牛頓萊布尼茨公式的詳細(xì)證明

1、牛頓萊布尼茨公式l 前言此證明主要是獻(xiàn)給那些無論如何，竭斯底里都想知道自已手上這條無與倫比公式背后的秘密的高中生。公式的證明首先是從定積分的基本性質(zhì)和相關(guān)定理的證明開始，然后給出積分上限函數(shù)的定義，最后總攬全局，得出結(jié)論。證明過程會盡可能地保持嚴(yán)密，也許你會不太習(xí)慣，會覺得多佘，不過在一些條件上如函數(shù)f(x)，我們是默認(rèn)可積的。所有證明過程都是為后續(xù)的證明做鋪掂的，都是從最低層最簡單開始的，所以你絕對，注意，請注意，你是絕對能看懂的，對于尋求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建議你別看了，因?yàn)檫@只會讓你吐出垃圾兩個(gè)字)l 定積分性質(zhì)的證明首先給出定積分的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)

2、間a,b上連續(xù)，我們在區(qū)間a,b上插入n-1個(gè)點(diǎn)分成n個(gè)區(qū)間a,x1,x1,x2xn,xn-1，其中x0=a，xn=b，第i個(gè)小區(qū)間xi= xi-xi-1(i=1,2n)。由它的幾何意義，我們是用無數(shù)個(gè)小矩形的面積相加去模擬它的面積，因此任一個(gè)小矩形的面積可表示為Si=f(i) xi ,為此定積分可以歸結(jié)為一個(gè)和式的極限即：性質(zhì)1：證明dx = C(b-a)，其中C為常數(shù).幾何上這就是矩形的面積性質(zhì)2：F(x)和G(x)為函數(shù)z(x)的兩個(gè)原函數(shù)，證明F(x)=G(x)+C,C為常數(shù).設(shè)K(x)=F(x)-G(x) 定義域?yàn)镵即對任意的xK,都存在一個(gè)以|為半徑的區(qū)間,使得K(x+)=K(x)

3、函數(shù)值在K內(nèi)處處相等，K(x)=C K(x)為一直線即: F(x)-G(x)=C性質(zhì)3：如果f(x)g(x),則 設(shè)k(x)=f(x)-g(x),有k(x)0. 即 l 相關(guān)定理的證明介值定理：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，當(dāng)xa,b,取m為f(x)的最小值,M為f(x)的最大值,對于任意的一個(gè)介于m,M的數(shù)C,至少存在一點(diǎn)(a,b),有f()=C證明：運(yùn)用零點(diǎn)定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),若f(a)*f(b)<0,則至少存在一點(diǎn)(a,b),有f()=0設(shè)x1,x2a,b,且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M則：g(x1

4、)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零點(diǎn)定理得，至少存在一點(diǎn)(x1,x2),有g(shù)()=0= f()-C => f()=CPs: 在這里，零點(diǎn)定理在高中應(yīng)該有介紹，很美妙的一個(gè)定理，在幾何上有明顯 的意義，通俗的理解是：有兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)大于0（在x軸上方），一個(gè)小于0(在x軸下方)，要用一條連續(xù)的線把它連起來，那么勢必至少會與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。嚴(yán)格的證明這里就不了，其實(shí)我也不太懂，有興趣的可以上網(wǎng)查查.積分中值定理: 若函數(shù) f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù),，則在區(qū)間 a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)(a,b),有 幾何意義:曲線所

5、圍成的面積總有一個(gè)以積分區(qū)間為長的矩形面積與之相等設(shè)f(x)在區(qū)間a, b的最大值為M，最小值為m，即：mf(x)M由介值定理：在區(qū)間 a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)(a,b)，有 l 積分上限函數(shù)(變上限的定積分)的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則定積分 的值由區(qū)間a,b與f(x)決定，與積分變量的記號x無關(guān)，因此可以記為而對于積分 ，當(dāng)xa,b時(shí)，都會有一個(gè)由積分所確定的值與之對應(yīng)，因此積分 是上限x的函數(shù).記為：下面證明顯然，我們好自然會從左邊證起，因?yàn)槲覀円\(yùn)用(x)的定義，用到導(dǎo)數(shù)的定義，更重要的是，因?yàn)槲覀円涔P，而不是呆呆的看。(因?yàn)橛械娜耸窃诳矗械娜耸窃谟^察，這明顯存在很大的差別)由積分中值定理，有：(其中是在x與x+x之間) 這就是你想看到的，顯然，當(dāng)x->0時(shí)，->x l