 小 值4x2ax b例 3.已知f (x) - log3,x (0,+8).是否存在實數(shù)a、b,使f (x)冋時x滿足下列兩個條件：(1)f (x)在(0, 1)上是減函數(shù)，在1,+s)上是增函數(shù)；(2)f (x)的最小值是 1,若存在，求出a、b，若不存在，說明理由x2ax b解：設(shè) g(x)=x f(x)在(0, 1)上是減函數(shù)，在1, +8)上是增函數(shù) g(x)在(0, 1)上是

7、減函數(shù)，在1, +8)上是增函數(shù).(1)=0b 1=0a = 1 解得丿3=3a + b +1 = 3b = 1經(jīng)檢驗，a=1,b=1 時， 1(x)滿足題設(shè)的兩個條件四課堂練習(xí)1 .下列說法正確的是()A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2.函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是 M，最小值是 m 若 M=m 貝 U f (x)()A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.以上都有可能I 3.函數(shù) y=14* 13 ,X +x +12,-x,在:1, 1 上的最小值為()1 101-14328.1131A.0B. 2C. 1D.6j121 /44.求函數(shù)4o 2y =X -2x+ 5在區(qū)間匚2,2】上的最大值與最小值.2y=x4-2x2+55.課本練習(xí)五.回顧總結(jié)-4-2102，4 x1. 函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點， 區(qū)間端點；2. 函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b 1上連續(xù)，是f