多次相遇問(wèn)題

1、多次相遇問(wèn)題”剖析一、直線(xiàn)型直線(xiàn)型多次相遇問(wèn)題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種?！皟砂缎汀笔侵讣?、乙兩人從路的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行；“單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時(shí)出發(fā)同向而行。現(xiàn)在分開(kāi)向大家一一介紹：（一）兩岸型兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。 題干如果沒(méi)有明確說(shuō)明是哪種相遇，考生對(duì)兩種情況均應(yīng)做出思考。1迎面碰頭相遇：如下圖，甲、乙兩人從 A、B兩地同時(shí)相向而行，第一次迎面相遇在a處，（為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線(xiàn)分開(kāi)畫(huà)出）則共走了 1個(gè)全程，到達(dá)對(duì)岸b后兩人轉(zhuǎn)向第二次迎面相遇在c處，共走了 3個(gè)全程，則從第一次相遇到第二次相遇走過(guò)

2、的路程 是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了 2個(gè)全程。所以第三次相遇共走了 5個(gè) 全程，依次類(lèi)推得出：第 n次相遇兩人走的路程和為（2n-1）S，S為全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開(kāi)看每個(gè)人都是2倍關(guān)系，經(jīng)?？梢杂眠@個(gè)2倍關(guān)系解題。即對(duì)于甲和乙而言從a到c走過(guò)的路程是從起點(diǎn)到 a的2倍。C甲 t> b.5|A<乙相遇次數(shù)全程個(gè)數(shù)再走全程數(shù)1 112 323 524 722n-12、背面追及相遇與迎面相遇類(lèi)似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如下圖，此時(shí)可假設(shè)全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面追及相遇在 a 處，再經(jīng)過(guò)1

3、分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人 在c處相遇。我們可以觀察，第一次背面相遇時(shí)，兩人的路程差是1個(gè)全程，第二次背面相遇時(shí)，兩人的路程差為3個(gè)全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個(gè)人多走的路程也是第一次的2倍。依次類(lèi)推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1）S。b（二）單岸型單岸型是兩人同時(shí)從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。1、迎面碰頭相遇:如下圖，假設(shè)甲、乙兩人同時(shí)從 A端出發(fā)，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走2份，乙 每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在 a處，此時(shí)甲走了 2份，乙走了 4份，再過(guò)1

4、分鐘，甲共走了 4份，乙共走了 8份，在b處迎面相遇，則第二次相遇多走的跟第一次 相遇相同，依次類(lèi)推，可得出：當(dāng)?shù)趎次碰頭相遇時(shí)，兩人的路程和為 2ns。乙2、背面追及相遇與迎面相遇相似，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，則第一次背面相遇在a處，2分鐘后甲走了 2份，乙走了 14份，兩人在b處相遇。第一次相遇,兩人走的路程差為2S,第二次相遇兩人走的路程差為 4S,依次類(lèi)推，可以得出：當(dāng)?shù)趎次追及相遇時(shí)，兩人的路程差為2ns。aB“直線(xiàn)型”總結(jié)（熟記）兩岸型:第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是(2n-1)S。第n次背面追及相遇，兩人的路程差是(2n-1)S。單岸型:第n次迎面碰頭

5、相遇，兩人的路程和為2ns。F面列出幾種今后可能會(huì)考到的直線(xiàn)型多次相遇問(wèn)題常見(jiàn)的模型:模型一 :根據(jù)2倍關(guān)系求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩人在 A B兩地間往返散步，甲從 A,乙從B同時(shí)出發(fā)，第一次相 遇點(diǎn)距B60米，當(dāng)乙從A處返回時(shí)走了 10米第二次與甲相遇。A、B相距多少米？A、150B、170C、180D200【答案及解析】B。如下圖，第一次相遇在 a處，第二次相遇在b處，aB的距離為60，Ab的距離為10。以乙為研究對(duì)象，根據(jù) 2倍關(guān)系，乙從a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60X 2=120米，Ab為10,則Aa的距離為120-10=110米，則AB距 離為 110+60

6、=170 米。10b 模型二:告訴兩人的速度和給定時(shí)間，求相遇次數(shù)?！纠?】甲、乙兩人在長(zhǎng)30米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游米，乙每分鐘游米。兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí) 間，則從出發(fā)開(kāi)始計(jì)算的1分50秒內(nèi)兩人共相遇多少次？【答案彌拆】乩題目沒(méi)說(shuō)斥袒面汪圧背葩師以?xún)筛侥坑龅耐責(zé)霊?yīng)該計(jì)勲弁幵討論, 30如是是迎面相遇.貼E的全程朗個(gè)汽為1107=11020=5 5-I-.很將迎面 37.5+5256CtQiS n次，走的全程為21=5,求得n=3;如果是背面相遇，則這的全程數(shù)為 ll0+(TT?r?)=lia+1：0<b故在L分甜秒內(nèi)，不能瞥面楫週。

7、師以共相遇時(shí)罠 60模型三:告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩車(chē)分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在 A B間不斷往返行駛。甲車(chē)每 小時(shí)行20千米，乙車(chē)每小時(shí)行 50千米，已知兩車(chē)第10次與第18次迎面相遇的地點(diǎn)相距60千米，則A、B相距多少千米?A 95110B、100C、105D、【答案及解析】C。走相同時(shí)間內(nèi)，甲乙走的路程比為20： 50=2： 5。將全程看成7份，則第一次相遇走1個(gè)全程時(shí)，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對(duì)象(也可以以乙)， 第10次迎面相遇走的全程數(shù)為 2X 10-1=19個(gè)，甲走1個(gè)全程走2份，則走19個(gè)全程 可走19X 2=38份。

8、7份是一個(gè)全程，則38份共有38-7=53份(當(dāng)商是偶數(shù)時(shí)從甲的 一端數(shù)，0也是偶數(shù)；當(dāng)商是奇數(shù)時(shí)從乙的一端數(shù)，比如第1個(gè)全程在乙的一端，第 2個(gè)全程在甲的一端)從乙端數(shù)3份。同理當(dāng)?shù)?8次相遇，甲走的份數(shù)為(2 X 18-1) X 2=70 份。共有70-7=10個(gè)全程，10為偶數(shù)在甲的端點(diǎn)。如下圖：甲乙A 111i I1B16 10則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長(zhǎng)為(60/4) X 7=105千點(diǎn)評(píng)：對(duì)于給定任意兩次的距離，主要是根據(jù)速度轉(zhuǎn)化為全程的份數(shù)，找一個(gè)為研究對(duì)象，看在相遇次數(shù)內(nèi)走的全程數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為份數(shù)，然后根據(jù)一個(gè)全程的份數(shù)，將 研究對(duì)象走的總份數(shù)去掉

9、全程的個(gè)數(shù)看剩余的份數(shù)，注意由全程的個(gè)數(shù)決定剩余的份數(shù)從哪一端數(shù)。【例4】甲、乙兩車(chē)分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在 A B間不斷往返行駛。甲車(chē)每 小時(shí)行45千米，乙車(chē)每小時(shí)行36千米，已知兩車(chē)第2次與第3次迎面相遇的地點(diǎn)相距 40 千米，則A、B相距多少千米？A 90B、180C、270D 110【答案及解析】A。法一：同上題。相同時(shí)間，甲、乙路程比為45: 36=5: 4,則將全程分成9份。則一個(gè)全程時(shí)甲走 5份，乙走4份。以甲為研究對(duì)象，第 2次相遇，走 的全程數(shù)為2X2-1=3個(gè)，則甲走的份數(shù)為3X 5=15份，一個(gè)全程為9份，則第2次相 遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為15* 9=16份

10、，則從乙端數(shù)6份。第3次相遇走的份數(shù)為(2 X3 - 1) X 5=25份，轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為 25* 9=27,則從甲端數(shù) 7份。如下 圖：甲乙A LJp'11*23由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距(40/4) X 9=90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。 將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時(shí)間比，則以時(shí)間為刻度，畫(huà)出兩人到達(dá)對(duì)岸的 路線(xiàn)圖，兩人走的路線(xiàn)圖相交的點(diǎn)即為兩人相遇的地點(diǎn)。s-t圖中的路線(xiàn)因像古代記時(shí)間的沙漏故稱(chēng)為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為36： 45=4： 5。如下圖：s-t S

11、根據(jù)路線(xiàn)圖看出甲乙第 2次相遇和第3次相遇的交點(diǎn)E和0,根據(jù)三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，則求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理D0:0N=7 2,則第375 S 4S=939次相遇距A地的比例為7S/9，則兩次相遇比例為為40千米，則S=90千米。點(diǎn)評(píng)：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會(huì)直觀快速的提高解題速度。用交點(diǎn)判斷 是迎面相遇還是背面相遇的技巧：看相交的兩條線(xiàn)是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則 說(shuō)明是背面相遇，不同岸則說(shuō)明是迎面相遇。用時(shí)注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時(shí)可畫(huà)，相遇次數(shù)太多，則會(huì)花費(fèi)大量 時(shí)間，不利于提高速度；畫(huà)時(shí)的單位刻度要看時(shí)間比，如果時(shí)間比中的數(shù)據(jù)

12、較大可把刻 度畫(huà)大。模型四:告訴兩人的速度，相遇次數(shù)較少時(shí)，利用s-t圖形成“沙漏”模型速解?！纠?】A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步 行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近。C、【答案及解析】Bo利用“沙漏模型”。甲乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為150: 40=15: 4 ,3X八0二 3D 壬5 二 6半小時(shí)兩人共走的全程數(shù)為40+150個(gè)。對(duì)于單岸型，相遇6個(gè)全程,則是迎面第三次相遇（由前邊公式推出）畫(huà)出s-t圖:甲 5)5 W 152025305 W 1502530s-t圖C甲対實(shí)蛾 > 乙為虛線(xiàn)）觀察上

13、圖可知，可第3次迎面相遇的過(guò)程中，甲乙有一次背面相遇 （交點(diǎn)由同一點(diǎn) 引出）。而在三次迎面相遇中第 2次相遇離B地最近，并且可根據(jù)三角形相似求出離 B 地的距離?！纠?】河道賽道長(zhǎng)120米，水流速度為2米/秒，甲船靜水速度為6米/秒，乙船 靜水速度為4米/秒。比賽進(jìn)行兩次往返，甲、乙同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，先順?biāo)叫?，?wèn)多少秒 后甲、乙船第二次迎面相遇？A 48B、50C、52D、54【答案及解析】C。由題知，得出如下關(guān)系:順流逆流甲8(15)4(30)乙6(20)2(60)注：（）中為走完全程的時(shí)間假設(shè)A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個(gè)全程。由于甲的速度快，則第2次相遇前甲已走

14、了 2個(gè)全程。共15+30=45秒。當(dāng)?shù)?5秒時(shí)乙走了一 個(gè)順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為 25X 2=50米，則在剩余的70米內(nèi)，甲乙 分別以順流和逆流相遇時(shí)間為t ,則有70=(8+2) X t ,求得t=7秒，則共用時(shí)間45+7=52秒。本題同樣可用“沙漏模型”解決。根據(jù)上表中的速度關(guān)系，可得出一個(gè)全程時(shí)的時(shí)間關(guān)系如下：順流逆流甲36乙412根據(jù)時(shí)間的關(guān)系，得出s-t圖像，如下:乙乙（26 6 10 121 16 16 20S-t圖 < 邑湖寶讖，乙対虛戟)觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P點(diǎn)，以甲為研究對(duì)象計(jì)算時(shí)間，此時(shí)甲走了一個(gè)順流，一個(gè)逆流，另外 EP段為順流，根據(jù)

15、三角形相似可求出走EP用的時(shí)間15x = 15EP:PN=EF:MN=7：8由上表，求出走 EP用的時(shí)間為'一"，則甲共走的時(shí)間為15+30+7=52。二、環(huán)型環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時(shí)反向迎面相遇（不可能背面相遇）， 一種是甲、乙兩人同地同時(shí)同向背面追及相遇 （不可能迎面相遇）。分開(kāi)討論如下：（一）甲、乙兩人從A地同時(shí)反向出發(fā)：如下圖，一個(gè)周長(zhǎng)分成 4份，假設(shè)甲是順時(shí)針每分鐘走 1份到B,乙是逆時(shí)針每分 鐘走3份到B,則第一次相遇兩人走了 1個(gè)周長(zhǎng)，則再過(guò)1分仲，甲再走1份到C,同 樣乙走3份也到C,則第二次相遇共走了 2個(gè)周長(zhǎng)，依次類(lèi)推，可得出：第 n次

16、迎面相 遇共走了 n圈。（二）甲、乙兩人從A地同時(shí)同向出發(fā)：如下圖，全程分成4份。假設(shè)甲、乙兩人都是順時(shí)針同時(shí)出發(fā)，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走5份，則1分鐘后兩人在B處第一次背面追及相遇， 兩人走的路程差為1個(gè) 周長(zhǎng)。再過(guò)1分鐘后，甲到C處，乙也到C處，兩人第二次背面追及相遇，多走的路程 差同樣為一個(gè)周長(zhǎng)，依次類(lèi)推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差為 n圈。乙甲匚環(huán)型多次相遇問(wèn)題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，當(dāng)甲、乙不在同一地點(diǎn)出發(fā)時(shí)相對(duì)具有難度。比 如在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^(guò)下面的例題把握。【例1】老張和老王兩個(gè)人在周長(zhǎng)為 400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米, 老王每分鐘走16米?，F(xiàn)在兩個(gè)人從

17、同一點(diǎn)反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三 次相遇？A 33 B 45C 48D 56【答案及解析】C。第一次迎面相遇時(shí)間為 400*(9+16)=16，則第三次迎面相遇時(shí) 間為 16X 3=48。【例2】小明、小亮從400米環(huán)形跑道的同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行。當(dāng)他們第一次相 遇時(shí)，小明轉(zhuǎn)身往回跑；再次相遇時(shí)，小亮轉(zhuǎn)身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和 小亮兩人交替調(diào)轉(zhuǎn)方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，則在兩人第30次相遇時(shí)小明共跑了多少米？A 11250B 11350C11420D 11480【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后 都是迎面與背面相遇交

18、替。則在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用時(shí)為400*(3+5)=50，背面相遇一次用時(shí)為 400*(5 -3)=200，則30次相遇 共用時(shí)為15X (50+200)=3750s，則小時(shí)在這段時(shí)間里跑的路程為 3750X 3=11250米【例3】甲、乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反方向繞此圓形路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇，則這個(gè)圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為多少米？A 320B 360C420D 480【答案及解析】D。如下圖，假設(shè)甲、乙分別在直徑A、B兩端以順時(shí)針和逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。第1次相遇在C點(diǎn)距B點(diǎn)100米，第2次相遇在D點(diǎn)，距A點(diǎn)60米。當(dāng)在直徑端點(diǎn)兩岸行走時(shí)， 可將環(huán)型轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)型， 則第2次相遇每個(gè)人走的路都 是第1次相遇的2倍。以乙為研究對(duì)象，則從C到D走的路是B到C的2倍，即200米,