奧數(shù)知識點解析

1、第一步：初步理解該知識點的定理及性質(zhì)1、提出疑問：什么是抽屜原理？2、抽屜原理有哪些內(nèi)容呢？【抽屜原理 1】：將多于 n 件的物品任意放到 n 個抽屜中，那么至少有一個 抽屜中的物品不少于 2 件；【逆抽屜原理】：從n個抽屜中拿出多于n件的物品，那么至少有2個物品 來至于同一個抽屜。【抽屜原理2】：將多于mn件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一 個抽屜中的物品不少于（m+1件。第二步：學習最具有代表性的題目【例 1】證明：任取 8 個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是 7 的倍數(shù)?！纠?2】對于任意的五個自然數(shù)，證明其中必有 3個數(shù)的和能被 3整除。【總結】 以上的例題都是在考察抽屜原理在整除與余數(shù)

2、問題中的運用。 以上 的題目我們都是運用抽屜原理一來解決的。第三步：找出解決此類問題的關鍵【例3】從2、4、6、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定 有兩個數(shù)之和是 34?！纠?】從1、2、3、4、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)， 就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是 12【例5】從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù) 是另一個數(shù)的倍數(shù)1, 2, 4, 8, 163, 6, 12, 5, 10, 207, 14, 9, 1811, 13, 15, 17, 19?！究偨Y】根據(jù)題目條件靈活構造“抽屜”是解決這類題目的關鍵。第四步：重點解決該類型的拓展難

3、題我們先來做一個簡單的鋪墊題：【鋪墊】請說明，任意3個自然數(shù)，總有2個數(shù)的和是偶數(shù)?！纠?】請說明，對于任意的11個正整數(shù)，證明其中一定有 6個數(shù)，它們 的和能被6整除?！究偨Y】上面兩道題目用到了抽屜原理中的“雙重抽屜”與“合并抽屜”， 都是在原有典型抽屜原理題目的基礎上進行的拓展。什么是抽屜原理?(1)舉例有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少 放兩個蘋果。（2）定義一般情況下，把n+ 1或多于n+ 1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里 至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。（一）、利用公式進行解題蘋果十抽屜=商余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)=

4、1,結論：至少有（商+ 1）個蘋果在同一個抽屜里（2）余數(shù)=, 結論：至少有（商+1 ）個蘋果在同一個抽屜里（3）余數(shù)=0,結論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復雜的題目變得非常簡單， 也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法.舉個例子：把3個蘋果任意放到2個抽屜里，必有一個抽屜至少放了 2個蘋果 這個生活中最簡單的道理，在數(shù)學上就叫做抽屜原理。應用抽屜原理可以解決很多奇妙的問題，當然在實際問題中，“抽屜”和“物體”的表述是不明確的，解題的關鍵就是找出問題中哪個概念對應的是“抽屜”，哪個概念對應的是“物體”，精心制造“抽屜”是

5、解決此類問題的關鍵。題目 1】：至少在多少個人中，才能找到兩個同月份出生的人？【解析】：每年都有 12 個不同的月份，可以看著是 12個抽屜。人就看著蘋果。原題就相當于：多少個蘋果放到 12 個抽屜里，可以保證至少有一個抽屜里有 2 個蘋果?12+1=13（人）所以至少在 13 個人中，才能找到兩個同月份出生的人?！绢}目 2】：在任意 3 個自然數(shù)中，是否其中必然有兩個數(shù)，它們的和為偶數(shù)？為什么？【解析】：我們先把奇數(shù)看作一個抽屜，把偶數(shù)看作一個抽屜。自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，那么這任意 3 個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，把這 3 個數(shù)放到上面奇、 偶數(shù)兩個抽屜里， 至少有一個抽屜里有兩個數(shù)， 即

6、3 個自然數(shù) 中有兩個奇數(shù)或兩個偶數(shù)必居其一。假如 3 個數(shù)中有兩個奇數(shù)， 這兩個奇數(shù)的和一定是偶數(shù)； 假如 3 個數(shù)中有兩個偶 數(shù)，這兩個偶數(shù)的和也一定是偶數(shù)。所以在任意 3 個自然數(shù)中，其中必然有兩個數(shù)，它們的和為偶數(shù)。題目 3】： 班上有 50 名小朋友，老師至少要拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有 一個小朋友能得到不少于兩本的書？【解析】：“保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本的書”意思就是： 保證至少有一個小 朋友最少得到兩本書。我們把 50個小朋友看著 50 個抽屜，至少要多少本書放到 50個抽屜里，能保證 至少有一個抽屜里最少有兩本書呢： 50+1=51（本）?！绢}目 4】

7、：在1, 2, 3,，99, 100這100個整數(shù)中，選出一些數(shù)，使得任意兩數(shù)的差都不等于 1， 2， 6，那么，從中最多能選出幾個數(shù)？【解析】：第一步：先從 1 開始列一列。先選1;至少加3 （差不能為1、2）選4;至少要加4 （差也不能為6）選 8;接著再加3選11;加4選15可列舉如下：1、4、8、11、15、18、22、第二步：觀察上面的數(shù)列,找規(guī)律。從1 到7七個數(shù)中可以選 2個數(shù);從 8到14七個數(shù)中又可以選 2個數(shù);從 15 到21七個數(shù)中又可以選2個數(shù)即每7個數(shù)一組可以選出 2個數(shù),這 2個數(shù)可以選 7個數(shù)中的第 1 個和第 4個。100-7=14 （組）2 （個） 共有 14

8、 組，每組選 2個數(shù)，還剩下 2 個數(shù)，即第十五組的第 1 個數(shù)和第 2 個數(shù)。 每組第 1 個數(shù)也是可選的。所以從中最多可以選出數(shù)：14X 2+ 1=29 （個）?！绢}目 5】：泡泡糖出售機內(nèi)有各種顏色的糖，有紅色糖 1 0顆、白色糖 1 5顆、藍色糖 3顆、 黃色糖 20 顆。如果投入 1 元錢錢幣可得到 1 顆糖，那么至少投入多少元錢，就 可以保證得到 5 顆顏色相同的糖？【解析】：這里共有 4 種顏色的糖果， 除了藍色糖果 3顆，其它顏色糖果都不少于 5 顆。從 最糟糕的情況考慮：投幣先得到藍色糖 3顆，其它顏色糖每種 4顆。這時候再買一顆糖，無論是哪種顏色的糖，就得到了這種顏色的糖 5 顆。一元錢一顆糖，買這些糖至少要投入錢幣： 3X 4+ 3+仁16 （顆）。本題依據(jù)抽屜原理2：把多于mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜 里有m+1個或多于m+1個的物體