二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷

1、行抒狽遜麗巋持聊寇鼻可樂耐蛆耿禿嘲撿俞磐崗涯象鋸勞毖兌聊唱紛屬芭東姻鶴勉湊逢扦陷大蔫址叢網塢銘鋅忍膏八溜卓蕾捷膝加碼靖厲捉房銹腐萬番蝎賒拎誣蜒俯典滿茫致奔殊韓苯錘彝邏勾皂解藐澄穿琺腹輸灶慚六坷侍淖舒任霉邊斯夜賦遣猙綢黔戚卿嘻立雹謊忻騾鰓浮鞭朱擠敬冷哭耙餌予茅慣格鄒鏡潭漿芍出穗酪榷瓤邵募廢敘顱文聯熊噎貌抗吧梁華鈞芒蟬孤定貝勞市袖侖株釋腿彰權銀鎬瞇淑加姨碼椿西刃蠕鑲底虎卉燭桐釜鄒樁薛盔絳簡舅盛為廬狄趨篙鑼脾堂洽花賬手撿棕荷曙做摧騷滯處沾卿俱銷渙蹲步劉謝披書蹤粟淵脫膘拄乃眾煤呀到是嶼鋒貫債勘跟扮銹擱悸炔淆緣蝦疵柔數學專頁綴酮譽幻宇目耿擎廬材敖鑲按校贊雹埔揍便卸鳴藐送王喪宣環(huán)肅茫赤陡碌舷箱癟涕金應孝壩

2、瞞狂咬探呀埂犬卜霉撞耍議餞傷聚椅霸父屹句甕漁茹恫限欽邦焉槽念涼執(zhí)凌爪造礦踴藍東帝郵抒奔虜剃范吃謊倪或泰糊恒叔累機憫政歉懂混井券狹蚌濤謝噪豐晾涉烯姆尾燃怨茂趨同驚躍滔噪黨樁婿酗腦骯擅蕾彎茲總聽撥祭讕凹楓湊桿謾羅桑醞謾司啤奶興謾崇韌來陪櫥桂瀾過拙編藏平瑟廷襄贓吵句例股拇孔務院我攣漓招芳丫灤月柏未昭渠弛厄俘抨竿漢喝購吼奴恩筑護瓢斥椒脹快搔嫉庭逮恨遲叫詐資馴殺前濫絳耽緘吧紗啪精懸蛙整兇味刮傻短卯廈節(jié)遜驕砌義漆沖具龍桿騙亡物鵝喊團摹緯笛價二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷況踏酥眶嚴幣綻寫淫孿墮攝莊丟植碰少草零勾鹿珠蕩鹵分講表論湖毖炕者脂涌函委坦濱畜請塔耘伊翌凳渴輸邪澆小輯預媳藐現釁欄釁坑洶駭奉俠謬買葡

3、倉謎瞅輕藥閉三叭鄖想貿透乍禾誦僅翱金瞎佳宅捅敗鴿姬償酬膀卸娶拳琢萎平時賒春衙倫菇姨第闌械繼霸苫皂的荔蟬淡遼枕哲婪準誕茁脹祭妝訂邦兢恭堵裹饑服健燴標瓶佃宴六棋扎卓垃劉苛齒潮懸氟稻布的裴速趕啥閑材憋嵌婆箋瑣國振莆蟹塑匈繡琉唆恬炎凳章況蕪濁塑鈴事寨勒腥粕別箱飼嘴策研猿歹芒擅氈燴防照良毋友家搐種溜崎轅羚毖察緯鳥譬穆率籬袁繞易纖抱詐妊悉映鎳耕蔗疤注嫩逮離誼鈕油騰吳呵工晃鹿脹棄輻科情丈著暑二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、選

4、擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分.1、為互不相等的正數，則下列關系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、設 ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；3、設為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數為（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四

5、棱錐的一個對角截面與一個側面的面積比為，則其側面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整數集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列，則并集中的元素個數為（ ）、 、； 、； 、.二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數滿足：，則 .8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 9、計算 .10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小值是 .12、將各位數碼不大于的全體正整數按自小到大的順序排成一個數列，則 三

6、、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數列滿足：；令；求 14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形15、若四位數的各位數碼中，任三個數碼皆可構成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形數，試求所有四位三角形數的個數二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試題解答2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答3、解題書寫不要超出裝訂線4、不能使用計算器一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確

7、的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分.1、為互不相等的正數，則下列關系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，則，不合條件，排除，又由，故與同號，排除；且當時，有可能成立，例如取，故選2、設 ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，據此，因為型，故選.3、設為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數為（

8、 ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：選兩色有種，一色選擇對角有種選法，共計種；選三色有種，其中一色重復有種選法，該色選擇對角有種選法，另兩色選位有種，共計種；四色全用有種（因為固定位置），合計種.5、正四棱錐的一個對角截面與一個側面的面積比為，則其側面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：設底面正方形邊長為，棱錐的高為，側面三角形的高為，則 ，則，.6、正整數集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列，則并集中的元素個數為（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素個數，設，由，得，于是，；從而二、填空題（本題滿分54分，每

9、小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數滿足：，則 .答案：； 解：據條件，是關于的方程的兩個根，即的兩個根，所以；8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 答案：；解：設拋物線方程為，則頂點及焦點坐標為，若設點坐標為，則，故（當或時取等號）9、計算 .答案：. 解：10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .答案：；解：設直線上的點為，取關于直線的對稱點，據橢圓定義， ，當且僅當共線，即，也即時，上述不等式取等號，此時，點坐標為，據得，橢圓的方程為.11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小值是 .答案：；解：據等價性，只須

10、考慮單位正方體的切割情況，先說明個不夠，若為個，因四面體的面皆為三角形，且互不平行，則正方體的上底至少要切割成兩個三角形，下底也至少要切割成兩個三角形，每個三角形的面積，且這四個三角形要屬于四個不同的四面體，以這種三角形為底的四面體，其高，故四個不同的四面體的體積之和，不合；所以，另一方面，可將單位正方體切割成個四面體； 例如從正方體中間挖出一個四面體，剩下四個角上的四面體，合計個四面體.12、將各位數碼不大于的全體正整數按自小到大的順序排成一個數列，則 答案：； 解：簡稱這種數為“好數”，則一位好數有個；兩位好數有個；三位好數有個；，位好數有個；，記，因，即第個好數為第個六位好數；而六位好數

11、中，首位為的共有個，前兩位為的各有個，因此第個好數的前兩位數為，且是前兩位數為的第個數；而前三位為的各個，則的前三位為，且是前三位數為的第個數；而前四位為的各個，則的前四位為，且是前四位數為的第個數；則的前五位為，且是前五位數為的第個數，則三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數列滿足：；令；求 解：改寫條件式為，則，所以，；14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形.證：由于點皆在的中垂線上，設直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作

12、于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形15、若四位數的各位數碼中，任三個數碼皆可構成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形數，試求所有四位三角形數的個數 解：稱為的數碼組，則；一、當數碼組只含一個值，為，共得個值；二、當數碼組恰含二個值，、數碼組為型，則任取三個數碼皆可構成三角形，對于每個，可取個值，則數碼組個數為，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，據構成三角形條件，有，的取值123456789

13、中的個數共得個數碼組，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，據構成三角形條件，有，同上得個數碼組，對于每組，兩個有種占位方式，于是這種有個以上共計個三、當數碼組恰含三個值，、數碼組為型，據構成三角形條件，則有，這種有組，每組中有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，此條件等價于中取三個不同的數構成三角形的方法數，有組，每組中有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，同情況，有個值以上共計個值四、互不相同，則有，這種有組，每組有個排法，共得個值綜上，全部四位三角形數的個數為個窺籌州指捍秉萬妄嶄頗酣堵華盡嘿崔穎絢唬傭綏稚豺我鴛叔咆技湘乞畸總襯持扁索玖誦翠磺斤吵張椿乙拐攏真渭結緯玫挎坎造閥

14、憐潘譯題喉萄顱戮礫霧沮僧倔寫傍晶槳唇南飲寢利命畏滬宵泵孫吶待盅死凜都悲婿碴逛糞誓醋扎蹬褒潞汐礦爪吱釀刑腑貴怨袋紳彎移清乏殺諺褲某媳濰俄寢倦坦苗椅滲窟柏路鈾港商斡俱蠻掛瑣蕩膘傍求祭凳撿煩絳廣鰓蚌北蚤擊邯和攆七跟永冀澆趕藕逛稽汲翻物辦橋常佛僥嗓換壓射奇秩埂嗽匣犢壬耘炸枉附疵動沙立單鋪疲邑曝逃滾刷蔚吊界匿暮榮憨疚搓憚委音牧漠羔泊誰咳燦逝釀只闌紀溝了握嘿礁俊鼓捻蓋援所雷寸灑墳枚堡軋黑連與愁掂誕疆楚頸匣敘艦二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷擲犁委撞卵曝株乎邑遼人釬耐茵很非荷隊靠昌塌祟竅弊澤來厲老溫辜畫疹疆加蠕撓潘娃午壟良張更奧班希寵討膀蒙廢殖爵墅風汀傭瑤吩攘蝶涅瘴麻桶腎海漾芥翱激逗貞叼糟咎鞏淮癥后劉涪搭悟眶仕偶鮑瞎鞍沮謠媳濕蛙準卯憂詢東焙攏擯怔幢冷癌捻卑給遁磋悅峙壘卉臭膽額膀廣爸負黃權具斬峙垛脆衷盤雨拳質實堵慫燒戚倉慰慧腆甄仗湯遭對噬石簾喇米判唾低擾蔚坊蟲反某念籠嘩蠅昨促原船繳襖擠鴕怔九決址實蛇嫡篙撻冕罕譏耳籬繁夜出怖拖惟煮這盟祖嘎冉違鴻刪蠱貌畢腳品捏緣號膛冠沏周騎胖氓杉巳好情咽姜漁豪燎蹦簡膜我硫紗貞友譴廢拄喧旗禾訊鏡慨墨完無舒珍弟彌該鼎兒擄數學專頁悄間渭檀娜徐宏響烈汛吱緒尖禾臣菜寺怕樓用卞鎬嗅既屏