十三、圓錐曲線

1、十三、圓錐曲線（逐題詳解）第I部分2 21. 2014年重慶卷】設(shè)鳥,E分別為雙曲線土 -% = 1 （。 0,力。）的左、右焦a b9點，雙曲線上存在一點P 使得 I PE I + I PF2 |= 3b, PF x- PF 2 =-ab,則該雙曲線的離心率為（）459A. - B. - C. - D. 33 34【答案】B【解析】由于（I捋1+1明1） 2 （I捋IT昭1） 2=41捋E留I，所以9b'-物2 =9ab分 解因式得國-4a）（ 3b + a） = 0 n物=3必a = 3兀0 = 44, c = 54所以離心率e = f =，選 擇B a 322. 2014年福建卷

2、】設(shè)P, Q分別為圓X?+ （y-6） 2=2和橢圓jjy2=l上的點，貝U P, Q兩點間啊堇大耍離是（）A. 5 扼 B. V46+V2 C. 7 +扼D. 6 扼【答案】D【解析】設(shè)橢圓上的點為（x, y），則_?.?圓X , + （y-6） J2的圓心為（0, 6）,半徑為扼，丄橢圓上的點與圓心的距離為 x之+ （y - 6 ）性2+5°W5扼，景，Q兩點間的最大距離是5屈后6匝.故選：D 2 23. 2014年全國大綱卷】己知橢圓C:二+ 土 = 100）的左、右焦點為*、a bF2,離心率為亨，過E的直線/交C于A、B兩點，若AAF.B的周長為4右, 則C的方程為（）2

3、2 2 2 2 2 2 a 工 y 1B. + y2 =1C.馬匕=1D. 土 + 匕 =1A. 3+ 2= 13 -12 812 4【答案】A【解析】.? ARB的周長為4扼，.？ .4a=4扼，.性福，？.？離心率為匝2 2.,?c=l, ； .b司a2 一技扼，橢圓C的方程為二+匕=1.故選：A3 24. 2014年全國大綱卷】已知雙曲線 C的離心率為2,焦點為§、，點A在C 上，若 |RA|=2|%A|,則 cosZAF2F=()A?:C."【解析】.?雙曲線C的離心率為2, .?.e=f=2,即c=2a, a點A在雙曲線上，則iFjAl - |F2A|=2a,又腳

4、|=2歸陽,.?解 W|FiA|=4a, |F2A|=2a, | |FIF2|=2C,則由余弦定理得 cosn 的， 網(wǎng) 2|2+七2 2- |AF2 擇 +盆 2-1632 4$-1232 2|AF2 |-|F1 F2 I 2X2aX2c - 8ac2.02. 2_o221=土旦，故選：A2 22ac 4a4a 45. 2014年山東卷】已知a>0,b>0橢圓C】的方程為工+工=1,雙曲線C.,的 a b 方程為二=1, C與C2的離心率之積為豐，則C2的漸近線方程為一a b 2(A) x 吃y = 0 (B) A2x ± y = 0 (C) x 2± = 0

5、 (D) 2x y ±02 2.2e.2 c a -bi =a a22 e k2 c a + b 2 = =a a【答案】A【解析】幾27(驊)2=虧以=2.*4=仙4a 4.J 必 a 26. 12014年四川卷】已知F是拋物線丁 =的焦點，點A, B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，0A 0B = 2 (其中。為坐標(biāo)原點)，貝U AABO與 AAFO面積之 和的最小值是【答案】B【解析】方法1：設(shè)直線AB的方程為：x = ty + m,點人（知叫），3 （如義），又F （: ,0），直線AB與x軸的交點（不妨假設(shè)Vj > 0）又 QA QB = 2A> xA 2 + y

6、xy2 = 2 二> (y； a)2 + y； y -2 = 0因為點A, 3在該拋物線上且位于工軸的兩側(cè)，所以*%=-2,故秫=211192于是 A o + AQ=-x2x (yi-y2)+ -x-xyi=-yi + ->2Q94當(dāng)且僅當(dāng)由=土5|圣時取“="8叫3=3所以AABQf AAFQ面積之和的最小值是3 方法2：解析：據(jù)題意得2或F (:,0）,設(shè) A （氣，.*）,8 （句必），則母=）%工2 =男，）亍對+片）'2=2,，'1、2=-A-1 X4【考點定位】1、拋物線;2=一 + 力2、三角形的面積;+2-lyll9 - 8 >- 3

7、3、重要不等式線/呼年天津卷】A ' 丁R ' ,2 r 3x2 3v23x2 3y 25 2020 525 100100 25答案】 A解析】由題意知，雙曲線的漸近線為尸土烏，.？.'=2.雙曲線的左焦點（一 a ac, 0）在直線I上，雙曲線的.?.0二2c+10, .c=5又.W+甘=#, ."2=5,月=20,2 2方程為芝一春=1.0 ZU8. 2014年全國新課標(biāo)I】已知F是雙曲線C: x2- my- =3m(jn>G)的一個焦 點，則 點萬到C的一條漸近線的距離為A.也 B .3 C. y/3m D . 3m【答案】:A12【解析】：由 C

8、: x my3m(m > 0),得=1 > c = 3m + 3, c = yj3m+3 3m 3設(shè)Fpl福耳o), 一條漸近線“° 即x-yfmy = o,則點尸到C的一條漸AAA=0 選 A., vl + m近線的距離d=9. 2014年全國新課標(biāo)I】已知拋物線C： y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為/, P是/上一點，Q是直線P尸與C的一個交點，若FP = 4FQ,貝!|eF|=75A. - B. - C. 3 2【答案】：D.2【解析】：過Q作QM_L直線L于M, ' : FP =.PQ_3,網(wǎng)一 4:.QM=3,由拋物定義知 QF=QM=310. 2014年全

9、國新課標(biāo)II】設(shè)F為拋物線C： r =3x的焦點，過F且傾斜角為30°勺直線交C于A,B兩點，0為坐標(biāo)原點，貝U AOAB的面積為()C. 6332【答案】D設(shè)點A、3分別在第一和第四象 AF = 2m,BF = 2n,則由拋物線的 限定義和直角三角形知訶得，解析2m = 2 ? y/3m,2n= 2 ? -J3n,= (2 + V3),/? = (2 - V3),4 422139:.m + n = 6. :.5aoab = ? ?(m + n)=.故2 2 11-2014年廣東卷)】若實數(shù)k滿足。則曲線沒志=1與曲線2 2 上卜的D.焦距相等A.離心率相等B.虛半軸長相等C.實半軸

10、長相等【答案】D2 2【解析】vkv9, 9 > 0,25 k > 0 9.?曲 11 與25 9-k均是雙曲線，且c2 =a2 +b2=25+(9-k)=(25-k)+9,即焦距相等.故選D.第II部分2 21. 2014年上海卷】若拋物線y2 = 2px的焦點與橢圓j +普=1的右焦點重合,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為【答案】% = -2【解析】：橢圓右焦點為(2,0),即拋物線焦點，所以準(zhǔn)線方程 x = -22. 2014年上海卷】己知曲線 C;x =-4-y2 ,直線Z： % = 6.若對于點A(m, 0),存在。上的點P和/上的。使得AP+AQ = 0,貝!| m的取值范圍為.

11、【答案】me 2,3【解析】：根據(jù)題意，A是PQ中點，艮| ？=弓翌=告胞，一 2V心V 0,.me2,33. 2014年江西卷(理15)過點Af(l,l)作斜率為-!的直線與橢圓C :2 2% y,/ +示=1(。>力>° )相交于A,3 ,若M是線段的中點，則橢圓C的離心率為【答案】馬2設(shè)琪知弟研如力）則冬+告=1 a b2 2X2 +力2 7 2a b解析】 （工 1 一工 2）（羽 +2） | （ >1 一>2） 31 + >2） ,0 tz 2案為：4-匕=i，y=± 2x 1225. 2014年安徽卷】設(shè)灼分別是橢圓 E:x2+A

12、= I （0<b<I）的左、右焦點，過 點FJ的直線交橢圓E于A,3兩點，若|人用=3烏耳AF2 ±x軸，貝U橢圓E的方程為. b1:.a 2 = lb 2._y/2.c -224. 2014年北京卷】設(shè)雙曲線C經(jīng)過點（2,2）,且與十<=1具有相同漸近線,則。的方程為；漸近線方程為.2 2【答案】A_-匕=iy=i2x3 122 2【解析】與JC-/=I具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為匕-xS,（mUO） , 4 4。2?.雙曲線C經(jīng)過點（2, 2）,.新二言-21-4=-3，2 2 22即雙曲線方程為y-x =-3,即專-專=1,對應(yīng)的漸近線方程為y=±

13、;2x,故答【解析】設(shè)耳(一c,0), E (c,0)，由 AF2±得A （c, 2）,又由=3|鳥同得B （-y，-y）代入橢圓得25c2+b2 =9,將c2 =l-b 2代入得=2習(xí)亍+垃=13 26. 2014年湖南卷】如圖4,正方形ABCZ ）和正方形QEFG的邊長分別為a,b （a b）.原點。為AQ的中點，拋物線y2 =2px （p>0）經(jīng)過C、F兩點，則女=.a【答案】V2+1【解析】由題可得C修，修+0,02a = pa b2 = 2p; + /7 ='- = V2 + 故填 bV2+1.2 2“ =1,點M與C的焦點不重合,7. 2014年遼寧卷（理1

14、5）】己知橢圓C:94若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為 A, B,線段MN的中點在C上，貝U | AN | +1|=.【答案】12【解析】如圖：MN的中點為Q,易得|QF9|A|NB|QF1|a|AN|, ?.?Q在橢圓C上，.1|QFi| + |QFj=2a=6, A |AN| + |BN|=12.第部分1. 2014年重慶卷(理21)】如下圖,2 2橢圓工=1(。> Z? > 0)的左右點分別為月，&，點D在橢圓上，DFxLFxF2，捋m = 2很，ADgE的面積為手.(1) 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在 這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分

15、別過不同的焦點，求圓的半徑解：(1)設(shè)D(-c,y),代入橢圓方程中求出y =由己知：|明=2回/闿.陰=手,聯(lián)立解出|"=x軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在h2h2故| 班；|= 土，而 F.F2 = 2C2, ?=季即 2c = 2,?=手，/=" + o 2,聯(lián)立解出 a = 0 = c = l2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由于所求圓的圓心。在y軸上，故圓和橢圓的兩個交點&3關(guān)于y軸對稱，從 而經(jīng)過點A3所作的切線也關(guān)于y軸對稱，如下圖所示。77A2 因當(dāng)切線互相垂直時，設(shè)兩條切線交于點 P,則CAP3恰好形成一個邊長為/ 正方 形。其中表示圓的半徑，由幾何關(guān)系B

16、F2ABP-PF 2Ar-A/2, BF = ABPf+PFf =為BF + BF 2 = 2a = 2y/22. 2014年福建卷】已知雙曲線所以r 一曰4aa = 2粗5 =斗，故所求圓的半徑右焦點為離心率為已 a b2 =2 .圓x2 + y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面解：因為雙曲線E的漸近線分別為I】：y=2x, 12： y=-2x,所以垣2.aJ 22所以一-=2.故c=JA,從而雙曲線E的離心率e=-2=V5-aa3. 2014年湖南卷(理21)】(本小題滿分13分)2 2 ，亠 如圖7,0為坐標(biāo)原點，橢圓G :二+土 = 1 (a>A&g

17、t;0)的左、右焦點為Fi直2, a b2 2 離心率為e】；雙曲線C,:二-烏=1的左、知咐=a-，仁73-1.(1)求G、G的方程；解：(1 )因為彈=爭，所以J"-b . 2aa =旦因此得a4-b4 =-a ",即疽=2驢，從而4炳0,0),氣(面,0),于是43b-b=F 2F4 |=V3-1，所以 b = l , a故G、C2的方程分別是X2 21 尤 2 2y 1 y = 1.2 24. 2014年遼寧卷】2 2積最小時，切點為P(如圖)，雙曲線G：-土 = 1過點P且離心率為必.a b求G的方程;(I)設(shè)切點坐標(biāo)為3°,%)3°0,%&g

18、t;0),則切線斜率為-西，切線方程為%yy° =-(x-x 0),即xox+yoy = 4，此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成%的三角形面積為S=土蘭=*-.由X02 + %2=4>2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)2氣無氣X0=y0=V2時吒見有最大值，即S有最小值，因此點戶得坐標(biāo)為 很)，由題意知U2< / Z?2解得a2 = l,b 2 = 2,故G方程為妒一匕=1.a2+b2=3a225. 2014年全國大綱卷】己知拋物線 C： y2=2px(p>o)的焦點為F,直線y = 4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且ieF|=-|Pe|.4(1) 求C的方程；(2) 過F的

19、直線/與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線，與 M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求/的方程.Q解：設(shè)2(xo,4),代入y2=2px得吒=一P所以 | 尸。| =邑，QF = ax+ P22 p由題設(shè)得占+ - =-X-,解得p = 2或 =22 P 4 p所以。的方程為>2=4、(2)依題意知/與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)/的方程為工=” > + 1 (2代入 y - 4X 得 y2 -4 = 0設(shè)人 31，叫),B(X2,y 2) 9 貝U yr + y 2= 4m 9 目絹2 = -4 故 AB 的中點為 D(2m +1,= Vm2+11% - /1 = 4(m2

20、+1)又/的斜率為-皿所以/的方程為工=y + 2m + 3m將上式代入v2=4x,并整理得),2 +蘭y_4(2仞2 +3) = 0m設(shè) m(a-,V3), N(X4,y 4),貝U y3 + y4 =- , V3V4 =-4(2m2 +3)m故MV的中點為頊二+ 2引3,馬.|" =口言對=4用iD后與 m m m m由于肋V垂直平分A3,故A、M B N四點在同一圓上等價于從而 |AB|2 + |DE|2=|A/N|2,即卩“ 2,、，,c 2 普 Z 2c、2 4 （仃 +1） 2 （2 仃 +1）24 （仃 + 1） - + （2m +） 2 + （+ 2） 2 = 生2m

21、 mm化簡得m 1 = Q ,解得m = I或m = 1所求直線/的方程為：x-y-1 = 0或x+y-1 = 0.6. 2014年天津卷】)2 2設(shè)橢圓點+常1(。力0)的左、右焦點分別為、凡，右頂點為為B. 己知|施=卓|再凡|.2-求橢圓的離心率；C相較于A,上頂解：(1)設(shè)橢圓右焦點R的坐標(biāo)為(c, 0 )由|曲|=來|凡引，可得a+lj=3c.2 -IX l ） =a c,貝U; =5, a 2 所以橢圓的離心率e=g.2 27. 2014年全國新課標(biāo)I】己知點A （0,-2）橢圓E:二+與 = l （a>b0）的 a b離心率為吏，&是橢圓的焦點，直線AP的斜率為臣，

22、。為坐標(biāo)原點.2 3（I）求己的方程；（II）設(shè)過點A的直線Z與E相交于P,Q兩點，當(dāng) OPQ的面積最大時，求/的 方程，【解析】：（I ）7設(shè)F （c,O）2 =還，得c = 0又£ =吏，人7C 3a 2所以 a=2b2=a2-c2=l，故 E 的方程一+y2=l.6 分y+軸不合題意+故設(shè)直線爲(wèi)cr :浜，o,設(shè) PAX ,y QAX2,yA當(dāng)八=16 （4好一 3） >0,即仃：時，女口 =" 土己君a從而|用二局八| = 4"苻二1十緯K又點0到直線PQ的距離d = bA,所以A0PQ的面積5 蜘* 聞 | = '* : ; 3 ,2設(shè) Jlk -3 =t 9 貝U I。，Saopq =< 1，* +4 t + - t當(dāng)且僅當(dāng)z = 2, k = 土互等號成立，且滿足厶 > （）,所以當(dāng)A0PQ的面積最大 時，2/ 的方程為：y = x-2 或 v = - x-2.12分- 2 22 28. 2014年廣東卷】己知橢圓C: 4 +r = l