電磁理論與電路理論

1、關(guān)于電磁場理論與電路理論的關(guān)系摘 要 電磁場理論和電路理論是大學(xué)物理非常重要的內(nèi)容，對與應(yīng)用物理專業(yè)學(xué)生來說，應(yīng)該掌握電磁場理論和電路理論知識(shí)。由于人們對經(jīng)典電路理論的實(shí)用性印象極深,而電磁場理論卻相對比較抽象,以至人們有時(shí)不知不覺將電路理論和電磁場理論割裂開來,認(rèn)識(shí)不到兩者的內(nèi)在聯(lián)系。本文的目的是建立電磁場理論和電路理論之間的統(tǒng)一關(guān)系,強(qiáng)調(diào)場論的普遍性,我們從“路”理論與“場”理論各自的理論基礎(chǔ)出發(fā),逐步分析清楚了兩種理論基礎(chǔ)間的關(guān)系。這樣,可以更深刻地認(rèn)識(shí)電路中所發(fā)生的各種電磁現(xiàn)象的本質(zhì),加深對電路及電路概念的理解,并在適當(dāng)?shù)厍樾蜗?更有效地利用“路”理論簡化對復(fù)雜電磁場問題地分析。關(guān)鍵詞

2、：電磁場，電路，安培環(huán)路定理，麥克斯韋方程，基爾霍夫定律 人們把電磁場與導(dǎo)體的相互作用而產(chǎn)生電的現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)。1820年，奧斯特在發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，揭示了電與磁聯(lián)系的電生磁一個(gè)方面。1831年，法拉第發(fā)現(xiàn)通電線圈在接通和斷開的瞬間，能在鄰近線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流的現(xiàn)象。揭示了電與磁聯(lián)系的磁生電另一個(gè)方面。根據(jù)奧斯特的實(shí)驗(yàn)的原理制造出電動(dòng)機(jī)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)的規(guī)律制造出了發(fā)電機(jī)。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)在理論上有重大意義，使人們對電和磁之間的聯(lián)系有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，從而激發(fā)人們探索電和磁之間的普遍聯(lián)系的理論。在解決電磁場問題或電路問題時(shí)，電磁理論和電路理論是緊密聯(lián)系的,但許多情況下人們對這兩種理論間地

3、認(rèn)識(shí)不全面,導(dǎo)致不能很好地理解兩者之間的關(guān)系,從而在很大程度上影響了應(yīng)用電路理論簡化電磁場問題地分析,為此文中將從安培環(huán)路定理、麥克斯韋方程、基爾霍夫定律來分析這兩種理論的聯(lián)系。1,安培環(huán)路定理BdIdl圖1，導(dǎo)線I垂直閉曲線L安培環(huán)路定理是表明電磁場與電路相聯(lián)系的重要定理之一，下面試安培環(huán)路定理1的推到。磁場B由無限長直導(dǎo)線激發(fā)，而且閉曲線L躺在與直導(dǎo)線垂直的平面內(nèi)（如圖1），我們來計(jì)算B沿L的環(huán)流，由 可知任一線元dl對環(huán)流的貢獻(xiàn)為： （1-1）其中I是導(dǎo)線的電流，a是dl與導(dǎo)線的距離，是B的方向的單位矢，是與dl的夾角（見圖），以導(dǎo)線與片面的交點(diǎn)為圓心，a為半徑作園，則dl對應(yīng)于一個(gè)圓心

4、角及一段弧,由圖易見故: （1-2）恒定磁場B對任意的閉合曲線L的環(huán)流滿足式（1-2）稱為安培環(huán)路定理。安培環(huán)路定理說明了磁場強(qiáng)度B與電流的聯(lián)系。2，麥克斯韋方程人類對電磁理論的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由淺入深，由片面到全面的過程，對靜電和靜磁現(xiàn)象的早期研究建立了關(guān)于靜電場和靜磁場的如下方程2：靜電場： （2-1） (2-2) （2-3）圖2，以L為邊線的s1和s2靜磁場： （2-4） 對任意給定的閉曲線L而言，以L為邊線的任意一曲面都有相同的J（傳導(dǎo)電流）通量，麥克斯韋引入電流密度是 ，其中是點(diǎn)位移矢量，P為介質(zhì)中的極化強(qiáng)度，位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度是平等的，根據(jù)安培環(huán)路定理： (2-5)上式表明一個(gè)

5、物理規(guī)律：變化的電場激發(fā)著渦旋磁場。那么電磁場量E和B必須滿足麥克斯韋方程組3：它反映在場源（電荷密度及電流密度J）給定的前提下電場E和磁場B隨時(shí)間的演化所遵循的規(guī)律，電磁場反過來又會(huì)按洛侖磁力公式對場源（帶電粒子）施加作用。體現(xiàn)了電磁場與電場的相互作用，也表明電磁理論與電路理論存在著密切的聯(lián)系。3，基爾霍夫定律 對基爾霍夫定律路論與場論之間的關(guān)系進(jìn)行探討。用電磁場理論推導(dǎo)出電路理論中的基爾霍夫定律，得出基爾霍夫定律的實(shí)質(zhì)是電磁場基本規(guī)律的簡化,是“場”的特殊情形。進(jìn)一步證明了場論是路論的理論基礎(chǔ)。在電路理論中,討論的是路的元件及其施加于元件上的端電壓u和流經(jīng)元件的電流i。在電磁場理論中,討論

6、的是場矢量E、D 、B 、H、和它們的位置函數(shù)的值。 電路參數(shù)的推求要用“場”的方法, 電路基本定律也可以從麥克斯韋電磁場基本方程組導(dǎo)出,“路”與“場”是相互關(guān)聯(lián)的。 基爾霍夫定律4是集總電路的基本定律,它包括電壓定律和電流定律。3.1基爾霍夫電壓定律 在集總電路中, 任何時(shí)刻, 沿任一回路, 所有支路（如圖3-1）的電壓的代數(shù)和恒等于零， 即u = 0圖3-1，說明KVL的電路在圖3-1 所示電路中,根據(jù)基爾霍夫電壓定律有： (3-1)3.2基爾霍夫電流定律 在集總電路中, 任何時(shí)刻, 對任一結(jié)點(diǎn), 所有流出結(jié)點(diǎn)的支路電流的代數(shù)和恒等于零,即i = 0在圖3所示電路中,根據(jù)基爾霍夫電流定律有

7、：圖3-2，說明KCL的電路 (3-2)3.3用場論導(dǎo)出路論中的基爾霍夫電壓定律 如圖3-1 所示電路,設(shè)R 、L 、C 三個(gè)串聯(lián)元件和電源組成的電路符合簡化條件。 圖中 表示電源的電壓,是由電源中的局外電場強(qiáng)度 產(chǎn)生的。 電路中的電場強(qiáng)度為,總的電場強(qiáng)度E為電路中的電場強(qiáng)度和局外電場強(qiáng)度之和,即： (3-3) 電路中的電場強(qiáng)度包括由于在電源兩極、電容器兩極以及導(dǎo)線表面堆積的電荷所造成的庫侖場的電場強(qiáng)度。 對式(3-3) 兩邊求回路積分為： (3-4)因局外場只存在于電源中,故有： (3-5)因庫侖場的電場強(qiáng)度回路積分等于零, 根據(jù)麥可斯韋方程： (3-6)所以電路中的電場強(qiáng)度Ed 的積分為：

8、 (3-7)因電路中有電流流動(dòng), 傳導(dǎo)電流密度和總電場強(qiáng)度有關(guān)系故有： (3-8)電路中各段的傳導(dǎo)電流i是相等的,且均勻地分布于導(dǎo)線的橫截面上, 故上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)可寫為： (3-9) 上式中的 包括電路各段的電阻以及電源的內(nèi)阻。電容中無局外場強(qiáng), 如果電容器是理想的平行板電容器,極板間距離為d,板面積為,極板上電荷面密度為,則有： (3-10)上式中 為電容器的電容,將式(3-5) (3-7) (3-9) （3-10）代入式(3-4) 中,得： (3-11)可見,式(3-11)與式(3-1)一樣,即為從場理論出發(fā)導(dǎo)得了路理論的基爾霍夫電壓定律。3.4 用場論導(dǎo)出路論中的基爾霍夫電流定律 如

9、圖3-2所示電路,作一封閉面S,且設(shè)封閉面有一部分穿過電容器的極板間,截面積為S3,封閉面與電阻支路、電感支路的導(dǎo)線相截的截面積分別為S1,S2根據(jù)麥克斯韋電磁場方程式的全電流定律: (3-12)電流密度:其中:為傳導(dǎo)電流密度,為位移電流密度。 在式(3-12) 等號(hào)兩邊取散度,并根據(jù)向量分析,任意向量的旋度進(jìn)行散度運(yùn)算后恒等于零,得: (3-13)那么, 在圖2的封閉面S所圍體積的體積分應(yīng)為零,即:根據(jù)高斯定理5: (3-14) 現(xiàn)在來看式(3-14) ,即 在封閉面S上的積分。在封閉面和導(dǎo)線相截的截面和上的電流密度是只有傳導(dǎo)電流密度(截面S1的電流面密度)和 (截面S2 的電流面密度),而

10、無位移電流密度,即 , 因此,在這兩個(gè)截面上面積分為傳導(dǎo)電流 和 ,即: (3-15)圖3-3，電容器及導(dǎo)線電路圖 (3-16) 如圖（3-3），封閉面在電容器極板間部分上的電流密度是位移電流密度 ,而無傳導(dǎo)電流密度,即：。下面求位移電流密度 在穿過電容器的極板間截面積S3的積分。設(shè)在圖示的電路中, 圍繞導(dǎo)線取一閉合曲線和一以為邊界且與導(dǎo)線相截的面,由安培環(huán)路定律有: (3-17) 由于傳導(dǎo)電流密度只存在于導(dǎo)線中,因此,如果另取一個(gè)同樣以為邊界但不與導(dǎo)線相截卻包括電容器的一個(gè)極板的面S3 ,則顯然上式中傳導(dǎo)電流密度在上的面積分即傳導(dǎo)電流流到電容器的一個(gè)極板,而在電容器極板間則以位移電流的形式使

11、電流保持連續(xù),即有: (3-18)根據(jù)上述的推導(dǎo), 由式(14)、(15)、(16)和式(18)得到 在封閉面S 上的積分為: (3-19)可見,式(3-19)與式(3-2) 一樣,即為從場理論出發(fā)導(dǎo)得了路理論的基爾霍夫電流定律。綜上所述，從電磁場理論出發(fā),分別導(dǎo)出了電路理論中著名的基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律,表明電路基爾霍夫定律是電磁場的特殊情形,也可以從場方程導(dǎo)出。因而在電路理論論和電磁理論兩套體系下,電磁場的理論更為普遍,電磁場理論是電路理論的基礎(chǔ)。電路中的基爾霍夫定律的實(shí)質(zhì)是電磁場基本規(guī)律的簡化，電路理論和電磁理論的規(guī)律是相互關(guān)聯(lián)的。電路理論只研究由理想化電路元件組成的電路模型,而電路的參數(shù)如電阻、電感、電容及電路基本定律是電磁現(xiàn)